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专题19 三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,0),(,0),(2,0).(2)余弦函数ycos x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,1),(,1),(2,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k,2k递减区间2k,2k无对称中心(k,0)对称轴方程xkxk无 微点提醒1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号,尽量化成0时情况,避免出现增减区间的混淆.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kZ)内为增函数.二、【典例精练】考点一三角函数的定义域、值域(最值)【例1】 (1)函数ylg(sin x)的定义域为_.(2(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】(1)(2)B【解析】(1)函数有意义,则即解得所以2k0,故a,因为f(x)cos在a,a是减函数,所以解得00).若f(x)f对任意的实数x都成立,则的最小值为_.【答案】【解析】由于对任意的实数都有f(x)f成立,故当x时,函数f(x)有最大值,故f1,2k(kZ),8k(kZ).又0,min.【解法小结】1.若f(x)Asin(x)(A,0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ);(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).2.函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期T,yAtan(x)的最小正周期T.角度2三角函数图象的对称性【例32】 (1)已知函数f(x)asin xcos x(a为常数,xR)的图象关于直线x对称,则函数g(x)sin xacos x的图象()A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x对称 D.关于直线x对称(2)(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x),x为f(x)的零点,x为yf(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【答案】(1)C(2)B【解析】(1)因为函数f(x)asin xcos x(a为常数,xR)的图象关于直线x对称,所以f(0)f,所以1a,a,所以g(x)sin xcos xsin,函数g(x)的对称轴方程为xk(kZ),即xk(kZ),当k0时,对称轴为直线x,所以g(x)sin xacos x的图象关于直线x对称.(2)因为x为f(x)的零点,x为f(x)的图象的对称轴,所以,即T(kZ),所以2k1(kZ).又因为f(x)在上单调,所以,即12,11验证不成立(此时求得f(x)sin在上单调递增,在上单调递减),9时满足条件.由此得的最大值为9.【解法小结】1.对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令xk(kZ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令xk(kZ),求x即可.2.对于可化为f(x)Acos(x)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令xk(kZ),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令xk(kZ),求x即可.【思维升华】1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx,将其转化为研究ysin t(或ycos t)的性质.3.数形结合是本讲的重要数学思想.【易错注意点】1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,别忘了注明kZ.三、【名校新题】1.(2019武汉调研)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称,则()A.B.C.D.【解析】A【解析】f(x)sincos2sin,由题意可得f(0)2sin2,即sin1,k(kZ),k(kZ).|0),若f(x)的两个零点x1,x2满足|x1x2|min2,则f(1)的值为()A.B.C.2 D.2【答案】C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2|x1x2|min224,即,所以f(1)2sin cos 2.4.(2019西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值,则f(x)在0,上的单调递增区间是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因为0,所以,又因为f(x)cos(x)在x时取得最小值,所以,所以f(x)cos.由0x,得x.由x,得x,所以f(x)在0,上的单调递增区间是.5.(2019广西五市联考)若函数f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为1,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】因为01,0x,所以0x,所以f(x)在区间上单调递增,则f(x)maxf2sin1,即sin.又因为0x,所以,解得.6.(2018日照一中模拟)下列函数中,周期为,且在上单调递增的奇函数是()Aysin BycosCycos Dysin【答案】C【解析】ysincos 2x为偶函数,排除A;ycossin 2x在上为减函数,排除B;ycossin 2x为奇函数,在上单调递增,且周期为,符合题意;ysincos x为偶函数,排除D.故选C.7.(安徽定远重点中学2019届高三上学期第一次月考)设函数,其中常数满足若函数(其中是函数的导数)是偶函数,则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】fx=-3sin3x+,fx+fx=2cos3x+3,依题意,+3=k,kZ,-0,可得。10.(2019年合肥二模)将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是A.函数的图象关于点对称 B.函数的周期是C.函数在上单调递增 D.函数在上最大值是1【答案】C【解析】由题意,gx=2sin2x+6-1,当x0,6时,2x+66,2,gx单调递增。故选C.11.(2019商丘质检)函数f(x)3sin,(0,)满足f(|x|)f(x),则的值为_.【答案】【解析】由题意知f(x)为偶函数,关于y轴对称,f(0)3sin3,k(kZ),又0,.12.(2019烟台检测)若函数f(x)cos(0)是奇函数,则_.【答案】【解析】因为f(x)为奇函数,所以k(kZ),k,kZ.又因为00)在上单调递减,则的取值范围是_【答案】【解析】由x,得x0),ff,且f(x)在上单调递减,则_.【答案】1【解析】由ff,可知函数f(x) 的图象关于直线x对称,k,kZ,14k,kZ,又f(x)在上单调递减,T,2,又14k,kZ,当k0时,1.15.(2019合肥质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)f(x)sin xcos xsin,且T,2,于是f(x)sin.令2xk(kZ),得x(kZ).即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ),得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x,所以令k0,得函数f
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