电磁场与电磁波第4版第4章部分习题参考解答.pdf

4.1 证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct ? = ? ，其中 2 00 1 c =，为常数。(1) 0 E 0cos( ) x Ee Etz c = ? ? ；(2) 0sin( )cos() x Ee Ezt c = ? ? ； (3) 0cos( ) y Ee Etz c =+ ? ? 。 证：证：(1) 2 22 00 2 cos()cos() xx Ee Etze Etz czc = ? ? 2 0 ()cos() x eEt cc z = ? 22 2 00 22 cos()cos() xx E e EtzeEtz ttcc = ? ? 2 222 00 222 11 ()cos()cos()0 xx E EeEtzeEtz ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) x Ee Etz c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 (2) 2 22 00 2 sin()cos()sin()cos() xx Ee Ezte Ezt czc = ? ? 2 0 ()sin()cos() x eEz cc t = ? 22 2 00 22 sin()cos()sin()cos() xx E e EzteEzt ttcc = ? ? 2 222 00 222 11 ()sin()cos()sin()cos()0 xx E EeEzteEzt ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0sin( )cos() x Ee Ezt c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 (3) 2 22 00 2 cos()cos() yy Ee Etze Etz czc =+=+ ? ? 2 0 ()cos() y eEt cc z = + ? 22 2 00 22 cos()cos() yy E e EtzeEtz ttcc =+= ? ? + 2 222 00 222 11 ()cos()cos()0 yy E EeEtzeEtz ctcccc = += ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) y Ee Etz c =+ ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度( )E r ? ? 的波动方程为 22 ( )( )0E rE r += ? ? 已知矢量函数 j 0 ( )e k r E rE = ? ? ? ，其中 0 E ? 和k ? 是常矢量。试证明( )E r ? ? 满足波动方程 的条件是 22 k =，这里kk= ? 。 证：证：在直角坐标系中 xyz re xe ye z=+ ? 设 xxyyz ke ke ke k=+ ? ? z 则() () xxyyzzxyzxyz k re ke ke ke xe ye zk xk yk z=+=+ ? ? 故 j() j 00 ( )ee xyz k x k y k z k r E rEE + = ? ? ? j() 22j2 00 222 j() 0 222 j() 2222 0 ( )ee e ()e xyz xyz xyz k x k y k z k r k x k y k z k x k y k z xyz E rEE E xyz kkkEk E r + + + = =+ = = ? ? ? ? ?( ) ? 代入方程，得 22 ( )( )0E rE r += ? ? 22 0k EE += ? 故 22 k = 4.3 已知无源的空气中的磁场强度为 9 0.1sin(10 )cos(6 10) A/m y Hextkz= ? ? 利用波动方程求常数k的值。 解：解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程 2 2 00 2 ( , ) ( , )0 H r t H r t t = ? ? ? ? 而 229 229 ( , )0.1sin(10 )cos(6 10) (10)0.1sin(10 )cos(6 10) y y H r textkz ekxt = = ? kz ? ? 22 9 22 929 ( , ) 0.1sin(10 )cos(6 10) (6 10 ) 0.1sin(10 )cos(6 10) y y H r t extkz tt ex = = ? ? ? ? tkz 代入方程 2 2 00 2 ( , ) ( , )0 H r t H r t t = ? ? ? ? ，得 22929 00 (10)(6 10 )0.1sin(10 )cos(6 10)0 y ekxtk += ? z 于是有 2292 00 (10)(6 10 )0k += 故得 922 00(6 10 ) (10)10 3k = 4.4 证明：矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 但不满足麦克斯韦方程。 证：证： 2 222 000 2 ( , )cos()cos()()cos() xxx E r te Etxe EtxeEtx cxccc = ? ? 22 22 00 22 ( , )cos()cos() xx Er te EtxeEtx ttcc = ? ? 所以 2 222 00 222 11 ()cos()cos()0 xx E EeEtxeEtx ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 另一方面， 00 cos()sin()0EEtxEtx xccc = ? 而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为 E ? 0E= ? 故矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 不满足麦克斯韦方程组。 以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。 4.5 证明：在有电荷密度和电流密度J ? 的均匀无损耗媒质中，电场强度E ? 和磁 场强度的波动方程为 H ? 2 2 2 () EJ E tt =+ ? ? ， 2 2 2 H HJ t = ? ? 证：证：在有电荷密度和电流密度J ? 的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为 E HJ t =+ ? ? (1) H E t = ? ? (2) 0H= ? (3) E = ? (4) 对式(1)两边取旋度，得 ()HJ t E = + ? 而 2 ()HH= H ? 故 2 ()(HHJ t )E = + ? (5) 将式(2)和式(3)代入式(5)，得 2 2 2 H HJ t = ? ? 这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。 H ? 同样，对式(2)两边取旋度，得 ()EH t = ? 即 2 ()(EEH t ) = ? 将式(1)和式(4)代入式(6)，得 2 2 2 1EJ E tt =+ ? ? 此即满足的波动方程。 E ? 4.6 在应用电磁位时， 如果不采用洛伦兹条件， 而采用库仑条件0A= ? ， 导出A ? 和所满足的微分方程。 解：解：将电磁矢量位A ? 的关系式 BA= ? 和电磁标量位的关系式 A E t = ? ? 代入麦克斯韦第一方程 E HJ t =+ ? ? 得 1 () A AJ tt =+ ? ? 利用矢量恒等式 2 ()AA= A ? 得 2 () A AAJ tt =+ ? ? (1) 又由 D= ? 得 A t = ? 即 2 ()A t += ? (2) 按库仑条件，令0A= ? ，将其代入式(1)和式(2)，得 2 2 2 A AJ tt = + ? ? (3) 2 = (4) 式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数A ? 和所满足的微分方程。 4.7 证明在无源空间（0=、0J = ? ）中，可以引入矢量位 m A ? 和标量位 m ，定 义为 m DA= ? ， m m A H t = ? ? 并推导和 m A ? m 的微分方程。 证：证：无源空间的麦克斯韦方程组为 D HJ t =+ ? ? (1) B E t = ? ? (2) 0B= ? (3) 0D= ? (4) 根据矢量恒等式0A= ? 和式(4)，知D ? 可表示为一个矢量的旋度，故令 m DA= ? (5) 将式(5)代入式(1)，得 m ()HA t = ? 即 m 0 A H t += ? ? (6) 根据矢量恒等式0=和式(6)，知 m A H t + ? ? 可表示为一个标量函数的梯度， 故令 m m A H t += ? ? 即 m m A H t = ? ? (7) 将式(5)和式(7)代入式(2)，得 m mm 1A A tt = ? ? (8) 而 2 mm () m AAA= ? 故式(8)变为 2 2 m mm 2 () A AA tt = m ? ? (9) 又将式(7)代入式(3)，得 m m 0 A t = ? 即 2 mm ()A t 0 += ? (10) 令 m m A t = ? 将它代入式(9)和式(10)，即得 m A ? 和 m 的微分方程 2 2 m m 2 0 A A t = ? ? 2 2 m m 2 0 t = 4.8 给定标量位xct=及矢量位( x x )Ae c t= ? ? ，式中 00 1 c =。(1) 试证明： 00 A t = ? ；(2) 、H ? B ? 、E ? 和D ? ；(3) 证明上述结果满足自由空间的麦克 斯韦方程。 解：解：(1) 00 1 () x Ax At xx cc = ? 00 1 ()xctc tt = = 故 000000 00 1 () t = = 则 00 A t = ? (2) 0 xz yz AA BAee zy = = ? ? 0 0 B H = ? ? 而 () xx Ax Eee txt c = = ? ? t ? () xx excte x = += ? 0 0 0DE= ? (3) 这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。 4.9 自由空间中的电磁场为 ( , )1000cos() V/m ( , )2.65cos() A/m x y E z tetkz H z tetkz = = ? ? ? ? 式中 00 0.42 rad/mk =。求：(1) 瞬时坡印廷矢量；(2) 平均坡印廷矢量； (3) 任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1 m、横截面积为） 中的净功率。 2 0.25 m 图题图题 4.9 解：解：(1) 瞬时坡印廷矢量 22 2650cos () W/m z SEHetkz= ? ? (2) 平均坡印廷矢量 2/ 22 av 0 2650cos ()d1325 W/m 2 zz Setkzte = ? ? (3) 任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为 n 01 22 d() 2650 0.25cos ()cos (0.42) 270.2sin(20.42) W zz Szz PS eSSeS e tt t = = = + = = ? ? ? 0.25 4.10 已知某电磁场的复矢量为 00 0 00 0 ( )jsin() V/m ( )cos() A/m x y E ze Ek z H zeEk z = = ? ? ? ? 式中 0 0 2 k c =，c为真空中的光速， 0 是波长。求：(1) 0z =、 0 8 、 0 4 各点 处的瞬时坡印廷矢量；(2) 以上各点处的平均坡印廷矢量。 解：解：(1) 和的瞬时矢量为 E ? H ? j 0000 ( , )Rejsin()esin()sin() V/m t xx E z te Ek ze Ek zt = ? ? j 00 0000 00 ( , )Recos()ecos()cos() A/m t yy H z teEk zeEk zt = ? ? 则瞬时坡印廷矢量为 0 0 2 0 00 0 2 2 0 0 0 ( , )( , )( , )sin()cos()sin()cos() sin(2)sin(2) W/m 4 z z S z tE z tH z teEk zk ztt E ek zt = = ? ? ? 故 2 (0, )0 W/mSt = ? 0 2 2 0 0 0 (/8, )sin(2) W/m 4 z E Stet = ? ? 2 0 (/4, )0 W/mSt= ? (2) *2 av 1 ( )Re ( )( )0 W/m 2 SzE zHz= ? 4.11 在横截面积为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为 a b j 0 j 00 jsin()e V/m jsin()cos() e A z y z xz ax EeH a axx HeHe H aa = =+ /m ? ? ? ? 式中、 0 H、和都是实常数。求：(1) 瞬时坡印廷矢量；(2) 平均坡印廷矢 量。 解：解：(1) 和的瞬时矢量为 E ? H ? jj 0 0 ( , , )Rejsin()ee sin()sin() V/m zt y y ax E x z teH a ax eHtz a = = ? ? ? jj 00 00 ( , , )Rejsin()cos() ee sin()sin()cos()cos() A/m zt xz xz axx H x z teHe H aa axx eHtze Htz aa =+ = + ? ? ? 故瞬时坡印廷矢量为 0 222 0 22 ( , , )() sin ()sin () 2 sin()sin(22) W/m 4 z x ax S x z teHtz a ax eHtz a = + ? ? ? (2) 平均坡印廷矢量 *22 av0 1 ( , )Re ( , )( , )() sin () W/m 22 z ax Sx zE x zHx zeH a 2 = ? ? 4.12 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值 0 0 0 0 0 ( , )sincos() V/m ( , )sinsin() A/m E E r tetk r r E H r tetk r r = = ? ? ? ? 式中为常数， 0 E 0 0 0 =， 0 k 00 =。试计算通过以坐标原点为球心、为 半径的球面的总功率。 0 r S 解：解：将和表示为复数形式，有 E ? H ? 0 0 j 0 j 0 0 ( , )sin e V/m ( , )sin e A/m k r k r E E re r E H re r = = ? ? ? ? 于是得到平均坡印廷矢量 *22 0 av 0 11 ( , )Re() sin W/m 22 r E SrEHe r = 2 ? ? 通过以原点为球心、为半径的球面的总功率 0 rS 0 2 2 22 0 avav0 00 00 1 d() sinsin d d 29 S E E PSSr r = ? ? W 0 4.13 已知无源的真空中电磁波的电场 0cos( ) V/m x Ee Etz c = ? ? 证明 avavx Se w= ? ? c，其中 是电磁场能量密度的时间平均值， av w 00 1 c =为电磁波 在真空中的传播速度。 证：证：电场复矢量为 j me z c x Ee E = ? ? 由 0 jEH= ? ，得磁场强度复矢量 jj 0 mm 000 jj (e)e zz cc zxy HEeeEeE z = ? ? 所以 m *2 0 av 0 11 Re 22 z SEHe = ? E ? ? 另一方面， m * 00 av 1 Re 2222 wEEHH 2 0 E =+= ? 由于 00 0 0 00 c =，故有 m 2 0 avav 2 zz SeE ce w c = ? ? 4.14 设电场强度和磁场强度分别为 0e cos()EEt=+ ? 和 0m cos()HHt=+ ? 证明其坡印廷矢量的平均值为 av00em 1 cos() 2 SEH= ? 解：解：坡印廷矢量的瞬时值为 0e0m 00emem 00emem cos()cos() 1 cos()cos() 2 1 cos(2)cos() 2 SEHEtHt EHtttt EHt =+ =+ =+ ? ? ? 故平均坡印廷矢量为 av00emem 00 00em 111 dcos(2)cos()d 2 1 cos() 2 TT SS tEHt TT EH =+ = ? t ? ? 4.15 在半径为a、 电导率为的无限长直圆柱导线中， 沿轴向通以均匀分布的恒 定电流I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 S 。 (1) 求导线表面外侧的坡印廷矢量S ? ； (2) 证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。 解：解：(1) 当导线的电导率为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场 i 2 z JI Ee a = ? ? ? 根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 iz EEoz=。因此，在导线 表面外侧的电场的切向分量为 o 2 z a I E a = = 又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为 o 0 S a E = = 故导线表面外侧的电场为 o 2 0 S z a I Eee a = =+ ? ? 利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为 o 2 a I He a = = ? ? 故导线表面外侧的坡印廷矢量为 2 2 ooo 23 0 () W/ 22 S z aa II SEHee aa = = + ? m ? (2) 由内导体表面每单位长度进入其内部的功率 22 2 o 232 d2 2 a S II PSeSaR aa = = = I ? 式中， 2 1 R a =是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部 的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。 4.16 由半径为a的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为，两板间充满 介电常数为 d 、电导率为的媒质，如图题4.16所示。设两板间外加缓变电压 mcos uUt=，略去边缘效应，试求： (1) 电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； (2) 进入电容器的平均功率； (3) 电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。 图题图题 4.16 解：解：(1) 电容器中的电场 m cos zz Uu Eeet dd = ? ? 位移电流密度和传导电流密度 d J ? J ? 分别为 m d m sin cos z z UE Je td U JEet d t = = ? ? ? ? ? 由于轴对称性，两板间的磁场只有e ? 分量，且在以z轴为中心、为半径的圆周 上处处相等，于是由 C dd CSS D HlJSS t d=+ ? ? ? 可得 22 mm 2cossin UU Ht dd t = 所以 m (cossin) 2 U Hett d = ? ? m mm 2 2 2 (cos)(cossin 2 cossin2 22 z UU SEHetett dd U ett d ) = = ? ? ? m m 2 22 2 av 2 00 2 2 d()cossin2 2222 4 U SS tet d U e d = = ? ? ? dtt (2) 进入电容器的平均功率为 mm avavavavav 222 2 ddd 2 42 zz SSSS PSSSe SSeSSe U aa U ad dd = = + + = ? dS ? ? 下上柱 （） 面 (3) 损耗功率瞬时值为 P mmm 2222 2222 22 dcosdcoscos VV UUa U PEVt Vta d ddd 2 t= 平均损耗功率为 av P m 22 2 av 0 d 22 a U PP t d = = 由此可见，有。 avav PP = 4.17 已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电场为 z j 11m j() 22m e e kz x kz y Ee E Ee E = =