第23届XXXX希望杯初二培训题答案.pdf

2012 第 23 届希望杯初二数学培训题 参考答案 1 第二十三届“希望杯”全国数学第二十三届“希望杯”全国数学 邀请赛邀请赛 初二年级培训题初二年级培训题 参考答案参考答案 一一. . 选择题选择题 题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 答案 C C C B A A 题号 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案 B A D D D D 题号 1313 1414 1515 1616 1717 1818 答案 C C C C B C 题号 1919 2020 2121 2222 2323 2424 答案 A C D C B B 题号 2525 2626 2727 2828 2929 3030 答案 A B A C C C 提示：提示： 1.1. a 2a3=a5， a 6a3=a9， (a 2)3=a6， (a+2)(a-2)=a 2-4. 故选(C)。 2.2. 利用完全平方公式，原式可化 为 |x-2|+|x-10|=8， 利用数轴的几何意义，可知 2x10， 故所求代数式的最大整数值是 2.选 (C)。 3.3. 123 () 321321321 = 1622363 321321321 = 11 321321 = 22 1 321 = 1 322 21 =- 1 2 2 =- 2 4 . 故选(C)。 4.4. 由 a-b=1，得 a=b+1， 所以 a 2=(b+1)2=b2+2b+1， 于是 a 2-b2-2b =b 2+2b+1-b2-2b=1. 故选(B)。 5.5. 因为 01-x. 故选(A)。 6.6. 23 4 x x = 23 4 x x =- 23 4 x x . 故选(A)。 7.7. 译文：译文：如果 0m 2， 只有 m2，解得 x1 或 x0， 所以 233 0, 2 523 0, 2 m m 解得 4 3 5 -3 时， y=-kx-b0， 解得 x- 2 5 . 由 544 (1) 33 a xxa ， 两边同时乘以 3，得 3x+5a+44(x+1)+3a， 解得 x9，不合题意。 2012 第 23 届希望杯初二数学培训题 参考答案 14 (2)若 c=2， 26a=4b+14， 13a-7=2b， a=1，b=3，abc=132. (3)若 c=4， 26a=4b+28， 13a=2b+14， a=2，b=6，abc=264. (4)若 c=6， 26a=4b+42， 13a-21=2b， a=3，b=9，abc=396. (5)若 c=8， 26a-56=4b， 13a-28=2b， a 是偶数，a=2，b0，不合题意。 因此， 共有三个三位数满足条件： 132， 264，396，它们的和是 792. 74.74. 由，得 70+( , ) ( , ) m n m n +m+n=55， 70 ( , )m n +m+n=54. 显然，(m,n)是 70 的因数。 70=257. 若(m,n)=2， m+n=19，19 不是 2 的倍数，不满足要 求。 若(m,n)=5， m+n=40=58=5(5+3)， m=25，n=15 满足要求。 若(m,n)=7， m+n=44，44 不是 7 的倍数，不满足要 求。 同理,若(m,n)不能等于 10，14，35. 又显然(m,n)1，(m,n)70. 故 m=25，n=15. 75.75. 设开始时，黑板上的 2007 个 数的和是 S。显然， S1+2+3+2007 =2015028=3671676. 经过一次操作，黑板上的数的个 数减少，和也减少，和减少的数值是 3 的倍数，因此，每经过一次操作，黑 板上留下的数的和除以 3 所得的余数 是不变的。所以，S 除以 3 所得的余数 等于黑板上最后剩下的 3 个数的和除 以 3 所得的余数。 因为 736+254+1=991=3330+1， 所以，开始时，黑板上的 2007 个数的 和的最小值是 2015029. 三三. . 解答题解答题 76.76. 若直角三角形的斜边的长是 12，设两条直角边的长分别是 a，b， 有 a 2+b2=122=144， 又 a，b 都是正整数， 由 1 2=1，22=4，32=9，42=16， 5 2=25，62=36，72=49，82=64， 9 2=81，102=100，112=121， 其中任意两个相加，和都不等于 144， 所以斜边的长不等于 12. 设直角三角形的一条直角边的长 是 12，另一条直角边的长是 a，斜边 的长是 c，则 c 2-a2=144， (c+a)(c-a)=144. 由于 c+a 和 c-a 同奇同偶， 所以 c+a 和 c-a 都是偶数， 又 144=722=364 =246=188， 所以有 72, 2, ca ca 或 36, 4, ca ca 或 24, 6, ca ca 或 18, 8. ca ca 解得 37, 35, c a 或 20, 16, c a 或 15, 9, c a 或 2012 第 23 届希望杯初二数学培训题 参考答案 15 13, 5. c a 因此，满足条件的直角三角形有 4 种。 77.77. (1)按甲种优惠办法，有 y=2.55+0.5x-0.55(x5)， 即 y=0.5+10. (2)按乙种优惠办法，有 y=(2.55+0.5x)85%(x5)， 即 y=0.425x+10.625. (3)当 0.5x+100.425x+10.625 时， x8.33. 所以，当 x8 本时，应该选择甲种方 式购买。 x9 本时，应该选择乙种方式购 买。 78.78. (1)若OAB 是轴对称图形， 则 它是一个等腰三角形。 如图 33，当 OA 是等腰OAB 的底 边时，点 B1在 OA 的中垂线上，易知 B1(1， 1 2 )。 当 OB 是等腰OAB 的底边，设点 B(x, 1 2 x)，则由勾股定理，得 (x-2) 2+(1 2 x) 2=4， 解得 x=0(舍去)，或 x= 16 5 . 故 B2(16 5 , 8 5 ). 当 AB 是等腰OAB 的底边时，设 点 B(x, 1 2 x)。 由 OB=OA， 得 22 1 () 2 xx=2， 解得 x= 4 5 5. 故 B3( 4 5 5, 2 5 5)， B4(- 4 5 5,- 2 5 5). (2)当点 B(1， 1 2 )时，OAB 的对 称轴与 y 轴平行。 如图 34，当 OB，AB，OA 分别是平 行四边形的一条对角线时，对应的顶 点 C 的坐标分别是 C1(-1, 1 2 )，C2(3, 1 2 )，C3(1,- 1 2 )， 又 A(2,0)， 则直线 AC 的解析式分别是 y=- 1 6 x+ 1 3 ， y= 1 2 x-1(直线 AC2和 AC3重合). 79.79. 一个整数除以 5 所得的余数只 能是 0，1，2，3，4，也就是说，一个 整数一定可以写成下列形式之一： 5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4(k 是自 然数)。 这里根据需要对整数分类,有时候只 要分成2类,就是奇数2k+1和偶数2k, 有时候分成 3 类, 其中(5k) 2=5(5k2)； (5k+1) 2=5(5k2+2k)+1； (5k+2) 2=5(5k2+4k)+4； 2012 第 23 届希望杯初二数学培训题 参考答案 16 (5k+3) 2=5(5k2+6k+1)+4； (5k+4) 2=5(5k2+8k+3)+1. 也就是说，一个完全平方数除以 5 所 得的余数只能是 0 或 1 或 4， 而不能是 2 或 3， 所以，一个整数除以 5 所得的余 数是 2 或 3， 那么这个整数一定不是完 全平方数。 80.80. 设 3 月 1 日是第 0 天，3 月 2 日是第 1 天，则 B 去图书馆的 日子是第 15k 天， A 去图书馆的日子是 第 7m 天。因此， 15k+r=7m，r=1 或 2， 所以 k=7(m-2k)-r. 令 k=7n-r，则 m=15n-2r. 当 r=1 时， 若 n=1，k=7n-1=6，15k=90， 这是在 3 月 1 日后 90 天有题设情况发 生的一天。 若 n=2，k=7n-1=13，15k=195， 这是在 3 月 1 日后 195 天有题设情况 发生的一天。 当 r=2 时， 若 n=1，k=7n-2=5，15k=75， 这是在 3 月 1 日后 75 天有题设情况发 生的一天。 若 n=2，k=7n-2=12，15k=180， 这是在 3