2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用练习新人教A版.docx

第2课时 抛物线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1若抛物线y24px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A点F到y轴的距离B点F到准线l的距离C点F的横坐标D点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y24px(p0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离答案：A2过点(1，0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，所以x1x24，x1x21.所以|AB|2.答案：B3设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积()A. B. C. D.答案：D4已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k()A. B. C. D2解析：由已知得y28x的焦点坐标为(2，0)，且设过点(2，0)，斜率为k的直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立得则有yk，即y2y2k0.由根与系数的关系得y1y2，y1y216.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y8x1，y8x2，且(x12，y12)(x22，y22)0，即(x12)(x22)(y12)(y22)0，即(y12)(y22)0，所以(yy)4y1y22(y1y2)40，41640，解得k2.答案：D5过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在解析：由定义|AB|527，因为|AB|min4，所以这样的直线有且仅有两条答案：B二、填空题6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点若ABF为等腰直角三角形，则p_解析：由题意，知ABF的斜边长为2p，故点B，代入双曲线方程，得p2.答案：27已知点P(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y24的最小值为_答案：48已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是_解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，由题意可得直线l的方程为y(x2)由得B点的坐标为.所以|AB|AF|BF|282.所以AB的中点到准线的距离为.答案：三、解答题9如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点， 试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出其最大面积解：由解得或所以A(4，4)，B(1，2)，所以|AB|3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d|(y01)29|.因为2y04，所以(y01)290.所以d9(y01)2从而当y01时，dmax，Smax3.因此，当P为时，PAB的面积取得最大值，最大值为.10.如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，将其代入x24y，得y1.故点A(2，1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.B级能力提升1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B. C. D.解析：抛物线y22px的准线方程为x，因为A(2，3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2，0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由14(2k3)0，解得k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8.将y8再代入y28x中，得x8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为.答案：D2已知O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是_解析：因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A，则，由4，得y02，所以点A的坐标是(1，2)或(1，2)答案：(1，2)或(1，2)3.如图所示，抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：法一设直线AB的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.联立方程组，得消去x，得y2p20，所以y1y2p2，kOA，kOC.又因为y2px1，所以kOCkOA，所以AC经过原点O.当k不存在时，ABx轴，同理可得kOAkOC，所以AC经过原点O.法二因为抛物线y22px(p0)的焦点为F，由于直线AB斜率不为0，所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程消去x，得y22