依生灭过程索赔风险模型.doc

上海大学博士学位论文依生灭过程索赔风险模型姓名：赵斯泓申请学位级别：博士专业：运筹学与控制论指导教师：王汉兴20090501 上海大学博士学位论文摘要立了关于条件生存概率序列的微积方程。在索赔额服从指数分布以及混合指数分布的情形下，分别给出了依纯生过程索赔尾缦漳秃蚽一交替风险模型的破产概率表达式。 瑃 瑃琫 籭 瓵瓵 原创性声明名：麴堡兰本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。艿穆畚脑诮饷芎笥袷卮斯娑签名： 发表研究破产问题的博士论文以来，为首的 上海大学博士学位论文司破产风险的概率规律。耆肷木浞缦漳汀【匚卜植嫉钠撇砺】【】【】采用新的数学工具。哂懈春献什钠撇砺邸【】【】 嘞罩值姆缦漳汀俊俊俊根据保险公司在时刻，的盈余 、，啤鰘咒舡，经典风险模型假定个体索赔额的矩母函数存存正根尺。 当保险公司某时刻的盈余出现负值时，称保险公司“破产”。定义保险公司的破产时刻为 为零常返。返；并且存常返的情况下，均为正常返或均为零常返。 为脈，卸在时刻姆植迹仆为脈，加的初始分布。对于生灭过程。，有吼，五，；吼川兀琲谎一仍，“， 曩，珽闑一。弧印，琻记，苧为更新函数。坊，卵在，坳戏歉翰辉觯襯。，则有 在第四章中，将依单一生灭过程索赔的单险种风险模型拓广为依多个相异生灭过程索赔的多险种风险模型。其中重点研究了两险种风险模型，在各生灭过程均存在初始平稳分布的情形下，建立了破产概率积分方程，应用广更新方法给出了破产概率收敛速率的上下界，并且将关于两险种风险模型的研究结果平行推广到多险种风险模型。 矿概率的解析解，给出了破产概率的表达式。设荶痩，上的时齐马氏链，具有密度矩阵 巧僖巧】，柳芮山鼻，且，则，行：砖埽琷由假设条件， 上海大学博士学侍论文由引理，可设露引。一爱幺，令南因此存在时刻保保阌写。由于在，内仅有有限个索赔由引理甀，可设硝辚：硪慌梗。，輑。令 上海大学博士学俯论文一玎豌蛔故有醫、一璱：。警猄攀在上式中令，可得堋躢一口虿若芎彬，。够躭， 型的破产概率之间的关系。，。，琈。，福由薄和镜挠伊酝浦#婊蘽，脚依分布收敛于，功，于是埔襺脚依分布收敛于鹨弧埔脚，故有篓妙裕瑊；，卜。苲 琭旯，； 定理的汪明，可分别得到令，由引理即得埂度愿揍疟唷兑粃和积分方程仍一够詈够砒仍鹨粃应用向后微分技巧可得 此即微积方程鲜搅奖咴上积分得当毋穑琲保来可趟髋夥缦漳图次狿风险模型。由其中狿风险模型索赔发生过程的强度。 仍一弧啊耙粃錚一、，詈一五詈五仍一号五仍 袱“好恕甜坏口。口：五。 砰”弧皒小出摺諴呐“壹铣詈一五甜警五够一詈呸五汀硝“篿一锹材盟丑谚一盟冢琟冢何死。詈一嗵詈五籢五蜙詈五五仍 上海大学博士学位论文易知其通解为注意到五妫梢痢呦停妫裕，可以推出，一甜一一山唬籌痺“籰、，一一。一矾，”由伊。，推出一。，一。，于是 上海大学博士学位论文将纨一。的解代入关于似的方程，得吼，九、 【以【九籌一，一般地，根据以上求解过程可以推知，对于方程，其解中恒有珻，。注意到在一：的解中已含有恢O睿鴕一五是仍患妫琺 上海大学博士学位论文由筛甜范，除常数项外的各次项系数，由则当名J保跫娓怕饰址匠存在解析解，、， 上海大学博士学位论文、，、，、程玫较嘤奈睵风险模型的条件生存概率微分方程仍嫒，承仍五呷可知其通解为 上海大学博士学位论文口。五十口：五。鸳冢何霸硝一。，缫还弧确一。五一嘭也唬琍一一，川，尸一一“菩琍叩将上式代入方程，整理可得 上海大学博士学位论文根据其特征方程及非齐次项，设方程的通解为将上式代入方程整理可得以推出，喜去。琷一般地，根据以上求解过程可以推知，对于方程解为够，一勺”瓶冢琍叫 上海大学博士学位论文理可得，一晃一澹虿一五兹，碍等糍警蠢一，呸则当坐猒妫保跫工仃，叽平，帆。，土 蝗一虿，一五一五萄，、仍，蔤，则相应的依纯生过程索赔风险模型称为交替风险模型。本 埽躰【织”喝比蕑由玎一交替关系可知，方程竹紫豼鬻一旯必，一兀晃，必有复根，但不存在虚根。必，一一兀欢 与相同的根。假定，痽，蔙是方程的根，则有证明：由知翎玩，躨，籰，则由可得、故，是方程的单根。引理代数方程若有重根，则必是实重根，并且不存在正重根。 南，一茎等。记，代入上式可得可知吒，吒均应满足，从而并且均是单根。证明：考虑复平面上的解析函数厂一兀烩兀一兀荤 、，纱兀兹藓上上的的点点旧，秒活海，有旧，秒焕迹肐，有篖取尺五，注意到口蝗，琹】，可得对于圆弧蔬上的点韶”，秒蝗，有 上海大学博士学佗论文阠口一五兄则在区域谋呓缟虾阌蠭兀砸。由于在右半平面仅有一个，阶零点名莞幢浜逍6恚籉一五玩谇駾内有疗个南猲者罚芰小哪， 删，蟆艺孕眩叼。付萄当门为偶数时，由。琭五赏浦7匠内有且仅有一个正根。的条件生存概率微分方程的解。够丘薄力弧躨 上海大学博士学位论文。，艽酢埽躭兄垡话硅惨晃【刀海，足阴：根据微分方程理论，设方程 上海大学博士学位论文仍荩，材州刚撕嚣臀 一，嘲南燃钡矧 上海大学博士学傍论文，E际保晒璴理知，是方程的单根，由定理和定理仍，簂已一”一弓。岛玵“。，善撸虿，一鳎喝籡将代入得到关于以，畋唬，脚元线 上海大学博士学位论文再由可求得霉；，埽芗。茜嘁。定理设一交替风险模型的索赔额分布函数为其中。冢序，口，。，埽芘笪4匠母锤宜贗；冢籄哆。，的解及递推关系依次迭代确定。万琌 一唬一而：，纯狂够，蔤 上海大学博士学位论文五一凇冢何迳凇冢何如万一五玩万口因此，除了酝猓，辽倩勾嬖个根，分别为仍乙欢乙毁玻躀 埽将代入方程，整理得到由和，以及琹一五一五。玩笪逡口，呸五玩萌，埽可整理得到关于以，埽的线性方程组套篙等等一丑害学晃觚喜等等簿渊：猳，：、 引言设笫荶琹，上的时齐马氏链，若它有密度矩阵鸭 下面以引理的形式给出后文要用到的两个熟知的结果：纠喀慧锄 过程索赔两险种风险模型。态下的条件破产概率，仍为条件生存概率。定义依生灭过程索赔两险种风险模型的相对安全负载为 上海大学博士学位论文会破产的。下述定理证明了这一事实。：，：灰胁苲号一川川可掣砰华半 粃状翁鞠蛴姨騔召，向左跳则、。应用萵衦豳 上海大学博士学位论文特别地，对甜”浚瑅罜裳写币唬出詈仍一辍砸唬甜一织涣藂， 上海大学博士学位论文唬穑耙埔弧畓，一亦静“弧緅【幽妃一荆“囊籸露弧厩囊粃地仍一够餔砌，一乃研【仍穑囊患N搜校径遚力砌颇诵惨弧闲，锱窘龙乃， 上海大学博士学位论文由此可得善巧肌健酢比如果假设巧磠乏”骱乏瘆脚具有相同的分布，则吣善吼出律颇模瑀死沈 上海大学博士学位论文设，是分布函数，。以硎綟的玎重卷积，诈表，日厅日穝则有。畖吒，容易知道，在上述引理中将不等号“”统一改为“现定义如下函数集合 【琽，【琽篤琽茜啵琯啊躦鹨粃。：，一 上海大学博士学位论文让明：很惦疋埋，伺咖州邮吉善删“肜颉耄出 慊蛐 上海大学博士学位论文：旦堕骸猚猳一”旦，。觥軮海 上海大学博士学俯论文定义依生灭过程索赔单险种风险模型的相对安全负载为下面简述关于依生灭过程索赔单险种风险模型的相关结果：隆魄珊餱 上海人学博士学位论文 上海大学博士学论文引言三： 险种风险模型，简称为依相异生灭过程索赔两险种风险模型。琭畇伊一态，下的条件破产概率，昵，为条件生存概率。阵啤谩，；满足如下条件 程叫胪隼诟鸢詒类似于第三章中的定理，对于依相异生灭过程索赔两险种风险模型，有乏乏帅删，。！骸啤巍危瑃 保啤巍琛甹荷魄珊稹 由此推知，蔤。少了脐佟鄙彰”冢嚎，峨 靠一 皉注 意到其中：一硝”衫【最唬獄蛞弧救裕材由此得到 敛定理，有一”一痳丘丘出一”万：痳；祝破产概率收敛速率的上下界；上 由假设条件，易知病海琯是一分布函数。于是由引理有 上海大学博士学位论文旷华肛舴厕出若的各阶矩存在，则有 、，定理设病，且存在匕及毛，使得证明：结论嵌闹苯油坡郏鲋鹘崧。根据定理，有 上式两边乘以铲”，得记“盒偷萺海禾，类似于引理的论证，有咖吉，乏删良韵谔誾出隆疲畓吲諭：矿；同样地，通过适当调整和如，可以得到比较简洁的结果巨柑眏：出幽 上海大学博士学位论文设只是一完备概率空间，簟，脚，七，氖荶，上的鱿嘁焐鸸蹋涿芏染卣蠓直鹞猀似秽獄，七，琺。设！蔤，令琗佃，称，3跏甲急附鹞獄，的破产概率，伊，I娓怕剩撼疲为初始状 上海大学博士学位论文衫州种风险模型，证明从略。卿，之引瞅一一记虿，脚，令 上海大学蹲士学位论文”呸扩剥靴脑，：捌籰在【上有定义，尸佃恼琑：为方程办阮戎枉，、 上海大学博士学位论文屯斓岛”啤巍蒫舭静鴝啦 上海人学博士学位论文【砍墒姥撇垩芯孔凼觯埂綣】，【縎甊婊獭綧】紊洌皇伲桃烂饕中国统计出版社，缦章鄣家綧】墒姥嫌币北京：世界图书出版公司，【苛衷A遥盟婊獭綧】清华大学出版社 瓵：芨缦绽砺邸綧】武汉：武汉大学出版社，【垦嫌保墒姥赓顺镅婊汀綧】北京：中国人民大学出版社，【