电动力学答案.pdf

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 1 - 1. 试用A r 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 0 B r 写出A r 的两种不同表示式证明两者之 差是无旋场 解 0 B r 是沿 z 方向的均匀的恒定磁场即 z eBB r r = 0 且AB rr = 0 在直角坐标系中 z x y y zx x y z e y A x A e x A z A e z A y A A rrr r )()()( + + = 如果用A r 在直角坐标系中表示 0 B r 即 = = = 0 0 0 y A x A x A z A z A y A x y zx y z 由此组方程可看出A r 有多组解如 解 1)(, 0 0 xfyBAAA xZy += 即 x exfyBA r r )( 0 += 解 2)(, 0 0 ygxBAAA Yzx += 即 y eygxBA r r )( 0 += 解 1 和解 2 之差为 yx eygxBexfyBA rr r )()( 00 += 则 z x y y zx x y z e y A x A e x A z A e z A y A A rrr r )( )( )()( )( )( )( + + = 0 这说明两者之差是无旋场 2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管每单位长度线圈匝数为 n电流强度为 I试用唯一性定 理求管内外磁感应强度 B 解根据题意得右图取螺线管的中轴线为 z 轴 本题给定了空间中的电流分布故可由 = 4 3 0 dV r rJ B r r r 求解磁场分布又J r 在导 线上所以 = 3 0 4r rlJd B r r r 1 螺线管内由于螺线管是无限长理想螺线管故由电磁学的有关知识知其内部磁 电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 2 - 场是均匀强磁场故只须求出其中轴线上的磁感应强度即可知道管内磁场 由其无限长的特性不妨取场点为零点以柱坐标计算 xyx ezeaear rrrr sincos= yx eadead l d rr r cossin+= )sincos()cossin( xyxyx ezeaeaeadeadr l d rrrrrr r += zyx edaedazedaz rrr sincos 2 += 取由dzzz+的以小段此段上分布有电流nIdz + + = 2 3 22 2 0 ) ( )sincos( 4 za edaedazedaznJdz B zyx rrr r In a z a z d nI enI za dza d z0 2 3 2 0 2 3 22 2 2 0 0 1) ( ) ( 2 ) ( 4 = + = + = + r 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管不妨就在 xoy 平面上任取一点) 0 . ,(P为场点 )(a 222 ) sinsin() coscos(zaaxxr+= rr ) cos(22 22 +=aza (=xxr rrr x ea r ) coscos zy ezea rr ) sinsin( yx eadead l d rr r cossin+= zyx edaaedazedazr l d rrrr r )cos(sincos 2 += += sin cos 4 3 2 0 3 2 0 0 dze r daz ddze r daz dnIB yx rr r )cos( 3 2 2 0 + z edz r aa d r 由于磁场分布在本题中有轴对称性而螺线管内部又是匀强磁场且螺线管又是无限 长故不会有磁力线穿出螺线管上述积分为 0所以0=B r 电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 3 - 3. 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动以 z0 区 域为真空试用唯一性定理求磁感应强度 B然后求出磁化电流分布 解本题的定解问题为 = = = = = 01 0 02 021 2 2 01 2 11 )0( , )0( , zz z AA AA zJA zJA rr rr rr rr 由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为 = = r lId xA r lId xA r r r r r r 4 )( 4 )( 2 0 1 由此可推测本题的可能解是 = )0( , 2 )0( , 2 0 ze r I ze r I B r r r 验证边界条件10)(, 12021 = = BBnAA z rr r rr 即 题中0,= eeen zz rrrr 且所以边界条件 1满足 20)(, 11 1201 0 02 = = HHnAA zz rr r rr 即 本题中介质分界面上无自由电流密度又 e r IB H e r IB H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 = = , 0 12 =HH rr 满足边界条件0)( 12 =HHn rr r 综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解 = )0( , 2 )0( , 2 0 ze r I ze r I B r r r 在介质中M B H r r r = 0 故在 z时的磁屏蔽作用 解根据题意以球心为原点取球坐标选取 0 H v 的方向为 z e v 在外场 0 H v 的作用下 球 壳极化产生一个附加场并与外场相互作用最后达到平衡B v 的分布呈现轴对称 定解问题 = = 时 1 )(2 )2)(2( 2 0 00 + 0 1 =B v 即球壳腔中无磁场类似于静电场中的静电屏障 11. 设理想铁磁体的磁化规律为 000 ,MMHB+= rr 是恒定的与H r 无关的量今将一个 电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 13 - 理想铁磁体做成均匀磁化球 0 M为常值浸入磁导率为的无限介质中求磁感应 强度和磁化电流分布 解根据题意取球心为原点做球坐标以 0 M v 的方向为 z e v 本题具有球对称的磁场分布 满足的定解问题为 = = + + = )(, )(3 2 )( , 2 2 0 3 0 5 0 3 00 0 00 RR R M R RRMR RR M Bvrvv v v 电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 14 - 又0)()( 012 0 其中 vvv vv v += MR BBn 代入B v 的表达式得 eM M vv sin 2 3 0 0 12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场 0 H r 中结果如何 解根据题意假设均匀外场 0 H v 的方向与 0 M v 的方向相同定为坐标 z 轴方向 定解问题为 = = = = = = cos cos , , 0 , 0 0 0 000 0 2 0 2 2 1 0 21 021 2 1 RH M RR RR RR Rm Rm R mm RRmm m m 解得满足自然边界条件的解是 )( ,cos 01 1 RRRa m += 代入衔接条件 001 3 0 1 000 2 0 1 0001 2 Ma R d H R d RHRa =+ += 得到 0 0000 1 2 3 + = HM a 3 0 0 0000 1 2 )( R HM d + + = )( ,cos 2 3 0 0 0000 1 RRR HM m + + += sin 2 3 cos 2 3 0 0000 0 0000 1 1 e HM e HM H rm vv v + + = + = 0 0000 2 3HM vv )( , 2 2 2 3 00 0 2 0 0 0 0 001 RRMHMHB + + + =+= vvvvv + + = rm e R RHM HH v v )cos 2 2 )( cos( 2 3 0 0 0000 02 2 35 0 2 3 0 0 0000 0 )( 3 )sin 2 )( sin( R m R RRm He R RHM H v vr r v v += + + + )(3 35 00202 R m R RRm HHB v vr r vvv += 0 3 0 0 03 0 0 00 22 HRR M m v v v + + + = 13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为 R0总电荷为 Q今使球壳绕自身某一直径以 角速度转动求球内外的磁场B r 提示本题通过解 m 或A r 的方程都可以解决也可以比较本题与5 例 2 的电流分布 得到结果 解根据题意取球体自转轴为 z 轴建立坐标系 定解问题为 = = = = 代入衔接条件 =+ = 0 2 4 3 0 1 1 0 2 0 1 01 R b a R Q R b Ra 解得 0 1 6 R Q a = 12 2 0 1 RQ b = )( ,cos 6 0 0 1 RRR R Q m = 000 1 6 sin 6 cos 6 1 R Q e R Q e R Q H rm v vv v = v rv 0 0 101 6 R Q HB= )( 3 4 1 sin 12 cos 12 2 353 2 0 3 2 0 2 2 R m R RRm e R RQ e R RQ H rrm r vv v vv v =+= 其中 vv 3 2 0 QR m = )(3 4 35 0 202 R m R RRm HB r vv v vv = 14. 电荷按体均匀分布的刚性小球其总电荷为 Q半径为 R0它以角速度绕自身某以 直径转动求 1 它的磁矩 2 它的磁矩与自转动量矩之比设质量 M0是均匀分布的 解1磁矩 =dVxJxm)( 2 1v v vv 电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 17 - 又 r RxeRv v v = )( 3 4 )( 3 0 R R Q vxJ v vvv v = = ddrdRee R Q ddrdRRR R Q m r 24 3 0 2 3 0 sin)( 4 3 2 1 sin)( 4 3 2 1vv v v r v 又 )sincos(cossin yxzr eeeeee vvvvvv += += 2 000 24 3 0 0 sin)sincos(cossin 8 3 R yxz ddrdReee R Q m vvvv vv 5 sin 8 3 2 0 2 000 43 3 0 0QR ddrdRe R Q R z = 2)自转动量矩 =dVRR R M dmvRPdRLdL)( 4 3 3 0 0 v v v v vvvvv 5 2 sin 4 3 sin)sincos(cossin 4 3 sin)(sin 4 3 sin)sin( 4 3 sin)( 4 3 2 00 2 000 34 3 0 0 2 000 24 3 0 0 22 3 0 0 22 3 0 0 22 3 0 0 0 0 vv vvv v vv vvv RM ddrdR R M ddrdReee R M ddrdReR R M ddrdReeR R M ddrdReeeR R M R R yxz r rzr = += = = = 0 2 00 2 0 2 5 2 5 M Q RM QR L m = v v v v 15. 有一块磁矩为m r 的小永磁体位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中 求作用在小永磁体上的力F r . 电动力学习题解答参考 第三章