固体物理基础课后答案西安电子科技大学出版社曹全喜.pdf

声明声明 第一条 第一条 佐正： 第 1 章第 5 题 “原子数、 面密度” 改为 “原 子数面密度” ；第 7 章第 7 题“原于量”改为“原子 量” 。 第二条 第二条 本习题解答基于版本：固体物理基础-西安电子 科技大学出版社(曹全喜 雷天明 黄云霞 李桂芳 著) ，且仅限于习题解答，而不包含思考题部分； 第三条 第三条 此版本只含有习题参考答案 （部分题目提供了多 种解法） ，而不含有思维分析，若要交流，请百度嗨 小生； 第四条 第四条 由于本学期只教习了前 5 章， 因此本解答仅包含 前 5 章内容，完整版将于寒假后奉上； 第五条 第五条 本习题解答由“苏大师”整理/解答/编排而成； 第六条 第六条 纰漏难免，欢迎指正； 第七条 第七条 不加水印 方便打印 版权所有 网传必究！ 第1章 晶体结构 习题第1章 晶体结构 习题 1?画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾； （2）氯化钛； （3）硅； （4）砷化镓； （5）碳化硅（6）钽酸锂； （7）铍； （8）钼； （9）铂。 解：解： 名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲 格子 初基元胞初基元胞 中原子数中原子数 惯用元胞 中原子数 配位数 氯化钾 KCl NaCl 结构 fcc 2 8 6 氯化钛 TiCl CsCl 结构 sc 2 2 8 硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4 砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4 碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4 1 钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 sc 5 5 2、6、12 O、Ta、Li 铍 Be hcp 简单 六角 2 6 12 钼 Mo bcc bcc 1 2 8 铂 Pt fcc fcc 1 4 12 2 、试证明：理想六角密堆积结构的 1 2 8 1.633 3 c a 。如果实际的 c a 值比这个数值大得多，可以把晶体 视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 证明：证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为 a，而相邻两层的最近邻原子间距为： 2 1 22 43 ca d。 当 d=a 时构成理想密堆积结构，此时有： 2 1 22 43 ca a， 由此解出：633. 1 3 8 2 1 a c 。 若633. 1 a c 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。 3、画出立方晶系中的下列晶向和晶面： 101、110、112、 121 、 （110） 、 （211） 、 （111） 、 （112） 。 解：解： 2 4?考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基 原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解：解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标 系中，在1a、 2a、3a三个基矢坐标上的截距为2,2 ，则晶面 指数为（101） 。同理， （001）晶面在初基原胞基矢坐标系 1a、2a、 3a上的截距为,2,2，则晶面指数为（110） 。 5?试求面心立方结构（100） 、 （110） 、 （111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于 上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：解： 晶面指数 面间距 对称轴 （100） 2 2 a C4 （110） a 2 2 C2 （111） a 3 3 C3 6?对于二维六角密积结构， 初基原胞基矢为：13 2 a aij ， 2 3 2 a aij ，kcc 。求 其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。 解：解：由倒格基失的定义，可计算得： 32 1 2aa b = a 2 ) 3 1 ( ji， 2 a2a 2 a2a a a 3 3 3 2 3 _4 原子数面密度 ji a aa b) 3 1 ( 22 13 2 ， k c aa b 22 21 3 （未在图中画出） 正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示 （1）由 21 bb 、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有 C6操作对称性，而 C6对称性是六角晶系的特 征。 （2）由 21 aa 、构成的二维正初基原胞，与由 21 bb 、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间 为六角结构，倒空间也必为六角结构。 （3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。 7 、用倒格矢的性质证明，立方晶系的hkl晶向与（hkl）晶面垂直。 证明：证明：由倒格矢的性质，倒格矢 321 blbkbhGhkl垂直于晶面（hkl） 。由晶向指数（hkl） ，晶向可用 矢量A表示，则： 321 alakahA。 倒格子基矢的定义： )(2 32 1 aa b ； )(2 13 2 aa b ； )(2 21 3 aa b 在立方晶系中，可取 321 aaa、相互垂直且 321aaa，则可得知332211bababa， ， ， 且321bbb。设m a b i i （为常值，且有量纲，即不为纯数） ， 则，即与A平行。 8 ?考虑晶格中的一个晶面（hkl） ，证明：(a) 倒格矢123hGhbkblb垂直于这个晶面；(b) 晶格中相 hklGhklG A 4 =m=m（ha + ka + la ） 123 邻两个平行晶面的间距为 2 hkl h d G ；(c) 对于简单立方晶格有 2 2 222 a d hkl 。 证明：证明： （a）晶面（hkl）在基矢 321aaa、 、 上的截距为 l a k a h a 321 、 、 。作矢量： k a h a m 21 1， l a k a m 32 2， h a l a m 13 3 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图） ，且 0222 321 21 321 13 321 3221 321 21 1 aaa aa l aaa aa k aaa aa h k a h a blbkbh k a h a Gm h 同理，有0 2hGm，03hGm 所以，倒格矢hklGh晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为： hhh h hkl GG blbkbh h a G G h a d 2 32111 （c）对于简单立方晶格： 2 1 222 2 lkh a Gh 222 2 2 lkh a d 9?用 X 光衍射对 Al 作结构分析时， 测得从(111)面反射的波长为 1.54， 反射角为=19.20， 求面间距 d111。 解：解：由布拉格反射模型，认为入射角反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得 sin2 n d （对主极大取 n=1） )(34. 2 2 .19sin2 54. 1 0 Ad 10 ?试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。 证明：证明：由劳厄方程：2)( 0kkRl 与正倒格矢关系：2h l GR比较可知： 若 0kkGh成立，即入射波矢0k，衍射波矢k之差为任意倒格矢hG，则k方向产生衍射光， 0kkGh式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。 5 现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式。 对弹性散射： 0kk 。由倒格子性质，倒格矢hG垂直于该 晶面族。所以， hG的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知： sin 4 sin2 kGh (A) 又若 hG为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有： d Gh 2 ；若 hG不是该方向最短倒格失， 由倒格子周期性： n d GnG hh 2 （B） 比较（A） 、 （B）二式可得： 2dSinn 即为 布拉格公式。 11 、求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 3 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 000， ， ， ， ， ， ， 结构因子： m ij lwkvhui jhkl jjj efS 2 lkhilkhilkhilkhi lhilkikhi eeeeeeef 33 2 33 2 33 22 1 前四项为 fcc 的结构因子，用 Ff表示从后四项提出因子 )( 2 lkhi e lkhi f lkhi ff lkilhikhi lkhi fhkl eFeFFeeeefFS 22 )()()( )( 11 2 因为衍射强度 2 hkl SI ， lkhilkhi f lkhilkhi fhkl eeFeeFS 22 2 )()( 22 211 22 用尤拉公式整理后： )( 2 cos12 22 lkhFS fhkl 讨论：1、当 h、k、l 为奇异性数（奇偶混杂）时，0 f F，所以0 2 hkl S； 2、当 h、k、l 为全奇数时， 2222 32)4(22 ffFS flkh ； 3、当 h、k、l 全为偶数，且nlkh4（n 为任意整数）时， 2222 64164) 11 (2 ffFS flkh 当 h、k、l 全为偶数，但nlkh4，则122nlkh时， 6 0) 11 (2 22 FS lkh 12 、证明第一布里渊区的体积为 ? c V 3 2? ，其中 Vc是正格子初基原胞的体积。 证明：证明：根据正、倒格子之间的关系： )(2 32 1 aa b ， )(2 13 2 aa b ； )(2 21 3 aa b Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即 cc c c V aaaaaa V aaaaaa V aaaV 3 123123 3 211332 3 321 22 )()( 2 7 第2章 晶体的结合 第2章 晶体的结合 习习题 题 1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成： nm r b r a rU)(，求： 晶体平衡时两原子间的距离； 平衡时的二原子间的互作用能； 若取 m=2，n=10，两原子间的平衡距离为 3，仅考虑二原子间互作用则离解能为 4eV，计算 a 及 b 的值； 若把互作用势中排斥项 n b r 改用玻恩梅叶表达式exp r p ，并认为在平衡时对互作用势能具 有相同的贡献，求 n 和 p 间的关系。 解：解：(1) 由 nm r b r a rU)(，平衡时：0 )( 1 0 1 0 0 nm r bnramr r rU ， 得： am bn r mn 0 ，化简后得： mn am bn r 1 )( 0 。 (2) 平衡时把 r0表示式代入 U(r)中： mn m n mn mn n m mn b am n a bn m am bn b am bn a rU mn n mn m )()( )( 0 。 （3）由 r0表示式得： 8 1 ) 5 (103 10 a b 若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有 极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能结 合能互作用势能，由 U(r)式的负值，得： 1010210 19 )103()103( 106 . 14 ba 化简为： 80 10 10 39 104 . 6 ba 略去第二项计算可得： 2115238 1045. 9102 . 7mJbmJa ， (4) 由题意得： * 0 0 lnlnlnrnb p r ， b p r rnlnln 0 0 ，则： 0 0 ln ln r b p r n 8 0 0 rp n b e r 又解：*式两边对 r0求导，得： 1 0 np r bnre p ，与*式比较得： pr n1 0 可解得：npr 0 2、N 对离子组成的 Nacl 晶体相互作用势能为： R e R B NRU n 0 2 4 )( 。 证明平衡原子间距为：n e B Rn 2 01 0 4 ； 证明平衡时的互作用势能为：) 1 1 ( 4 )( 00 2 0 nR Ne RU ； 若试验试验测得 Nacl 晶体的结合能为 765kJ/mol，晶格常数为 5.6310-10m，计算 Nacl 晶体的排斥 能的幂指数 n，已知 Nacl 晶体的马德隆常数是1.75。 证明：证明： （1）由： R e R B NRU n 0 2 4 )( 得： 12 0 2 2 0 2 1 4 ) 1( 4 )( )( n n R Bn R e NR e RnBN dR RdU 令： 0 )( 0 RR R RdU ，即 0 4 1 0 2 00 2 n R Bn R e N 得： 2 01 0 4 e Bn Rn 。 （2）把以上结果代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR e N eB NRU nn e Bn e Bn e Bn 1 1 4 )(4)( )( 00 2 4 0 2 44 0 1 1 2 01 1 2 0 2 0 若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“” 。 （3）由（2）之结论整理可得： )(4 000 2 2 RUReN eN n 式中： 23 100 . 6NN， 19 106 . 1 e库仑， 12 0 1085. 8 法/米 若题中 R0为异种原子的间矩，则：mR 10 0 1063. 55 . 0 ； molJRU/1065. 7)( 5 0 U（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值） 9 马德隆常数：75. 1，将这些一致数据代入 n 的表达式中，则： 8 . 8 1056. 275. 1100 . 6 1065. 71082. 21085. 814. 34 1 1 )(4 1 1 3823 51012 2 000 eN RUR n 3、如果把晶体的体积写成：VNR3，式中 N 是晶体中的粒子数；R 是最近邻粒子间距；是结构因子， 试求下列结构的值：fcc；bcc；NaCl；金刚石。 解：解：取一个惯用元胞来考虑： 结构 V0 N0 R0 fcc a3 4 a 2 2 2 2 bcc a3 2 a 2 3 2 3 3 4 NaCl a3 8 2 a 1 金刚石 a3 8 a 4 3 2 3 3 8 4、证明：由两种离子组成的间距为 R0的一维晶格的马德隆常数2ln2。已知 1 1 1 ln21 n n n 证明：证明：由马德隆常数的定义： j j a 1 ，其中同号离子取“” ，异号离子取“” 。 若以一正离子为参考点，则： 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 1 5 1 3 1 12 nn (A) 又由已知 1 1 1 ln21 n n n ，代入（A）式，则：2ln2 5、假定由 2N 个交替带电荷为q的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为 n b r ，试证明在平衡间距 下有： 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 。 证明：证明：由 R q R B NRU n 0 2 4 )( ，得： 12 0 2 2 0 2 1 4 ) 1( 4 )( )( n n R Bn R q NR q RnBN dR RdU 10 令： 0 )( 0 RR R RdU ，即 0 4 1 0 2 00 2 n R Bn R q N 得： 2 01 0 4 q Bn Rn 。把该式代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR q N qB NRU nn q Bn q Bn q Bn 1 1 4 )(4)( )( 00 2 4 0 2 44 0 1 1 2 01 1 2 0 2 0 (A) 由马德隆常数的定义： j j a 1 ，其中同号离子取“” ，异号离子取“” 。 若以一正离子为参考点，则： 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 1 5 1 3 1 12 nn (B) 又由已知 1 1 1 ln21 n n n ，代入（B）式，则：2ln2。将代入(A) 式，得： 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 。 6、试说明为什么当正、负离子半径比37. 1/ rr时不能形成氯化铯结构；当41. 2/ rr时不能形成 氯化钠结构。当41. 2/ rr时将形成什么结构？已知 RbCl、AgBr 及 BeS 中正、负离子半径分别为： 晶 体 r+/nm r-/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似地把正、负离子都看成是硬小 球，请计算这些晶体的晶格常数。 解：通常 rr，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。 对氯化铯结构，如图（a）所示，8 个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体 的对角线 rrd22，立方体的边长为： rr d a 3 2 3 11 为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径 r2必须小于立方体的边长 a，即 rrar 3 2 2，由此可得：37. 1 13 1 / rr。 即为了能构成氯化铯结构晶体， rr /必须小于 1.37。 （a） （b） （c） 对于氯化钠结构，如图（b）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（100）面的离子分布情况，这 里设正离子处在顶角，由图可见， rrdr22，则41. 2 12 1 / rr。 所以，构成氯化钠结构 rr /必须小于 2.41。 对于闪锌矿结构，如图（c）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（110）面的离子分布，这里设负离 子处在面心立方位置，由图可见， arr 4 3 ，ar24 ， ra22 rarr22 4 3 4 3 ， 则：41. 245. 4/ rr 所以，构成氯化钠结构 rr /必须大于 2.41。 晶 体 r+/nm r-/nm rr / 晶体结构 晶格常数 a/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 1.214 1.734 5.118 氯化铯 氯化钠 闪锌矿 0.381 0.618 0.492 12 第3章 晶格振动 习题 1.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和 10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2， 求在 q=0,q= a 处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m _ 22 aa 解：已知 2 1 )cos2( 1 21 2 2 2 1 212 qa m A m (1) 2 1 )cos2( 1 21 2 2 2 1 212 a 0 mm (2) 由题意 2 10 1 10 代入（1）式 得 2 1 )cos20100( 111 222 qa m A m = 2 1 )cos20101( 11 qa mm = 2 1 )cos20101(11qa m 当 q=0 时 0)1111( 0 2 q m A 当 q= a 时 m q a m A 2 )911 2 ( 把 2=101=10代入（2）式 得 2 1 )cos20101( 2 11qa 0 m 当 q=0 时 q m 22 0 2 0 时 a q q a m 20 2 0 2. 设三维晶格的光学格波在 q=0 的长波极限附近有 i (q)= 0 Aq2 A0） （，求证光学波频 率分布函数(格波密度函数)为：g()= )1(3 1 s i 2 4 V 2 3 2 1 )( 0i A i 0 g()=0 i 0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i 区间格波数为 13 g ( i )d i = q d d i V i i 3 )2 ( 在长波极限下等频率面为球面 则 g( i )d i =dqq V 2 4 3 )2( 当 i 0 时 因为 q 2 A q) i(0 A q) i q ( 0 dq= 2 1 2 1 )(2 )( q 0 A qd i i 所以 g( i )= 2 1 2 1 )(2 1 4 )2( 0 0 3 i i AA V = - 2 3 2 1 2 0 4 )( A V i 由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当 i 0 时 因为 i 0 Aq2 所以 Aq2= 0 i 又因为 A 0 20 因为 q本身为实数) 所以 上式右边必满足 0 i 即不存在 i 0 的格波则 则 g( i )=0 又因为 三维晶体中共要有3（S1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： i 0 0 0 3 求一维单原子链的格波密度函数。若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长L Na，a为原子间距，N为原子数，在 a q a 区域 内 q只 能取N个值， dq 间距内的格波数为 f(q)dq=dq L dq Na dq a N 22 2 色散关系为 2 sin 4qa m (1) )cos1 ( 2 2 qa m = 2 2 m (1-cosqa) (2) 其中 = m 2 1 ) 4 ( m q ( = - 14 由于对应于q, 取相同的值， （色散关系的对称性 ，则 d区间的格波数为 g()d2 dq Nad d dq Na 2 (3) 由色散关系（2）可得： 2d= 2a m 2 sinqa dq qa a qa a dq d mm2 22 cos1 4 sin 4 = 22 2 a m 代入(3)可得： g( )= 2 2 2 N m (4) (2) 在德拜模型下，色散关系为线性 pq p dq d 代入(3)式 得； g()= p L p Na (5) 则零点能为： E 零 d L d D g p D 22 1 )( 0 0 = p L D 2 4 (6) 又因为 N L d L dg p D D p D 0 ) 0 ( 得： N L D p (7) 代入（6）式 得： E = 零 a N QK NN DBd 444 4. 试用平均声子数n（ （ 1 ) KT e1 证明： 对单式格子，波长足够长的格波平均能量为 kT ； 当T Q 时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于 ( d 3 ) QD T 。 解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则很低对满足 TkB 1的格波 把 T B K w e泰勒展开，只取到一次项 T B K w e（1 Tk w ） B Tk w ， B 11= 15 平均声子数 n 1 ) KT (e1 ，所以 w TkB n 而属于该格波的声子能量为 当T 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（ D 372） g(w)= 2 32 2 3 V 只有 T kB 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为： dg T A B K ) ( 0 3 3 ) 2 ( T 2 kV B 由上已知，此时格波平均能量为K T则晶格热容可表示为 B Tk TkV T C B B ) V ( 3 2 2 3 332 4 2 T vkB 把（375）式 3 1 )6 2 ( V N D 及 DBQD K代入整理为： C v 12NKB 3 )(Q D T 所以晶格比热正比于（ 3 ) QD T 得证 5. 对于金刚石、Zns、单晶硅、金属 Cu、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3). 格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数 解： 金刚石 Zns Si Cu 一维三原子晶格 初基元胞内原子数 2 2 2 1 3 初基元胞内自由度数 6 6 6 3 3 格波支数 6 6 6 3 3 声学波支数 3 3 3 3 1 光学波支数 3 3 3 0 2 6. 证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于 T . 证：在极低温度下，可用德拜模型，q点密度为 2 L g 16 d区间格波数为 g( )d2 d Ld dq L wq 1 dw 2 所以格波密度函数 g() L 只有 Tk B 的格波才能被激发，已激发的格波数为； A TkL d B g TKB )( 0 由第 4 题已证，在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发对满足 kT 1 的格 波能量为K T。则晶格热容为 B T LK TK TLK T B C B B V 2 2 即热容正比于T。 7. NaCl 和 KCl 具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为 320K 和 230K。KCl 在 5K 时的 定容热容量为 3.810-2 .Jmol-1.K-1，试计算 NaCl 在 5K 和 KCl 在 2K 时的定容热容量。 解： 设 NaCl 和 KCl 晶体所包含的初基元胞数相等，均为N，T D ，可用德拜模型（德 拜温度分别为 NaCl320K，KCl230K）利用 CV=qNk( 2 4 0 3 ) 1( ) x x e D dxex Q T T D Q T QD 1. 积分上限近似可取为、则有 15 4 ) 1 2 ( 2 4 0 x x e dxex 3 4 )( 5 12 D Bv Q T NKC 对 KCl： T5K 时 C v 3.8X10-2 当 2K 时 23 3 1 1024. 0 125 88 . 3 2 5 v C v C(J.mol-1.K-1) 对 NaCl：T=5K 时 3 310 311 3 11 )320( )230(8 . 3 )( ) 2 ( X D Dv v Q QC C1.41X10-2(J.mol-1.K-1) T 17 8、在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n 个与第 n+m 或 n-m 个原子间的恢复力系数为 m，试求格波的色散关系。 解： 设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 n,第 n+m 和 n-m 个原子 对平衡位置的位移分别为 n+m和 n-m（m = 1，2，3） ，则第 n+m 和 n-m 个原子对第 n 个原子的作用力为： .2 ,nmnmnmnmnmnmnmmn uuuuuuuf 第 n 个原子受力的总和为 .2 11 ,nmnmn m m m mnn uuufF 因此第 n 个原子的运动方程为 .2 1 2 2 nmnmn m m n uuu dt ud M 将格波的试探解 tqnai n Aeu 代入运动方程，得 2 1 2 iqmaiqma m m eeM 1cos2 1 qma m m . 2 sin4 2 1 qma m m 由此得格波的色散关系为 . 2 sin 4 2 1 2 qma M m m 9、求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。 解： 原子之间的耦合系数以 n表示。正方向由表面指向体内。m 为原子质量。 18 1、 对于 n=0 的表面原子， 只受到 n=1 的原子作用, 耦合系为 0。 其运动方程为： “ 0012 mxxx （ - ） （1） 2、对于 n=1 的表层原子，受到 0 号、1 号原子作用, 耦合系为 0，1。其运 动方程为： “ 1121010 mxxxxx（ - ） （ - ） （2） 其中 10 3、对于 n=2 的表面第三层原子，受到 1 号及 3 号原子的作用。假定第三层原 子代表体内原子。 12 体内原子振动方程为 “ 2232121 312 mxxx xx xx x ( -)(-) ( +-2) 一般表达式为 “ 11 mxxx nnnnn x (+-2) （3） 联立三个运动方程 “ 0010 “ 1121010 “ 11 mxx mxxx mxxx nnnnn x xx x ( -) (1) (-)( -) (2) (+-2) (3) 以上三个振动方程的解 有 2 001122 , i ti ti t xA exAexA e 一般情况下，振幅 A0=A1=A2= 振动方程通解为： i t n n xAe （4） 其中： n=0， 1，2；n=0 代表表面原子。 体内 表面 19 形式衰减系数 将此解，代入 n 2 振动方程，得到振动频率表达式 2 2 (1 ch)m 2 (2/)(1 ch)m （5） 注意：chx=(ex+e-x)/2,x=0,chx=1 由于(4)式概括了表面原子与体内原子的情况，所以（5） 式概括了表面原子与 体内原子的情况，其区别取决于 “” 表面模振动频率 必须是正实数或包含有正实部的复数，只有这样（5）才能给出 的衰减解. 代入 s i 到（5）式得到 2 (2/m)(1 ch) ss 由上式知 2 m s 体内原子链是无限原子链，链上每个原子情况均相同，无衰减现象。数学上的表 征要求 为虚数。引入 =ib，代入（5）式中： 2 b 2 1 ch(i) b m 2 4 sin 2 b m b 为相邻两原子的位相差 且有：b=qa 式中：q 为波矢，a 为晶常数 表面模与体模频率 20 第4章 固态电子论基础 习题 1.试推导出一维和二维自由电子气的密度。 拓展：三维自由电子气系统的能态密度表达式 ? 3 2 22 2 ( )() 2 Vm N EE h 解? （1）一维情况 自由电子的色散关系为 m k E 2 22 =. 由此得 dkE m dk m k dE 21 21 22 2 = , 即 dEE m dk 21 21 2 2 = . 对应同一个dE，在k方向各有一个dk，因此空间中dEEE+与之间的区间为 dEE m dkd 21 21 2 2 2 = , 在该范围内的状态数为 dEE mL d L dZ 21 21 2 2 = , 其中 L 是晶格长度.于是，态密度 ( ) 21 21 2 2 =E mL dE dZ EN . ?（2）二维情况 参照教程，二维情况下态密度的一般表示式为 ( ) = L kE dLS EN 2 2 . 其中 S 是晶格的面积，积分沿能量为 E 的等能线进行.由 () 22 2 2 yx kk m E+= 得 () m k kk m E yxk 2 21 22 2 =+=. 于是有 ( ) 2 1 2 22 2 22 mS k m kS E dLS EN L k = = = . 21 2. )( 2 )( 2 2 yx KK m E 试求： （1）能量从E到E dE 之间的状态数 （2）T0时费米能量的表示式 解： （1）解1：在二维情况下，每个 K 点在倒二维空间占的面积为（2/L 2 ） , K 点面密 度为 考虑电子自旋，在 K 单位面积内电子态总数为(电子态密度 ) 对题示的电子，等能面为圆，k 空间半径为 2 2 | mE k 的圆内电子态数目为 态密度 dE 间隔的电子状态数 dZgdE 解2： 2 2 )2( L 2 2 2 2 24 2 LL 2 2 2 2 2 2 2 mEL LmE Z 2 2 mL dE dz D dE mL 2 2 KdK L dZ 2 2 2 2 KdK m dE2 2 2 设N个自由电子被限制在边长为L的正方形势阱中运动，电子能量为 k (2) T=0 时 0 电子把E 0 V 0 这样两块金属中的电子分别具有附加的静电势能为 -eV 0 它们发射的电子数分别变成 平衡时 由此得 eV eV 所以接触电势差 V V（1/e） （ ）(注意 V0) T B K II e TKm B 2 2 )( 4 TKeVB B e TKm / )( 3 2 ) 1 1 ( 4 TKeV B B e TKm / ) ( 3 2 ) 1 ( 4 11 = 26 1、在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体 S 能带: （1）计算?s ?k ?关系； （2）求能带宽度； （3）讨论在第一?心附近等能面的形状。 注：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) ? 解： （1）对简立方，最近邻原子处于 Rn =ai , aj ,ak Es=s at AB eeeeee ik a ik a ik aik a ik aik a xx yy zz =s at A2B（Coskxa+Coskya+Coskza） （2） 当 Kx= Ky=Kz=0 时 Esmin=E s at A6B 当 Kx=Ky=Kz= a 时 Esmax=Es at A+6B 能带宽度EmaxEmin12B （3）当 Kx, Ky, Kz均趋于零时 Es（k ）Es at A2B（1 K a K a K a x y z 22 22 2 2 1 2 1 2 ） = Es at A2B 3 2 2 222 a KKK xyz 球形 2?近邻近似下， 用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es( )， 试 画出沿 Kx方向（Ky=Kz=0）的散射关系曲线，并计算能带宽度。 解： 选体心原子为参考点， 最近邻原子的 2 位置 Rn = a 2 i a 2 j a 2 k 27 第5章 固体能带论 习题 ?k (共八个) 则 Es(k )=Es at ABe iakkkiakkk xyzxyz e 22 ()() + )( 2 )( 2 zyxzyx kkk a ikkk a i ee +e iakkkiakkkiakkkiakkk xyzxyzxyzxyz eee 2222 ()()()() =Es at A2B e a kz iakk xy 2 2 () cos + )( 2 yx kk a i e cos a kz 2 +e iakk xy 2( ) cos a kz 2 + e a kz iakk xy 2 2 () cos = Es at A2B2e a kye a ky iakiak xx 22 22 coscos cos a 2 kz =Es at A4B2(cos k a x 2 cos k a k a y z 22 cos) =Es at A8Bcos k a x 2 cos k a k a y z 22 cos 当 Ky=Kz=0 时 Es(kx)=Es at A8Bcos k a x 2 同时 Kx=0 时 Esmin=Es at A8B 当 Kx=Ky=Kz=2 a 或 kx=2 /a;ky=kz=0 时 Esmax=Es at A+