2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第7讲 抛物线1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD解析：选C.由已知，得准线方程为x2，所以F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率为k.2若点A，B在抛物线y22px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是()Ay2xBy2xCy22xDy2x解析：选A.根据对称性，ABx轴，由于正三角形的面积是4，故AB24，故AB4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得44p，解得p，故所求的抛物线方程为y2x.故选A.3(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析：选D.法一：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D.法二：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(xxx2)1445188.故选D.4(2019湖南省五市十校联考)已知抛物线y22x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54，且|AF|2，则点A到原点的距离为()A.B2C4D8解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y22x中，解得a或a(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.5(2019太原模拟)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|等于()A.B.C3D2解析：选C.因为4，所以|4|，所以.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，所以，所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.6(2019云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点坐标代入可求得p，所以准线方程为y.答案：y7(2019河北六校模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36，所以圆的半径为6，则|MF|xM6，即xM6，又由题意可知xM，所以6，解得p8.所以抛物线方程为y216x.答案：y216x8已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p_解析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为1.双曲线的渐近线方程为yx.对函数yx2，yx.设M(x0，y0)，则x0，即x0p，代入抛物线方程得y0p，由于点M在直线1上，所以p1，解得p.答案：9顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线方程解：设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y2x4代入y2ax，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.1(2019甘肃兰州模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D1解析：选C.由题意得F，设P，显然当y00时，kOM0时，kOM0.要求kOM的最大值，则y00，则()，所以kOM，当且仅当y2p2时，取得等号2(2019福建省普通高中质量检查)过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|2|AF|，则|BF|等于()A2B3C4D5解析：选C.设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1，0)，D(1，0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故选C.3(2017高考北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解：(1)由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点4(2019湖南六校联考)已知抛物线的方程为x22py(p0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.解：(1)设直线AB的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22pkxp20，则所以x1x2y1y2p2.(2)由x22py，知y，所以抛物线在A，B两点