材料力学习题解答能量方法和静不定结构.pdf

13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆 的变形能。 l 3l/8 d 3l/8 d 2d 2d l/4 PP (a) (b) 解：方法 1: 两杆的变形 () () () ( )( ) 222 1 3 /8/447 2 /44 2/4 ab PLP LPLPLPL ll 2 EAE dE dE d Ed =+= 外力的功 22 ( )( )( )( ) 22 1217 22 aabb P LP L WP lWP l 8E dE d = 功能原理 22 ( )( )( )( ) 22 27 8 aabb P LP L UWUW E dE d = 方法 2: 两杆的内力 ( )( ) ab NPNP= 变形能 () () () 222 ( ) 22 22 2 ( ) 222 2 22/4 3 /8/47 2 2/48 22/4 a b N LP LP L U EAE dE d PLPLP L U E dE Ed d = =+= 13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在 P 力作用下，试求桁架的变形能。 RB A BD ll YA XA P C l 解：(1) 求约束力 0 0 0 20 2 0 0 2 AA ABB BAA XPXXP P MRlPlR P YRYY = = = = (2) 分析铰 B NBC B NBC NBD RB 45o NBD RB 2 2 22 BDBBCB PP NRNR= (3) 分析铰 D D NDC NDANDB 0 2 DADBBDDC P NNNN= (4) 分析铰 C NCA C NCB NCA P NCB P 2 2 CACBBC P NNN= (5) 桁架的变形能 () () 2 2222 2 2 22 1 22 121 22220.957 22222 ii BC BCACACBD BDDA DA N l UNlNlNlNl EAEA PPP l ll P l EAEA =+ =+=+= EA 13.3. 计算图示各杆的变形能。 ds d EI R (c) P B A O A M (b) B EI C 2l/3 l/3 解：(b) 上海理工大学 力学教研室 1 方法 1： (1) 查表得 C 截面的转角 22 2 4 33 699 C Mll l 9 Ml EIlEI = = (2) 由功能原理 2 1 218 C M l UWM EI = 方法 2 (1) 列出梁的弯矩方程 x1 A M B EI C M/l M/l x2 11 22 () () M M xx l M M xxM l = = + (2) 求弯曲变形能 2222 /3 12 12 0/3 ()()8 2216216218 ll l MxMxM lM lM l Udxdx 2 EIEIEIEI =+=+ EI = (c) (1) 列出梁的弯矩方程 PRMsin)(= (2) 求弯曲变形能 22 /2 0 23 ( )(sin ) 22 8 l MPR Uds EIEI P R Rd EI = = 13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为 40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变 形能。 R P B O Q() M() N() 上海理工大学 力学教研室 2 A B 200 C 200 0.08kN.m 0.36kN 1kN 解：(1) 传动轴受力 0.5 0.18 ABAB ZZkNYYkN= (2) 弯矩方程和扭矩方程 ( )( )( )500 180 80 yAzA MxZ xxMxY xxT x= (3) 变形能 ()()() ()() () () () 22 0.20.20.2 000 2 0.20.2 22 00 33 22 94 2 94 50018080 22 222 800.21 500180 2 10.2 500180 210 100.04 /6433 800.2 2 80 100.04 /32 0.0604 yz P xx Udxdx EIEIGI x dxx dx EIGI J =+ =+ = + = 2 0.2 P dx + (4) 使用功能原理求解本题 () () 3 332 22 32 22 9494 111 222 111/2 2482482964 0.4800.4 3601000 96210 100.04 /644 80 100.04 /32 0.0604 yyzz y z yzyz zyP UWP fP fT P lP l TllT l PPTPP P EIEIGIEI J =+ =+=+ =+ = GI 13.7. 试用互等定理求跨度中点 C 的挠度，设 EI=常量。 A B (a) D C a l/2 l/2 P l/2l/2 P B CA (b) A B YA C 0.36kN 1kN 0.08kN. 0.08kN.m m ZA ZB YB 上海理工大学 力学教研室 3 解：(a) (1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图 2 A B D C P 1 (2) 由位移互等定理 22 2112 1616 CB PlPal faa EIE = I 方向向上 (b) (1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图 P B C A 21 (2) 由位移互等定理 ()() 32 3 2112 /2/25 232248 CCC P lP lll ff Pl EIEI =+= + = EI 方向向下 13.8. 车床主轴可简化成 EI=常量的当量轴，如图所示，试求在载荷 P 作用下，截面 C 的挠 度和前轴承 B 处的截面转角。 A B C a P 4a x1x2 RA RB 解：(1) 约束反力 15 44 AB RPR=P (2) 弯矩方程 ()() 112 1 4 M xPxM xPx= = 2 (3) 在 C 处作用单位集中力 ()() 111222 1 4 MxxMxx= = 截面 C 的挠度 A B C 1 x1x2 1/4 5/4 上海理工大学 力学教研室 4 ()()()() () () ( ) 12 111212 12 223 4 11 12 00 11 544 3 C ll aa M xMxM xMx fdxdx EIEI Pxx PxxPa dxdx EIEIEI =+ =+= (4) 在 B 处作用单位集中力偶 A B C x1x2 1 1/4a 1/4a ()() 21222 1 0 4 MxMxx a = 截面 B 的转角 ()()()() 12 121222 12 222 4 2 0 11 444 0 3 B ll a M xMxM xMx dxdx EIEI Pxx Paa dx EIEI =+ =+= 顺时针转向 13.9. 试求图示各梁截面 B 的挠度和转角。EI=常量 a l q B C A (a) 解：(1) 在B处作用虚加力Pf和Mf，并列出弯矩方程 x1 Mf q B C A x2 Pf 2 11 2 22 () 1 ()() 2 ff ff M xP xM M xqxPlaxM = = + (2) 上式分别对Pf和Mf求偏导数 12 12 12 ()() () ()() 1 1 ff ff M xM x xl PP M xM x MM = = + = = ax (3) 用卡氏定理求挠度和转角 上海理工大学 力学教研室 5 12 2 12 1122 12 1 11 0 2 2 22 0 1122 12 1 1 0 ()()()() () () 1 () 2 () ()()()() () ( 1) B ll fff l a ff ff a B ll fff l a ff UM xM xM xM x fdxdx PEIPEIP P xM x dx EI qxPlaxM laxdx EI UM xM xM xM x dxdx MEIMEIM P xM dx EI =+ = + + =+ = 2 2 2 2 0 1 () 2 ( 1) ff a qxPlaxM dx EI + + （4）令上两式中的Pf和Mf为零 2 2 2 3 22 0 2 3 2 0 1 2 0 ()(4 24 1 2 0( 1) 6 a B a B qx qa )flaxdxla EIEI qx qa dx EIEI =+= =+= 挠度和转角的方向与虚加力的方向一致 13.11. 图示刚架各杆的的 EI 相等。试求 A 的位移和截面 C 的转角。 A C ab h x1 x2 x3 P (a) 解：(a) 应用莫尔定理 (1) 刚架各段的弯矩方程 ()()() 1123 0 M xPxM xM xPb= (2) 在 A 处垂直方向作用单位集中力 1 ()()() 1112213 0 MxMxxMxa= AC x1 x2 x3 A 的垂直位移 上海理工大学 力学教研室 6 ()()()()()() ( ) 123 111212313 12 3 0 AV lll h M xMxM xMxM xMx dxdxdx EIEIEI PbaPabh dx 3 EIEI =+ = (3) 在 A 处水平方向作用单位集中力 A C x1 x2 x3 1 ()()() 212223 0 0 MxMxMxx= 3 = A 的水平位移 ()()()()()() () 123 121222323 12 2 3 3 0 2 AH lll h M xMxM xMxM xMx dxdxdx EIEIEI PbxPbh dx 3 EIEI =+ = (4) 在 C 处作用单位集中力偶 A C x1 x2 x3 1 ()()() 313233 1 0 1MxMxMx= C 截面的转角 ()()()()()() () 123 131232333 12 2 1 13 00 211 += 22 C lll bh M xMxM xMxM xMx dxdxdx EIEIEI Pb bhPxPbPbPbh dxdx 3 EIEIEIEIEI =+ + =+= 顺时针转向 13.12. 图示刚架各部分的 EI 相等，在一对 P 力作用下，求 A、B 两点间的相对位移。 C BA D PP h a 解：(1) 由于结构和载荷对称，取刚架一半分析 C AP x1 x2 上海理工大学 力学教研室 7 (2) 弯矩方程 ()() ()() 112 12 1 M xPxM xPh M xM x xh PP = = (3) 应用卡氏定理 ()()()() () 12 1122 12 2 32 /2 11 12 00 23 326 A ll ha M xM xM xM x dxdx EIPEIP PhhaPxxPhhPhPah dxdx EIEIEIEIEI =+ + =+=+= (4) A、B 间的相对位移 () 2 23 2 3 ABA Phha EI + = A、B 两点相互靠近。 13.13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷 P 作用下，试求节点 B 与 D 间的相 对位移。 A B l P l C D 解：(1) 在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力 ND Pf A B 5 4 3 2 XA D C P 1 YA 22 22 AfADf XPPYPNP=+=+P (2) 求各杆的轴力 123 45 22 22 2 0 2 2 fff f NPNPNP NPPN = = = =+= P (3) 上式分别对Pf求偏导数 上海理工大学 力学教研室 8 35124 222 1 0 222 fffff NNNNN PPPPP = = = = (4) 用卡氏定理求 B 点沿 BD 方向的位移 5 1 22 22 22 ()() 22 2 () ( 2)2 2 2 ()1 2 i ii BD i ff ff f f N lNU PEAP PlPl EAEA PPl PPl 0 EAEA = = =+ + + + (5) 令上式中的Pf为零 ()2( 2 )22 00()0(2)2.71 22 BD PlPlPlPl EAEAEA =+=+ EA 方向为 B 向 D 靠近 13.14. 图示简易吊车的撑杆AC长为 2 m，截面的惯性矩I=8.53106 mm4。拉杆BD的A=600 mm2。P=2.83 kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C点的垂直位移，设E=200 GPa。 P A B CD 45o 45o 1m 解：(1) 求出约束反力 22 2 22 AAD XPYPRP= (2) 求 BD 杆的轴力和 AC 杆的弯矩 1122 22 2 () ()(1)2 22 NPM xPxM xPxPx= = + 2 RD x1 P A B CD 45o 45o x2 XA YA 上海理工大学 力学教研室 9 (3) 用卡氏定理求 C 点垂直位移 12 1122 12 12 1 1 11 0 22 1 22 0 ()()()() 2 212 2 2() 2 2 (1)2 2 2 (1) 2 22 0.04720.5530.60 663 BD CV ll UNlNM xM xM xM x dxdx PEAPEIxEIx Px P x dx EAEI PxPx xdx EI PPPPP mm EAEIEIEAEI =+ =+ + + =+=+=+= 方向向下。 13.15. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面 A 的转角。 3l 4l A B C D P 解：(1) 求各杆的弯矩方程 x1 A B C D P x2 x3 11223 () ()(3cos ) ()M xPxM xPlxM xPx3 = = (2) 在梁上 A 处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程 1 x1 A B C D x2 x3 上海理工大学 力学教研室 10 123 ()1 ()1 ()1M xM xM x= = (3) 用莫尔定理求 A 截面的转角 123 331122 12 354 312 12 000 2222 ()()()()()() ()( 1)()( 1)(3cos ) 1 915933 2222 A lll lll M xM xM x M xM xM x dxdxdx EIEIEI PxPxPlx dxdxdx EIEIEI PlPlPlPl EIEIEIEI =+ =+ =+= 3 3 转角的方向与单位力偶方向相同。 13.16. 等截面曲杆 BC 的轴线为四分之三的圆周，如图所示。若 AB 可视为刚性杆，在 P 作 用下，试求截面 B 的水平位移及垂直位移。 P BA C P B A M() d R 解：(1) 写出曲杆的弯矩方程 ( )cosMPR = (2) 在 B 处垂直方向作用单位集中力 BA C 1 B A d 1 ( ) 1 M ( )() 1 1cosMR = B 的垂直位移 ( )( )() ( ) 3/2 1 0 33 cos1cos 3 13.36 4 BV l PRRMM dsRd EIEI PRPR EIEI = =+= (3) 在 B 处水平方向作用单位集中力 B A C 1 B A ( ) 2 M d 上海理工大学 力学教研室 11 ( ) 2 sinMR = B 的水平位移 ( )( ) () 3 /2 2 0 3 cossin 2 BH l MMPRR dsRd EIEI PR EI = = 13.18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩 m 作用下，试求自由端的线位移和角位移。 l h m 解：(1) 求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程 m x1 x2 12 () ()T xmM xm= (2) 在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程 x1 1 x2 x1 1 x2 上海理工大学 力学教研室 12 11122 2122 ()0 () ()1 ()1 T xM xx T xMx = = (3) 用莫尔定理求自由端的位移 12 111212 12 22 2 2 4 0 ()()()() 32 0 2 H ll p h T x T xM xM x dxdx GIEI mxmhmh dx EIEIE d =+ =+= 12 121222 12 12 44 00 ()()()() 11326 ll p lh pp T x T xM xMx dxdx GIEI mmmlmhmlmh dxdx GIEIGIEIG dE d 4 =+ =+=+=+ 自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。 13.19. 图示曲拐的自由端 C 上作用集中力 P。 曲拐两段材料的相同， 且均为同一直径的圆截 面杆，试求 C 点的垂直位移。 P A B C a a x1 x2 解：(1) 求 BC 杆的弯矩方程及 AB 杆的扭矩方程和弯矩方程 11222 () () ()M xPxM xPxT xPa= (2) 在 C 端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程 A B C x1 x2 1 11222 () () ()M xxM xxT xa= (3) 用莫尔定理求 C 端的垂直位移 122 112222 12 1122 122 000 33333 44 ()()() ()()() 12832 333 V lll p aaa p p M x M xT x T xM xM x dxdxdx EIGIEI PxxPa aPxx dxdxdx EIGIEI PaPaPaPaPa EIGIEIE dG d =+ =+ =+=+ 2 自由端的垂直位移单位力方向一致。 上海理工大学 力学教研室 13 13.20. 平均半径为 R 的细圆环，截面为直径为 d 的圆形。两个力 P 垂直于圆环轴线所在的 平面(见图