任意角的三角函数课件

任意角的三角函数 sin br s i nbr cos arc o sar ta ba t a n ba 思考 2： 对于确定的角 ，上述三个比值是否随点 P在角 的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？ x y o P(a， b) r A B OPMPs inOPOMc o sOMMPt a n，故因 1 rOPyxxy以原点 O为 圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆 . y o P ),( yxx 1 M 思 考 1、任意角的三角函数第一定义 设 是一个 任意角 ，它的终边与单位圆交于点 ),( yxP规定 :（ 1） 叫做 的 正弦 ，记作 ，即 ； y sin ysin（ 2） 叫做 的 余弦 ，记作 ，即 ； cosx xcos（ 3） 叫做 的 正切 ，记作 ，即 。 xy tanxyta n注意：正弦，余弦，正切都是以 角为自变量 ，以 单位圆 上点的 坐标或坐标的比值 为函数值的函数，我们将他们称为 三角函数 . 0,1AOyx yxP , )0( x重点理解 三角函数 定义域 y=sinx y=cosx y=tanx 由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。在弧度制下，三角函数的定义域如下： |2x x k 三角函数的定义域 R R 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 ),( yxP022 yxrP那么 叫做 的正弦，即 ry rysin 叫做 的余弦，即 rx rxcos 叫做 的正 切 ，即 xy 0ta n xxy2、任意角的三角函数第二定义： xyrO x y M P (x,y) 诱思 探究 如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ 思考四 重点理解 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考 1： 当角 在某个象限时，设其终边与单位圆交于点 P（ x， y），根据三角函数定义， sin ， cos ， tan 的函数值符号是否确定？为什么？ s i n y c o s x t a n ( 0 )yxx 的终边 P(x， y) O x y 思考 2： 设 是一个任意的象限角，那么当 在第一、二、三、四象限时， sin的取值符号分别如何？ cos ， tan 的取值符号分别如何？ s i n y c o s x t a n ( 0 )yxx sincos思考 3： 综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表： 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 s in cosc o s t a n + + + + + + 你有什么办法记住这些信息？ 思考 4： 如果角 与 的终边相同，那么sin 与 sin 有什么关系？ cos 与 cos 有什么关系？ tan 与 tan 有什么关系？ 思考 5： 上述结论表明， 终边相同的角的同名三角函数值相等， 如何将这个性质用一组数学公式表达？ 公式一： s i n ( 2 ) s i nk c o s ( 2 ) c o sk kZt a n ( 2 ) t a nk kZ: ( 3 , 4 ) ,s i n , c o s , t a n .P 例 1 已 知 角 的 终 边 上 有 一 点求 的 值22: ( 3 ) 4 5O P r 解4s i n5yr 所以,3c o s5xr 4t a n3yx .322正弦、余弦、正切值的），求角，（的终边经过点已知角例 P解： ,3,2 yx因为,13)3(2 22 r所以rys i n所以,13133133 rxc o s,13132132 xyt a n .23 13512 2222 yxr135s in ry1312c o s rx125t a n xy于是 ， 练习 1 已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值 . 5,12P解：由已知可得： .),0)(3,2(2的正弦、余弦、正切值求的终边经过点：已知角练习 aaaP解： ,3,2 ayax 因为，所以 )0(13)3()2( 22 aaaar,13,0)1( ara 时当，2323t a n13132132c o s13133133s i naaxyaarxaary,13,0)2( ara 时当，2323t a n13132132c o s13133133s i naaxyaarxaary.000号两种情况去掉绝对值符和，所以分号，由于【评】：注意绝对值符aaa例 2. 确定下列三角函数值的符号： 11c o s 2 5 0 s i n ( ) t a n ( 6 7 2 ) t a n43（ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ） ；解析：（ 1）负 （ 2）负 （ 3）正 （ 4）负 数cosx tanx例 3.求 函 y = + 的 值 域 .c o s x t a n x义 终 边 轴终 边 轴解 析 ：定 域 ： c o s x 0 x的 不 在 x上又 t a n x 0 x的 不 在 y上当 时当 时当 时当 时为 x是 第 一 象 限 角 ， x 0 , y 0 ,c o s x = c o s x , t a n x = t a n x , y = 2 ;x是 第 二 象 限 角 ， x 0 ,c o s x = - c o s x , t a n x = - t a n x , y = - 2 ;x是 第 三 象 限 角 ， x 0 , y 0，把 OM看作与 x 轴同向， 规定此时 OM具有正值 x ； 如果 x 0，把 MP看作与 y 轴同向， 规定此时 MP具有正值 y ； 如果 y 0，把 MP看作与 y 轴反向， 规定此时 MP具有负值 y ； 在这种规定下，不论哪一种情况，都有 MP = y . 由正弦、余弦、正切函数的定义有： s i n 1yy y M Pr c o s 1xx x O Mr 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、 OM、AT，分别叫做角 的 正弦线 、 余弦线 、正切线 t a n y M P A T ATx O M O A 问题提出 1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？ 2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？ MP=sin ， OM=cos ， AT=tan . s i n y c o s x ta n ( 0)y xx P O x y M A T 3.对于一个任意角 ， sin ， cos ，tan 是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据 小结 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值 . 2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的 . 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关