北京市四十四中2017届九年级上期中考试数学试卷含答案解析.doc

2016-2017学年北京四十四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2抛物线y=（x2）2+1的顶点坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3如图，A是O的圆周角，A=40，则BOC的度数为（）A50B80C90D1204如图，O的半径为5，AB为弦，OCAB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A8B6C4D105如图，在方格纸中的ABC经过变换得到DEF，正确的变换是（）A把ABC向右平移6格B把ABC向右平移4格，再向上平移1格C把ABC绕着点A顺时针旋转90，再向右平移6格D把ABC绕着点A逆时针旋转90，再向右平移6格6将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线解析式是（）Ay=6（x2）2+3By=6（x+2）2+3Cy=6（x2）23Dy=6（x+2）237圆内接正方形半径为2，则面积为（）A2B4C8D168平面直角坐标系中，O是以原点O为圆心，4为半径的圆，则点A（2，2）的位置在（）AO内BO上CO外D不能确定9二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0B当x1时，y随x的增大而增大Cc0D当1x3时，y010如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动设P点运动的时间为t秒，APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是12如图，在O中，AB=AC，ABC=70BOC=13请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式14如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则BDC的度数为度15如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F若AC=2，则OF的长为16如图，菱形ABCD中，AB=2，C=60，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果都保留）三、解答题（共12小题，满分72分）17（5分）抛物线y=2x2向上平移后经过点A（0，3），求平移后的抛物线的表达式18（5分）如图，在811的方格纸中，ABC的顶点均在小正方形的顶点处（1）画出ABC绕点A顺时针方向旋转90得到的ABC；（2）求点B运动到点B所经过的路径的长度19（5分）已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点（1）求证：AOC=BOD； （2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论20（6分）已知抛物线y=x22x8（1）用配方法把y=x22x8化为y=（xh）2+k形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x轴交点坐标是，当x时，y随x的增大而增大21（6分）如图，AB是O的直径，AD是弦，A=22.5，延长AB到点C，使得ACD=45（1）求证：CD是O的切线（2）若AB=2，求OC的长22（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（4，0）、C（0，3）两点（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+cmx+n，写出x的取值范围23（6分）如图，点A、B、C、D、E在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点，AB是圆的直径，D是BC的中点求证：AB=AC24（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？25（6分）已知：关于x的方程：mx2（3m1）x+2m2=0（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式26（6分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD227（7分）已知：抛物线y=x2+（b1）x5（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；（3）如图，若b3，过抛物线上一点P（1，c）作直线PAy轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式28（8分）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60得AC，连接BC，作ABC的外接圆O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D（1）求APB的大小；（2）当点P运动到何处时，PDAB？并求此时CD：CP的值；（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明2016-2017学年北京四十四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（2014自贡）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形；轴对称图形【专题】常规题型【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（2005晋中校级模拟）抛物线y=（x2）2+1的顶点坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【考点】二次函数的性质【专题】常规题型【分析】抛物线的顶点式为：y=a（xh）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标【解答】解：抛物线y=（x2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）故选A【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标3（2014合川区校级模拟）如图，A是O的圆周角，A=40，则BOC的度数为（）A50B80C90D120【考点】圆周角定理【分析】由A是O的圆周角，A=40，根据圆周角定理，即可求得BOC的度数【解答】解：A是O的圆周角，A=40，BOC=2A=80故选B【点评】此题考查了圆周角定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用4（2013朝阳区模拟）如图，O的半径为5，AB为弦，OCAB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A8B6C4D10【考点】垂径定理；勾股定理【专题】探究型【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论【解答】解：连接OA，OA=5，OC=3，OCAB，AC=4，OCAB，AB=2AC=24=8故选A【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5（2011钦州）如图，在方格纸中的ABC经过变换得到DEF，正确的变换是（）A把ABC向右平移6格B把ABC向右平移4格，再向上平移1格C把ABC绕着点A顺时针旋转90，再向右平移6格D把ABC绕着点A逆时针旋转90，再向右平移6格【考点】几何变换的类型【分析】观察图象可知，先把ABC绕着点A逆时针方向90旋转，然后再向右平移即可得到【解答】解：根据图象，ABC绕着点A逆时针方向90旋转与DEF形状相同，向右平移6格就可以与DEF重合故选：D【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高6（2016秋西城区校级期中）将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线解析式是（）Ay=6（x2）2+3By=6（x+2）2+3Cy=6（x2）23Dy=6（x+2）23【考点】二次函数图象与几何变换【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可【解答】解：抛物线y=6x2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3故选B【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减7（2016秋西城区校级期中）圆内接正方形半径为2，则面积为（）A2B4C8D16【考点】正多边形和圆【分析】根据圆内接正方形的性质，得出BOC=90，以及CB2即正方形的面积，求出即可【解答】解：过圆心O作OECB，圆的半径为2，内接四边形是正方形，BOC=90，OB=OC，OBC=OCB=45，22+22=CB2，AB2=8，即正方形的面积为：8故选：C【点评】此题主要考查了圆内接正方形的性质，正方形与圆的有关计算，正确应用勾股定理是解题关键8（2016秋西城区校级期中）平面直角坐标系中，O是以原点O为圆心，4为半径的圆，则点A（2，2）的位置在（）AO内BO上CO外D不能确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】利用已知画出图形，进而得出A的位置【解答】解：如图所示：点A（2，2）在O内故选：A【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及坐标与图形的性质，根据题意画出图形是解题关键9（2014秋南安市期末）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0B当x1时，y随x的增大而增大Cc0D当1x3时，y0【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a0故A选项错误；B、根据图示知，当x1时，y随x的增大而减小故此选项错误；C、根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c0故C选项错误；D、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当1x3时，y0故此选项正确；故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定10（2016秋西城区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动设P点运动的时间为t秒，APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）ABCD【考点】动点问题的函数图象【分析】根据动点P从A点出发，到B停止，速度为每秒1个单位，则时间为04秒，动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCD方向运动，路程为8，时间为04秒；分两种情况：当0t2时，如图1，Q在BC上，则APQ的面积为S=APBQ=t2，图象为二次函数的抛物线；当2t4时，如图2，点Q在CD上，其面积求得为2t，是一条直线；作出判断【解答】解：分两种情况：当0t2时，如图1所示，由题意得：AP=t，BQ=2tSAPQ=APBQ=t2t=t2，其图象是抛物线，当2t4时，如图2所示，SAPQ=APBC=t4=2t，其图象为一条直线，故选D【点评】本题是动点问题的函数图象，观察动点运动过程中所形成的APQ的面积分为两类，采用了分类讨论的思想，结合图形与面积公式求出函数关系式，确定其函数类型，得出图象，作出正确判断二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11（2011秋潮南区校级期末）点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，4）【考点】关于原点对称的点的坐标【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数填空即可【解答】解：点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），故答案为（3，4）【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数12（2016秋西城区校级期中）如图，在O中，AB=AC，ABC=70BOC=80【考点】圆周角定理【分析】首先根据等腰三角形的性质可得A的度数，然后根据圆周角定理可得BOC=2A，进而可得答案【解答】解：AB=AC，ABC=ACB=70，A=180702=40，点O是ABC的外心，BOC=2A=402=80，故答案为：80【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键13（2015秋通州区期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=x21（答案不唯一）【考点】二次函数的性质【专题】开放型【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可【解答】解：抛物线的解析式为y=x21故答案为：y=x21（答案不唯一）【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于014（2009昌平区一模）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则BDC的度数为15度【考点】旋转的性质【专题】计算题；压轴题【分析】根据旋转的性质ABCEDB，BC=BD，求出CBD的度数，再求BDC的度数【解答】解：根据旋转的性质ABCEDB，BC=BD，则CBD是等腰三角形，BDC=BCD，CBD=180DBE=18030=150，BDC=（180CBD）=15故答案为15【点评】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转求出即可15（2016秋西城区校级期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F若AC=2，则OF的长为1【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质【分析】根据垂径定理求出AD，证ADOOFE，推出OF=AD，即可求出答案【解答】解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，ADO=OFE=90，OEAC，DOE=ADO=90，DAO+DOA=90，DOA+EF=90，DAO=EOF，在ADO和OFE中，ADOOFE（AAS），OF=AD=1，故答案为：1【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADOOFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦16（2013秋朝阳区期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，C=60，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为n（结果都保留）【考点】弧长的计算；菱形的性质；旋转的性质【分析】从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度旋转到此菱形就又回到了原图故这样旋转3n次，就是这样的n个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长【解答】解：菱形ABCD中，AB=2，C=60，ABD是等边三角形，BO=DO=1，AO=，第一次旋转的弧长=，第一、二次旋转的弧长和=+=，第三次旋转的弧长为：=3n3=n，故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n（+）=n故答案为：；n【点评】本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键三、解答题（共12小题，满分72分）17（5分）（2016秋西城区校级期中）抛物线y=2x2向上平移后经过点A（0，3），求平移后的抛物线的表达式【考点】二次函数图象与几何变换【分析】设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+b，根据点A的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出b值，此题得解【解答】解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+b，点A（0，3）在抛物线上，b=3，平移后的抛物线的表达式为y=2x2+3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b值是解题的关键18（5分）（2013秋襄城区期末）如图，在811的方格纸中，ABC的顶点均在小正方形的顶点处（1）画出ABC绕点A顺时针方向旋转90得到的ABC；（2）求点B运动到点B所经过的路径的长度【考点】作图-旋转变换；弧长的计算【专题】作图题【分析】（1）A不变，以A为旋转中心，逆时针旋转90得到关键点C，B的对应点即可；（2）点B运动到点B所经过的路径的长度是以点A为圆心，5为半径，圆心角为90的弧长【解答】解：（1）如图；（2）=【点评】本题考查旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；旋转时点经过的路径为一段弧长19（5分）（2014秋江阴市期中）已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点（1）求证：AOC=BOD； （2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得A=B，OCD=ODC，而利用三角形外角性质可得OCD=A+AOC，ODC=BOD+B，从而可得A+AOC=BOD+B，再利用等量相减，差相等可得AOC=DOB；（2）过O作OEAB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AECE=BEDE，即AC=BD【解答】证明：（1）OA=OB，OC=OD，A=B，OCD=ODC，OCD=A+AOC，ODC=BOD+B，A+AOC=BOD+B，AOC=DOB；（2）过O作OEAB于E，AE=EB，CE=ED，AECE=BEDE，即AC=BD【点评】本题考查了垂径定理、三角形外角性质、等边对等角，解题的关键是作辅助线OE20（6分）（2011秋怀柔区期末）已知抛物线y=x22x8（1）用配方法把y=x22x8化为y=（xh）2+k形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是（1，9），抛物线的对称轴方程是x=1，抛物线与x轴交点坐标是（2，0），（4，0），当x1时，y随x的增大而增大【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点【分析】（1）利用配方法，将抛物线的一般式方程转化为顶点式方程；（2）根据（1）中的顶点式方程找出该抛物线的顶点坐标、对称轴方程；等y=0时，求抛物线与x轴的交点坐标；由抛物线的性质来解答y随x的增大而增大时x的取值范围【解答】解：（1）y=x22x8=x22x+118=（x1）29（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x1）29，抛物线的顶点坐标是（1，9）抛物线的对称轴方程是x=1 （4分）当y=0时，（x1）29=0，解得x=2或x=4，抛物线与x轴交点坐标是（2，0），（4，0）；该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1，当x1时，y随x的增大而增大（5分）故答案是：（2）（1，9）；（2，0），（4，0）；x=1；1【点评】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）21（6分）（2013秋杭州期末）如图，AB是O的直径，AD是弦，A=22.5，延长AB到点C，使得ACD=45（1）求证：CD是O的切线（2）若AB=2，求OC的长【考点】切线的判定【分析】（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得DOC=C=45，故有ODC=90，即CD是圆的切线（2）由1知，CD=OD=AB，在直角COD中，利用勾股定理即可求解【解答】（1）证明：连接DO，AO=DO，DAO=ADO=22.5DOC=45又ACD=2DAB，ACD=DOC=45ODC=90又OD是O的半径，CD是O的切线（2）解：连接DB，直径AB=2，OCD为等腰直角三角形，CD=OD=，OC=2【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可22（6分）（2012秋朝阳区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（4，0）、C（0，3）两点（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+cmx+n，写出x的取值范围【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点【专题】数形结合【分析】（1）根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可；（2）确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0）、B（1，0），方程ax2+bx+c=0的解为x1=4，x2=1；（2）由图可知，ax2+bx+cmx+n时，4x0【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，是基础题，利用数形结合的思想是解题的关键23（6分）（2016秋西城区校级期中）如图，点A、B、C、D、E在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点，AB是圆的直径，D是BC的中点求证：AB=AC【考点】圆周角定理【分析】连接AD只要证明AD垂直平分线段BC即可解决问题【解答】证明：如图，连接ADAB为圆O的直径，AOB=90，D为BC的中点，AD垂直平分BC，AB=AC【点评】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型24（6分）（2015岳池县模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40x）（20+2x）=1200，整理得2x260x+400=0解得x1=20，x2=10因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元答：每件衬衫应降价20元（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40x）=2x2+60x+800=2（x230x400）=2（x15）2625=2（x15）2+1250当x=15时，y取最大值，最大值为1250答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式25（6分）（2015通州区二模）已知：关于x的方程：mx2（3m1）x+2m2=0（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式【专题】计算题【分析】（1）分两种情况讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；当m0时，方程为一元二次方程，计算出的值为非负数，可知方程有实数根（2）根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式【解答】解：（1）当m=0时，原方程可化为x2=0，解得x=2；当m0时，方程为一元二次方程，=（3m1）24m（2m2）=m2+2m+1=（m+1）20，故方程有两个实数根；故无论m为何值，方程恒有实数根（2）二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2，=2，整理得，3m22m1=0，解得m1=1，m2=则函数解析式为y=x22x或y=x2+2x【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是解题的关键26（6分）（2016秋西城区校级期中）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD2【考点】勾股定理【专题】证明题【分析】作AEBC于E，由于BAC=90，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，ED=BDBE=CECD，代入求出三者之间的关系即可得证【解答】证明：作AEBC于E，如上图所示：由题意得：ED=BDBE=CECD，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE=CE=BC，由勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，AD2=AE2+ED2，2AD2=2AE2+2ED2=AB2BE2+（BDBE）2+AC2CE2+（CECD）2=AB2+AC2+BD2+CD22BDBE2CDCE=AB2+AC2+BD2+CD22BCBC=BD2+CD2，即：BD2+CD2=2AD2【点评】本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系27（7分）（2011秋番禺区期末）已知：抛物线y=x2+（b1）x5（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；（3）如图，若b3，过抛物线上一点P（1，c）作直线PAy轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式【考点】二次函数综合题【专题】综合题【分析】（1）根据a值大于0，判断抛物线的开口向上，令x=0求出函数值y，就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）根据对称轴解析式列式求出b的值，从而得到抛物线解析式，再根据抛物线与坐标轴的交点与顶点坐标作出草图即可；（3）先根据b3判断出点P在对称轴的左侧，然后根据BP=2PA求出点B的坐标，然后把点P、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出b、c的值，即可写出该抛物线对应的二次函数解析式或者根据点BP的中点在抛物线的对称轴上，利用对称轴解析式列式进行计算求解b的值【解答】解：（1）a=10，抛物线开口向上，当x=0时，y=02+（b1）05=5，它与y轴的交点坐标为（0，5）；（2