农村中学立足教材开展数学研究性学习的思考与实践 上海.doc

农村中学立足教材开展数学研究性学习的思考与实践 上海市松江区新桥中学 刘云萍当今世界，多极化趋势曲折发展，经济全球化不断深入，科技进步日新月异，人才资源已成为最重要的战略资源，人才在综合国力竞争中越来越具有决定性意义。中共中央提出树立大教育、大培训观念，在提高全民思想道德素质、科学文化素质和健康素质的基础上，重点培养人的学习能力、实践能力，着力提高人的创新能力。同时上海市中小学数学课程标准总目标提出：学生应有数学抽象、探索与应用等过程的经历和体验;掌握数学抽象以及探索、应用的基本方法;会利用已有的知识经验，尝试解决新情景中的数学问题，具有初步的研究能力，实践能力。研究性学习具有开放性、探究性和实践性的特点, 研究性学习改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力。数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习过程。总结我多年的教学经验，我认为运用研究性学习培养学生的学习能力、实践能力、创新性思维能力，是行之有效的方法。所以，社会对人才结构的要求、课程改革都在呼唤研究性学习我所在的学校是一所普通的农村中学，学生的数学底子薄。研究性学习教学的过程不是教师从书本上准确无误地搬运知识的过程，学生需要由问题或设计任务作为学习活动的起点，在研究中学习；需要学生的智力、动手操作的高度参与；需要经历、体验、观察、调查、假设、实验等多种探究过程。这就要求学生具有一定的学习基础、和潜在能力.但农村中学相对重点中学而言生源质量较差，学生基本功不太扎实，潜在能力相对较弱、很多学生不具备相当的理性认识水平，以及收集资料或信息,并妥善处理资料,形成自主获取信息的能力，感性认识和理性认识之间存在着较大差异。与其他学科相比，数学研究性学习的抽象程度更高一些。因此，结合我校的实际情况，我开展数学研究性学习时首先是立足教材，选择内容比较具体、难度较低、操作性较强的课题，从而保证课堂操作的可行性。教材的内容，是经过反复比较，精心筛选出来的，在知识转化的能力上具有示范性和启发性，例（习）题在解题思路和方法上具有典范性和代表性。教师应立足教材，挖掘教材的潜能，通过选择、利用背景知识，组成指向本节课知识核心的、极富启发性的学习材料，提炼出本节课的研究主题，学生就可以通过对这一主题的探究构建起教师希望学生掌握的知识。同时培养学生研究问题、解决问题的能力及创新性思维能力。初、高中数学教材不少教学内容适合于开展研究性学习。下面结合三个案例谈谈立足教材开展数学研究性学习实践及体会一、以教材中的定理为背景，开展数学研究性学习。以教材中的定理为背景开展数学研究性学习的资源很多，教材中的定理都是前人经过长期的探索发现而得到的，他们探索过程的艰辛，学生是难以感受到的，所以教学中可以选择一些定理，围绕定理的得出过程开展研究性学习。另外，很多定理的逆命题在教材中没有提出，定理的逆命题是否正确？如果正确，对我们解决其它问题有哪些帮助？教师可选择过程有探究价值，结论有应用价值的内容等作为数学研究性学习的材料。下面结合案例谈谈怎样以教材中的定理为背景开展数学研究性学习，以及开展数学研究性学习的基本教学程序1创设情境，提出课题；2引出假设或猜想；3实验探究，验证、论证；4归纳结论，应用提高。在学生掌握了等腰三角形的性质定理“等腰三角形三线合一”的基础上结合上海教育出版社出版的九年义务教育课本八年级第一学期。224：证明举例 例11：已知：D是BC上的一点，BD=CD，1=2， ABCD12求证：AB=AC。我安排了这样一次研究性学习 （1）创设情境，提出课题问题是教学的心脏，是思维的起点，是学生主动探索的动力，本节课是从以下问题开始的。问题2。1：我们知道等腰三角形三线合一，“三线”指的是哪三线？问题2。2：BD=CD，1=2，说明AD是三线中的那两线？问题2。3：AD是底边上的中线，又是顶角的平分线（两线合一），结论是AB=AC。2）引出假设或猜想那么，若ADBC，1=2（AD是底边上的高线，又是顶角的平分线）若ADBC，BD=CD（AD是底边上的高线，又是底边上的平分线）AB与AC相等吗？（通过学生的研究探索，不难得出结论，AB=AC）创新能力总是在问题解决中发展起来的，问题解决是创新的土壤， “问题解决”的能力是数学能力的集中体现。结合学生的实际情况，以上问题的的提出循序渐进，目的是面向全体学生，让每位同学都参与研究，让不同层次的学生都有所收获。3）实验探究，验证、论证通过以上探究，让学生研究讨论，归纳从中发现的规律，同学们很容易得出结论，若 AD是底边上的高线、顶角的平分线，底边上的平分线，是三线中的两线，则AB=AC，既：“两线合一是等腰”。4）归纳结论，应用提高。在以上结论的基础上，引导学生解决下题：A 1 如图：已知，AD平分BAC，ADCD。求证：ACD=BCD+BDCB在解决此题的过程中，引导学生把“两线合一是等腰”推广至“两线合一想等腰”即若有“两线合一”，但所给的三角形不完整、不妨补充完整得到三角形，让同学们带着得到的规律，解决以下两个题目。AB 2、如图：已知，AD平分BAC，ADCD。则ACD=BCD+B这个结论还成立吗？成立加以证明：若不成立，写出你认为成立的结论，并证明。DC 3、如图：已知，AD平分BAC，E是AC的中点，DEAB，ABCDE求证：ADDC学生根据“两线合一想等腰”很快解决了这两个题目。本节课学生通过对问题的探索与引申，不仅加深了对问题本身的理解，学会了同类习题的解法，而且教会了学生在学习中探索、在探索中学习，从而使学生的思维得到拓展，学习能力得以提高，同时数学双基的落实也得到充分的保证。二、以教材中的定义为背景，开展数学研究性学习。以教材中的定义为背景开展数学研究性学习，应从猜测和想象开始，猜测和想象是创新的突破点。数学家徐利治先生在数学方法论选讲中指出的：“想象是创造的源泉，在某种程度上，没有想象就没有科学发现”。爱因斯坦认为：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”教师应引导学生猜测和想象。下面结合案例谈谈如何以教材中的定义为背景开展数学研究性学习，以及开展数学研究性学习过程中应注意的几个问题。阿波罗尼是古希腊数学家，他的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽。结合阿波罗尼圆，在椭圆与双曲线一节学习结束后，我安排了这样一次研究性学习。师：我们已经知道，在平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a (即PF1+PF2=2a) (2aF1F2)的点的轨迹叫做椭圆。在平面内到到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(即PF1PF2=2a) (2aF1F2) 的点的轨迹叫做双曲线。请同学们想这样两个问题：问题1。1：在平面内到两个定点F1，F2的距离之积等于常数的点的轨迹是什么？在平面内到两个定点F1，F2的距离之商等于常数的点的轨迹是什么？是否是我们学过的圆锥曲线呢？为了降低难度，首先让学生思考两个具体问题：1、已知：两定点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1PF2=2，求P点的轨迹。2、已知：两定点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足=2，求P点的轨迹。研究性学习中，提出问题应根据学生已有的知识，给学生创设一个适合的问题情境，使学生能以极高的兴趣和热情投入到问题的探究之中。如：问题1。1提出后，学生有两个反应一是“我怎么没想到这个问题”；二是“怀疑的态度应该不是我们熟悉的圆锥曲线”，这是学生积极探究的源动力。学生在探索中发现：若设点P（X，Y），则根据题意1题的方程为： =2学生很容易做出判断，这不是我们学过的圆锥曲线。2题的方程为=2 化简为是我们熟悉的圆，学生很兴奋。接着教师继续提出问题问题1。2：该结论能否推广呢？请同学们继续探索下面的问题：已知：两定点F1(-C，0)，F2(C，0)（C0） ，动点P满足= a（ a0）求P点的轨迹。2题的结论有点出乎学生的意料，他们很想验证自己的猜测，所以都积极的探索和交流。最后全班交流。研究性学习应注重学生之间的交流、评价和反馈。由于学生之间的个性差异，学生自主建构的方式、速度和深度是不一样的，这种认知的差异性是客观存在的。通过研究性学习学生可以建构起一些知识，有些知识学生不能很顺利地构建起来，不同的学生建构起的知识是不一样的。因此研究性学习应注重学生之间的交流、评价和反馈，通过资源共享，检查、落实教学目标。交流、评价和反馈是进行研究性学习的三种重要教学组织形式。 设点P（X，Y），则根据题意得：= a整理：（1-a2）x2+(1-a2)y2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2 =0当a2=1即a=1时，轨迹是直线x=0当1-a20 即 a1 方程为： 可见：若a1则P点的轨迹是圆。学生的猜想得到了验证，他们很有成就感。问题1。3：类比椭圆与双曲线的定义，同学们能否用文字语言概括得到的结论？通过类比学生很快得出结论：在平面内到两个定点的距离之比为常数a（a0, a1）的点的轨迹是圆。最后教师总结：这个圆就是著名的阿波罗尼圆，阿波罗尼是古希腊数学家，他的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽。研究性学习要连贯迁移。就是在学习本课内容的基础上，提出与本课内容联系密切的新问题留作课下思考，在学生心目中，继续保留一个迫切需要探索解决的问题情境。为了让学有余力的学生在课下继续探索，我又提出了这样一个问题师：前面我们研究了动点P到两定点F1，F2的距离满足一定条件的点的轨迹。问题1。4：我们不改变研究对象：动点P，两定点F1(-C，0)，F2(C，0)（C0） ，不改变研究目标：求点P的轨迹。只改变条件。你还能提出哪些问题？如：已知动点P，两定点F1(-C，0)，F2(C，0)（C0），直线PF1，PF2与X轴围成的三角形的面积为定值，求点P的轨迹（教师可提示学生从角的大小，向量的数量积，直线的斜率等方面改变条件.）爱因斯坦说过：“提出问题比解决问题更重要”。但学生普遍不善于提出问题，教师应引导并激励学生自己发现问题和提出问题。三、以教材中的例(习)题为背景，开展数学研究性学习。教材的例（习）题，是经过反复比较，精心筛选出来的，在解题思路和方法上具有典范性和代表性，在知识转化上具有示范性和启发性。每一道数学题即使很简单，其中都可能包含一些更一般、更普遍的结论。教师可以引导学生通过将问题引申和一般化来开展研究性学习。幂函数作为初等函数的一部分，它的图象和性质教材中没有系统的研究，结合我校学生的实际情况，在高级中学课本一年级第一学期4、8几个函数的研究：例1、例2教学完成后安排一次研究性学习例1、研究函数 y=x的奇偶性和单调性，并画出它的图象例2、研究函数y = x的奇偶性和单调性，并画出它的图象问题3。1：通过探索将下列函数图象的标号，填在相应函数后面的横线上 y = x_ y=x_ y=x_y=x_ y=x_ y=x_y=x_ y=x_ y=x_oxoxyyoyxCBAoxyoxyoxyFEDoxyoxoxyyIHG让学生独立探索，形成自己的学习任务。由于题目起点低，学生很容易操作，所以学生参与的积极性很高。学生有的用计算器尝试计算描点，画出草图。有的通过函数的奇偶性、单调性，对一些函数做出初步的判断。然后组织学生进行汇报、交流，扩大成果和学生的参与面。问题3。2：请同学们根据函数图象继续探索，在第一象限那些函数单调递增，那些函数单调递减？函数的单调性与函数的指数有怎样的关系？根据观察，学生很容易发现y=xy=x y=x三个函数在第一象限单调递减，而它们的指数均是负数。从而得出结论：l 当指数是正数时，函数在第一象限单调递增l 当指数是负数时，函数在第一象限单调递减问题3。3：指出图象中，那些是奇函数的图象，那些是偶函数的图象，那些是非奇非偶？学生根据图象的对称性很快把图象分三类：l y=x y=x y=x 是奇函数l y= xy=xy=x是偶函数l y=xy=xy=x是非奇非偶问题3。4：探索函数的奇偶性与函数的指数有怎样的关系？此问题提出后很多学生觉得无从下手，他们想不到把整数看成分数；把分子，分母分别观察。还有的同学首先去考虑指数的正负，经过教师的提示、指导和学生激烈的讨论。终于有些同学发现了指数上的规律，全班交流，学生相互补充。得出的结论是：l 函数的奇偶性与函数的指数的正，负无关。l 指数分子、分母都是奇数时， 是奇函数l 指数分子是偶数、分母都是奇数时， 是偶函数l 指数分子是奇数、分母都是偶数时， 是非奇非偶函数教师对学生的发现，归纳、发言给予鼓励性的评价，然后问学生是否有其它的发现？一个学生举手说出他的发现：幂函数的图象均不经过第四象限？针对学生的发现教师追问：你能否用你学过的数学知识验证你的结论？学生一时觉得无从下手，最后教师把这个问题作为作业留给学生课后思考？提出本节课题是源于自己在教学上的一些困惑：教会了学生一个知识，一种解法，在考察他们掌握知识的情况时，只要对问题的背景及数量关系稍做改变，有的学生就无法解决。为此我经常结合某个题目自己提炼出一些规律性的东西让学生记住，以便用来解决同类问题。但令人费解的是：下次遇到同类问题学生依然不会解决。多次失败后分析原因：学生之所以不会运用，是因为这些