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2016-2017学年湖北省黄冈市英才学校九年级(上)期中数学试卷一、选择题:(本大题满分18分,共6小题,每题3分)1下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD2一元二次方程5x24x1=0的二次项系数和一次项系数分别为()A5,1B5,4C5,4D5x2,4x3关于x的方程2x24=0解为()A2B2CD4如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1)如果将矩形0ABC绕点O旋转180旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为()A(2,1)B(2,1)C(2,1)D(2,l)5抛物线y=(x2)23的顶点坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2,3)D(2,3)6二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于此二次函数有以下四个结论:a0;c0;b24ac0;ab0,其中正确的有()个A1B2C3D4二、填空题(本大题满分24分,共8小题,每题3分)7方程x2=2x的根为8抛物线y=2x2的顶点坐标为9已知抛物线y=ax2的开口向下,且|a|=3,则a=10已知a0,则点P(a2,a+1)关于原点的对称点P在第象限11已知关于x的一元二次方程有解,求k的取值范围12如图,将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得ACD,BC的中点E的对应点为F,则EAF的度数是13小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2+2b3例如把(2,5)放入其中,就会得到22+2(5)3=9,现将实数(m,3m)放入其中,得到实数4,则m=14如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为三、解答题:(本大题满分78分,共9小题)15解方程:(1)x(2x+3)=4x+6 (2)x22x8=0(用因式分解法 )16如图,已知ABC的顶点A,B,C的坐标分别是A(1,1),B(4,3),C(4,1)(1)作出ABC关于原点O中心对称的图形;(2)将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1,画出A1B1C1,并写出点A1的坐标17已知抛物线的顶点坐标是(3,1),与y轴的交点是(0,4),求这个二次函数的解析式18已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(ac)=0,其中a、b、c分别为ABC三边的长(1)如果x=1是方程的根,试判断ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由;(3)如果ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根19景泰特产专卖店销售杏脯,其进价为每千克40元,按每千克60元销售,平均每天可售出100千克后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克杏脯应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?20如图所示,将正方形ABCD中的ABD绕对称中心O 旋转至GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N请猜想AM与GN有怎样的数量关系?并证明你的结论21在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽为xcm,要求纸边的宽度不得少于1cm,同时不得超过2cm(1)求出y关于x的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围;(2)此时金色纸边的宽应为多少cm时,这幅挂图的面积最大?求出最大面积的值22某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系)根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?23如图,抛物线y=(x+1)2+k 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的对称轴及k的值;(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;(3)点M是抛物线上一动点,且在第三象限当M点运动到何处时,AMB的面积最大?求出AMB的最大面积及此时点M的坐标;过点M作PMx轴交线段AC于点P,求出线段PM长度的最大值2016-2017学年湖北省黄冈市英才学校九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本大题满分18分,共6小题,每题3分)1下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD【考点】中心对称图形;轴对称图形【分析】逐一分析四个选项中的图形,可那个图形既是轴对称图形又是中心对称图形,由此即可得出结论【解答】解:A、是轴对称图形不是中心对称图形;B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形;C、既是轴对称图形又是中心对称图形;D、是轴对称图形不是中心对称图形故选C2一元二次方程5x24x1=0的二次项系数和一次项系数分别为()A5,1B5,4C5,4D5x2,4x【考点】一元二次方程的一般形式【分析】根据方程的一般形式,找出二次项系数与一次项系数即可【解答】解:一元二次方程5x24x1=0的二次项系数和一次项系数分别为5,4,故选C3关于x的方程2x24=0解为()A2B2CD【考点】一元二次方程的解【分析】把四个选项分别代入方程的左右两边,能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解【解答】解:把x=代入方程2x24=0的左边=44=0=右边,所以关于x的方程2x24=0解为x=故选D4如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1)如果将矩形0ABC绕点O旋转180旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为()A(2,1)B(2,1)C(2,1)D(2,l)【考点】坐标与图形变化-旋转【分析】将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180,就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180,求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可【解答】解:点B的坐标是(2,1),点B关于点O的对称点B1点的坐标是(2,1)故选C5抛物线y=(x2)23的顶点坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2,3)D(2,3)【考点】二次函数的性质【分析】已知解析式是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标【解答】解:因为的是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3)故选B6二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于此二次函数有以下四个结论:a0;c0;b24ac0;ab0,其中正确的有()个A1B2C3D4【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由图象的开口方向可判断;由图象与y轴的交点在x轴的下方可判断;由图象与x轴有两个交点可判断;由图象的对称轴在y轴的右侧及开口方向可判断,可得出答案【解答】解:图象开口向下,a0,故正确;图象与y轴的交点坐标在x轴的下方,c0,故不正确;抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,b24ac0,故正确;图象对称轴在y轴的右侧,0,ab0,故不正确;正确的有两个,故选B二、填空题(本大题满分24分,共8小题,每题3分)7方程x2=2x的根为x1=0,x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可【解答】解:x2=2x,x22x=0,x(x2)=0,x=0,或x2=0,x1=0,x2=2,故答案为:x1=0,x2=28抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可【解答】解:抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)故答案为:(0,0)9已知抛物线y=ax2的开口向下,且|a|=3,则a=3【考点】二次函数的性质【分析】由抛物线y=ax2的开口向下,得出a0,再由|a|=3,a=3,由此得出答案即可【解答】解:抛物线y=ax2的开口向下,a0,|a|=3,a=3,a=3故答案为:310已知a0,则点P(a2,a+1)关于原点的对称点P在第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标【分析】利用关于原点对称点的性质得出P点坐标,进而得出其所在象限【解答】解:点P(a2,a+1)关于原点的对称点为P,P(a2,a1),a0,a10,a20,P在第四象限故答案为:四11已知关于x的一元二次方程有解,求k的取值范围0k且k1【考点】根的判别式【分析】一元二次方程有实数根应注意两种情况:0,二次项的系数不为0依此建立关于k的不等式,求得k的取值范围【解答】解:a=k1,b=,c=2,=b24ac=k4(k1)20,整理得:=7k+80,k,且k0,又k10,k1,0k且k1故答案为:0k且k112如图,将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得ACD,BC的中点E的对应点为F,则EAF的度数是60【考点】旋转的性质;等边三角形的性质【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角,进而得出EAF的度数【解答】解:将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得ACD,BC的中点E的对应点为F,旋转角为60,E,F是对应点,则EAF的度数为:60故答案为:6013小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2+2b3例如把(2,5)放入其中,就会得到22+2(5)3=9,现将实数(m,3m)放入其中,得到实数4,则m=7或1【考点】一元二次方程的应用【分析】根据公式a2+2b3,可将(m,3m)代入得出m2+2(3m)3=4,解方程即可【解答】解:根据题意得,m2+2(3m)3=4,解得m1=7,m2=1,故答案为:7或114如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点P的坐标,过点P作PMy轴于点M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,然后求解即可【解答】解:过点P作PMy轴于点M,抛物线平移后经过原点O和点A(6,0),平移后的抛物线对称轴为x=3,得出二次函数解析式为:y=(x+3)2+h,将(6,0)代入得出:0=(6+3)2+h,解得:h=,点P的坐标是(3,),根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,S=|3|=故答案为:三、解答题:(本大题满分78分,共9小题)15解方程:(1)x(2x+3)=4x+6 (2)x22x8=0(用因式分解法 )【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】(1)移项后提公因式因式分解法求解可得;(2)十字相乘法因式分解后求解即可【解答】解:(1)x(2x+3)2(2x+3)=0,(x2)(2x+3)=0,x2=0或2x+3=0,解得:x=2或x=;(2)(x+2)(x4)=0,x+2=0或x4=0,解得:x=2或x=416如图,已知ABC的顶点A,B,C的坐标分别是A(1,1),B(4,3),C(4,1)(1)作出ABC关于原点O中心对称的图形;(2)将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到A1B1C1,画出A1B1C1,并写出点A1的坐标【考点】作图-旋转变换【分析】(1)将ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点,然后顺次连接得中心对称图形ABC;(2)将ABC的三点与点O连线并绕原点O按顺时针方向旋转90找对应点,然后顺次连接得A1B1C1【解答】解:(1)正确画出图形(2)正确画出图形A1(1,1)17已知抛物线的顶点坐标是(3,1),与y轴的交点是(0,4),求这个二次函数的解析式【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】根据二次函数顶点坐标设出顶点形式,把(0,4)代入求出a的值,即可确定出解析式【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x3)21,把(0,4)代入得:4=9a1,即a=,则抛物线解析式为y=(x3)2118已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(ac)=0,其中a、b、c分别为ABC三边的长(1)如果x=1是方程的根,试判断ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC的形状,并说明理由;(3)如果ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根【考点】一元二次方程的应用【分析】(1)直接将x=1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断ABC的形状;(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断ABC的形状;(3)利用ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可【解答】解:(1)ABC是等腰三角形;理由:x=1是方程的根,(a+c)(1)22b+(ac)=0,a+c2b+ac=0,ab=0,a=b,ABC是等腰三角形;(2)方程有两个相等的实数根,(2b)24(a+c)(ac)=0,4b24a2+4c2=0,a2=b2+c2,ABC是直角三角形;(3)当ABC是等边三角形,(a+c)x2+2bx+(ac)=0,可整理为:2ax2+2ax=0,x2+x=0,解得:x1=0,x2=119景泰特产专卖店销售杏脯,其进价为每千克40元,按每千克60元销售,平均每天可售出100千克后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克杏脯应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?【考点】一元二次方程的应用【分析】(1)设每千克杏脯应降价x元,则每天销售可增加10x千克,根据每天获利2240元,列方程求解;(2)根据题意,为尽可能让利于顾客,应该降价6元,求出此时的折扣【解答】解:(1)设每千克杏脯应降价x元,则每天销售可增加10x千克,由题意得,(60x40)2240,解得:x1=4,x2=6答:每千克杏脯应降价4元或6元;(2)每千克杏脯降价6元,此时每千克54元,5460=0.9答:该店应按原售价的9折出售20如图所示,将正方形ABCD中的ABD绕对称中心O 旋转至GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N请猜想AM与GN有怎样的数量关系?并证明你的结论【考点】旋转的性质;正方形的性质【分析】先根据正方形的性质得到OB=OD,AD=AB,BDA=ABD=45,再根据旋转的性质得OF=OD,F=BDA,GF=AD,则OB=OF,F=ABD,然后根据“AAS”可判断OBMOFN,所以BM=FN,再利用AB=AD=GF,即可得到AM=GN【解答】解:AM=GN理由如下:点O为正方形ABCD的中心,OB=OD,AD=AB,BDA=ABD=45,ABD绕对称中心O 旋转至GEF的位置,OF=OD,F=BDA,GF=AD,OB=OF,F=ABD,在OBM和OFN中,OBMOFN(ASA),BM=FN,AB=AD=GF,ABBM=GFFN,即AM=GN21在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽为xcm,要求纸边的宽度不得少于1cm,同时不得超过2cm(1)求出y关于x的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围;(2)此时金色纸边的宽应为多少cm时,这幅挂图的面积最大?求出最大面积的值【考点】二次函数的应用【分析】(1)用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽,根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式,结合题意标明x的取值范围即可;(2)根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性,由此即可解决最值问题【解答】解:(1)镶金色纸边后风景画的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,y=(80+2x)(50+2x)=4x2+260x+4000(1x2)(2)二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为x=,在1x2上,y随x的增大而增大,当x=2时,y取最大值,最大值为4536答:金色纸边的宽为2cm时,这幅挂图的面积最大,最大面积的值为4536cm222某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系)根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?【考点】二次函数的应用【分析】(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题,应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式;(2)把S=30代入累计利润S=t22t的函数关系式里,求得月份;(3)分别t=7,t=8,代入函数解析S=t22t,再把总利润相减就可得出【解答】解:(1)由图象可知其顶点坐标为(2,2),故可设其函数关系式为:S=a(t2)22所求函数关系式的图象过(0,0),于是得:a(02)22=0,解得a=所求函数关系式为:S=(t2)22,即S=t22t答:累积利润S与时间t之间的函数关系式为:S=t22t;(2)把S=30代入S=(t2)22,得(t2)22=30解得t1=10,t2=6(舍去)答:截止到10月末公司累积利润可达30万元(3)把t=7代入关系式,得S=7227=10.5,把t=8代入关系式,得S=8228=16,1610.5=5.5,答:第8个月公司所获利是5.5万元23
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