辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题（三）文（含解析）.docx

辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题（三）文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用的周期求解.【详解】由于，且的周期为4，所以原式=.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1B. 5C. 6D. 无数个【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A和A中元素的个数得解.【详解】由题得，所以A中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若非零向量满足，则的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，所以考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是，所以球的半径为1，所以正方体的对角线的长为2，设侧棱长为a,则.所以侧棱长为故选：【点睛】本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题7.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切岗外的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，判断其奇偶性单调性即可得出【详解】令，则，在上为奇函数，函数在上单调递增，化为：，即，化为：，即，解得实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题9.如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值【详解】以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，2，0，则，2，0，0，设平面的法向量为，则，令可得，1，故，直线与平面所成角的正弦值为，解得：故选：【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题10.已知函数的图象如图所示，则的可能取值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得，由可得，由（1）（3）可得可取【详解】的图象关于轴对称，为偶函数，（1）（3），取，则故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.设，则的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.12.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，易知.由题意知，则抛物线.因为，所以，又，得 （负值舍去），联立，得，故，所以，故，过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，易知，故，故选C二、填空题13.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.14.下列三个命题在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是_.；【答案】【解析】【分析】由线面平行的性质和判断可得；由线面平行的判定定理可得；由线面垂直的性质和线面平行的判断可得【详解】，或，由；，；，或，由故答案为：【点睛】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查线面平行的判定，考查推理能力，属于基础题15.若双曲线：）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用被圆截得的弦长为2，列出关系式，然后求解双曲线的离心率【详解】双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得，解得，可得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查16.数列的前项和为，且，则数列的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由配方法求数列的最小值【详解】由，得，当时，适合上式，则当时故答案为：【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在中，角的对边分别为，且满足 （其中）（）求证：；（）若，求的取值范围.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，由正弦定理，二倍角公式可得，可证A=2B；（2）由两角和的正弦函数公式可得（B），由由(1)及可得，利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】（1）由已知，两边同时除以，得化简，得由正弦定理和余弦定理，得解得，所以A=2B或所以A=2B或B=C又因为，所以A=2B（2）由得由，解得,所以，所以【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）男性181299642女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率.（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有999%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附：，0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）平均值为（2）（3）见解析【解析】【分析】根据平均数的公式进行计算即可;利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;完成列联表，计算的值，利用独立性检验的性质进行判断即可【详解】由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为，的女性客户中抽取1人设为，2人设为A，4人，设为，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，AB，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：，共6个，则事件A发生的概率依题意得列联表如下非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性481260女性162440合计6436100则故有把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关【点睛】本题主要考查古典概型概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键考查学生的计算能力对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥体积的最大值；【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由平面可得，由平面可得，故而平面，于是平面平面；（2）代入体积公式可知，根据基本不等式求出的最大值即可【详解】证明：侧面底面，侧面底面，四边形正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算及基本不等式求最值，属于中档题20.设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16（）求椭圆的方程；（）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（）设，利用点差法，可得，由此可得O，M，N三点共线【详解】（）解：由题意知，又，椭圆E的方程为；（）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设，则，相减得，即，即，；同理可得，所以O，M，N三点共线【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题21.已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）函数的定义域为，其导数，对分类讨论即可得出单调性（2），其导函数令，可得，令，令，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出【详解】（1）函数的定义域为，其导数若，则，函数上单调递增；若，令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减（2），其导函数，令，令，则，由，x（0，1）1+0-取极大值又因为时，恒成立，于是函数的图像如图所示要使有两个不同的极值点，则需，即的取值范围为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点.（）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；（）若成等比数列，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）利用将曲线极坐标方程化为直角坐标方程y22ax（a0）；利用加减消元消去参数将直线的参数方程化为普通方程xy20 （）利用直线参数方程几何意义，将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程所得关于参数的方程，其中|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|再根据成等比数列列等量关系解得a1试题解析：（）曲线C的直角坐标方程为y22ax（a0）；直线l的普通方程为xy20 4分（）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t22（4a）t8（4a）0 （*） 8a（4a）0设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|由题设得（t1t2）2|t1t2|，即（t1t2）24t1t2|t1t2|由（*）得t1t22（4a），t1t28（4a）0，则有（4a）25（4a）0，得a1，或a4因为a0，所以a1 10分考点：极坐标