13函数的极值与导数(2).ppt

函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数的关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间(a,b) 内可导，,f(x)在这个区间单调递增,f(x)在这个区间单调递减,用“导数法” 求单调区间的步骤？,（1）求出函数的定义域；（若定义域为r,则可省去） （2）求出函数的导函数； （3）求解不等式f (x)0，求得其解集，与定义域取交集，写出单调递增区间； 求解不等式f (x)0，求得其解集，与定义域取交集，写出单调递减区间。,注：多个同类单调区间以“，”号隔开。,复习,此类型题用到一个重要的转化：,已知f(x)在区间d上单调，求f(x)中的参数的取值范围的方法为分离参数法;,通常将 (或 )的参数分离，转化为最值问题，从而求出参数的取值范围，特别地，若f(x),数形结合求出参数的取值范围.,为二次函数,可以有,(或,) 恒成立，,复习,一、复习导入-复习旧课,1.,解,f(x)在(-，-4)、 (2，)内单调递增，,你记住了吗？,有没搞错， 怎么这里没有填上？,求导数求临界点列表写出单调性,+,+,-,f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2,f(x)在(-4，2)内单调递减。,f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x2,还记得高台跳水的例子吗？,一、复习导入-导入新课,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,单调递增 h (t)0,单调递减 h (t)0,h (a)0,2.跳水运动员在最高处附近的情况：,(1)当t=a时运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？,(2)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？,(3)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？,将最高点附近放大,t=a,ta,ta,导数的符号有什么变化规律？,在t=a附近，f(x)先增后减，h (x)先正后负， h (x)连续变化，于是有h (a)=0f(a)最大。,对于一般函数是否也有同样的性质吗？,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,如图，y=f(x)在 、 点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？,探究,x,y,o,y-=f(x),0,0,0,0,极小值点,极大点,f ( x2 )=0,x2,x2,x3,x3,f ( x3 )=0,二、讲授新课-了解概念,什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值？,f(a),f(b),小结,极大值点和极小值点 统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值,函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）极值点指的是自变量的值， 极值指的是函数值,使函数取得极值的点x0称为极值点,从函数图象上看,某点比附近点都高(低),为极大(小)值点.,练习,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,o,x2,x3,x4,x5,x6,1理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,探究1：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,思考,(2).极大值一定比极小值大吗？,极值是函数的局部性概念,结论：不一定,极大值,极小值,极小值,进一步探究:极值点两侧函数图像 单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,判断下面4个命题，其中是假命题序号为 f (x0)=0,则f (x0)必为极值； f (x)= 在x=0 处取极大值0， 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,例题1图像,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是 交替出现的吗？,不是,极大值,极小值,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f (x)左正右负，则f(x)为极大值； 若 f (x)左负右正，则f(x)为极小值,求导求极点列表求极值,变式训练1 求函数f(x)x312x的极值 解：函数f(x)的定义域为r. f(x)3x2123(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化状态如下表：,所以当x2时，函数有极大值， 且f(2)(2)312(2)16； 当x2时，函数有极小值， 且f(2)2312216.,2 .导函数y=f(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f(x)有极大值？ （2）导函数y=f(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？,y=f(x),x,y,o,x1 ，,x4,x2,x3,x5,x1,x2,x3,x4,x5,3 .以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（ ）,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,(1),(2),(3),(4),a (3)(4) b (1)(3) c (2)(4) d(1)(2),a,已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,已知极值求参数,例3 已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析 (1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0. 又f(1)1，abc1.,待定系数法,方程思想,点评 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数,练习：若函数 在x=1处取得极值10则a= b=,点评 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数但是f(x0)0的参数值不一定使f(x)在x0处取得极值，所以要检验,a=4 b=-11,例4,练习：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间,极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键,函数极值的综合应用,设函数f(x)x36x5，xr. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围 【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值. (2)由(1)的结论，问题转化为yf(x)和ya的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解.,有