人教a版选修2-2221《综合法和分析法》(1)课件

证明不等式的基本方法 一、比较法 2233, 1 abbabababa 求证且都是实数已知例)()()()(: 32232233 babbaaabbaba 证明)()()( 2222 babababbaa 2)( baba 0,0, baba0)( 2 baba又0)()(0)( 22332 abbabababa 即故2233 abbaba (1)作差比较法 ., 2并给出证明问题将这个事实抽象为数学增加到此时溶液的浓度白糖若在上述溶液中再添加则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例mbmam k gbab k gakgbambmabamba 则且并都是正数已知如下不等式问题可以把上述事实抽象成解,:bambmabamba 则且并都是正数已知如下不等式问题可以把上述事实抽象成解,:下面给出证明 )()(mbbabmbambma0)(,0)(,0mbbabmmbaabab 都是正数又 bambmabambmambbabm 0 0)()(即., 3等号成立时当且仅当求证是正数已知例babababa abbabaabbaabbababababa :证明.,1,0,1,0),(等号成立时当且仅当则不妨设不等式不变的位置交换点根据要证的不等式的特bababababababa., 等号成立时当且仅当 bababa abba (2)作商比较法 二、综合法与分析法 (1)综合法 在不等式的证明中 ,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发 ,通过逻辑推理 ,推导出所要证明的结论 .这种从已知条件出发 ,利用定义、公理、定理、性质等 ,经过一系列的推理、论证而得出命题成立 ,这种证明方法叫做 综合法 .又叫 顺推证法或由因导果法 . 用综合法证明不等式的逻辑关系 )()(21结论必要条件逐步推演不等式成立的已知BBBBA n a b cbacacbcbacba6)()()(,0, 1222222 求证且不全相等已知例a b ccbaabccb 2)(,0,2 : 2222 证明a b cacbbacac 2)(,0,2 2222 a b cbaccabba 2)(,0,2 2222 a b cbacacbcbacba6)()()(,222222把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,a, 221n21n21 求证且已知例.1,21,122)1()1)(1(,21,21,21, :21.21212122111时取等号所以原式在取等号时得由不等式的性质同理证明niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa(2)分析法 从要证的结论出发 ,逐步寻求使它成立的充分条件 ,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证的定理、性质等 ),从而得出要证的命题成立 ,这种证明方法叫做 分析法 .这是一种 执果索因 的思考和证明方法 . 用分析法证明不等式的逻辑关系 知成立的充分条件论已步步寻求不等式结) ( 21 ABBBB n 用分析法证“若 A则 B”这个命题的模式是 : 为了证明命题 B为真 , 只需证明命题 B1为真 ,从而有 只需证明命题 B2为真 ,从而有 只需证明命题 A为真 . 而已知 A为真 ,故 B必真 . 6372 3 求证例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立所以成立只需证只需证展开得只需证所以要证都是正数和证明a b ccbaaccbbacba 222222,0, 4 求证已知例a b ccbaaccbbacbacbacbacbaa b caccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2 :故又证明复习 不等式证明的常用方法 : 比较法、综合法、分析法 .21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xyyxyxyx211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx反证法 先 假设 要证明的命题不成立，以此为出发点 ,结合已知条件 ,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到 矛盾 ，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。 (正难则反 ) 例 2、已知 a + b + c 0， ab + bc + ca 0， abc 0， 求证： a, b, c 0 ,: 正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明 cba.00,0 两种情况讨论和下面分不妨先设 aaa.0,0,0,0)1( 不可能矛盾与则如果 aabcabca,0,00,0)2( cbabcabca 又可得那么由如果,0)(,0 bccbacabcabacb 于是.0.0 也不可能相矛盾这和已知 acabcab.,0,0,0 所以原命题成立同理可证综上所述 cba归缪矛盾： （ 1）与已知条件矛盾； （ 2）与已有公理、定理、定义矛盾； （ 3）自相矛盾。 反证法主要适用于以下两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显 ,直接由条件推出结论的线索不够清晰 ; (2)如果从正面证明 ,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明 ,只研究一种或很少的几种情形 . 证：记 m = caddbdccacbbdbaa a, b, c, dR+ 1 cbad dbadc cacba bdcba am2 cdddccbabbaam 1 a,只须寻找 b2使 bb2且 b2a(缩小 ) 放缩法 的依据就是 传递性 。 放缩法 .111, 4bbaabababa求证是实数已知例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa证明需注意： （ 1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。 （ 2）不能放（缩）得太大（小），即要放缩适中。 )2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(:.)3(;)2(;)()1(:2222Nkkkkkkkkkkkkkkaa且以上如缩应用基本不等