工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案版.pdf

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 381 141 102 ; 解 381 141 102 =2(4)3+0(1)(1)+118 0132(1)81(4)(1) =24+8+164=4. (2) bac acb cba ; 解 bac acb cba =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3. (3) 222 111 cba cba; 解 222 111 cba cba =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca). (4) yxyx xyxy yxyx + + + . 解 yxyx xyxy yxyx + + + =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为 4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n); 解 逆序数为 2 ) 1( nn : 3 2 (1 个) 5 2, 5 4(2 个) 7 2, 7 4, 7 6(3 个) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序数为 n(n1) : 3 2(1 个) 5 2, 5 4 (2 个) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) 4 2(1 个) 6 2, 6 4(2 个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1 个) 3. 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项. 解 含因子 a11a23的项的一般形式为 (1)ta11a23a3ra4s, 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列, 这种排列共有两个, 即 24 和 42. 所以含因子 a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式: (1) 7110 02510 2021 4214 ; 解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 = cc cc 34 ) 1( 14310 221 1014 + = 14310 221 1014 =0 141717 200 109932 32 1 1 = + + = cc cc . (2) 2605 2321 1213 1412 ; 解 2605 2321 1213 1412 2605 0321 2213 0412 24 = cc 0412 0321 2213 0412 24 = rr 0 0000 0321 2213 0412 14 = = rr . (3) efcfbf decdbd aeacab ; 解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf = abcdefadfbce4 111 111 111 = =. (4) d c b a 100 110 011 001 . 解 d c b a 100 110 011 001 d c b aab arr 100 110 011 010 21 + + = d c aab 10 11 01 ) 1)(1( 12 + = + 010 11 123 + + + =cdc adaab dcc cd adab + + = + 11 1 ) 1)(1( 23 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: (1) 111 22 22 bbaa baba +=(ab)3; 证明 111 22 22 bbaa baba + 001 222 2222 12 13 ababa abaaba cc cc = abab abaab 22 ) 1( 222 13 = + 21 )( aba abab + =(ab)3 . (2) yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax )( 33+ = + + + ; 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax + + + bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a + + + + + + + = bzayyx byaxxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a + + + + + + + = 22 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 += yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 33 += yxz xzy zyx ba)( 33+ =. (3)0 ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( 2222 2222 2222 2222 = + + + + dddd cccc bbbb aaaa ; 证明 2222 2222 2222 2222 ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( + + + + dddd cccc bbbb aaaa (c4c3, c3c2, c2c1得) 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 + + + + = dddd cccc bbbb aaaa (c4c3, c3c2得) 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 = + + + + = dd cc bb aa . (4) 4444 2222 1111 dcba dcba dcba =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d); 证明 4444 2222 1111 dcba dcba dcba )()()(0 )()()(0 0 1111 222222222 addaccabb addaccabb adacab = )()()( 111 )()( 222 addaccabb dcbadacab + = )()(0 0 111 )()( abdbddabcbcc bdbcadacab + = )()( 11 )()()()( abddabcc bdbcadacab + = =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5) 1221 1 000 00 10 00 01 axaaaa x x x nnn + =xn+a1xn1+ +an1x+an . 证明 用数学归纳法证明. 当 n=2 时, 21 2 12 2 1 axax axa x D+= + =, 命题成立. 假设对于(n1)阶行列式命题成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1, 则 Dn按第一列展开, 有 1 11 00 1 00 01 ) 1( 1 1 += + x x axDD n nnn =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 对于 n 阶行列式命题成立. 6. 设 n 阶行列式 D=det(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转, 依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 =, 111 1 2 n nnn aa aa D = , 111 1 3 aa aa D n nnn =, 证明DDD nn 2 ) 1( 21 ) 1( =, D3=D . 证明 因为 D=det(aij), 所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 ) 1( = = = = ) 1() 1( 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 ) 1( ) 1()2( 21 ) 1() 1( + + =. 同理可证 nnn n nn aa aa D = ) 1( 1 111 2 ) 1( 2 DD nn T nn 2 ) 1( 2 ) 1( ) 1() 1( =. DDDDD nn nnnnnn = ) 1( 2 ) 1( 2 ) 1( 2 2 ) 1( 3 ) 1() 1() 1() 1(. 7. 计算下列各行列式(Dk为 k 阶行列式): (1) a a Dn 1 1 =, 其中对角线上元素都是 a, 未写出的元素都 是 0; 解 a a a a a Dn 0 001 0 000 00 00 00 00 10 00 =(按第 n 行展开) ) 1() 1( 1 0 000 00 00 00 00 10 000 ) 1( + = nn n a a a ) 1() 1( 2 ) 1( + nn n a a a n nn nn a a a + = + )2)(2( 1 ) 1() 1(=anan2=an2(a21). (2) xaa axa aax Dn = ; 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行, 得 axxa axxa axxa aaax Dn = 000 0 0 0 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 ax ax ax aaaanx Dn + = 0000 0 00 0 00 ) 1( =x+(n1)a(xa)n1. (3) 1 11 1 )( ) 1( )( ) 1( 111 1 = + naaa naaa naaa D nnn nnn n ; 解 根据第 6 题结果, 有 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D )( ) 1( )( ) 1( 1 1 11 ) 1( 111 2 ) 1( 1 = + + 此行列式为范德蒙德行列式. + + + += 11 2 ) 1( 1 )1() 1() 1( jin nn n jaiaD + + = 11 2 ) 1( )() 1( jin nn ji + + + + = 11 2 1 ) 1( 2 ) 1( )() 1() 1( jin nn nn ji + = 11 )( jin ji. (4) nn nn n dc dc ba ba D = 11 11 2 ; 解 nn nn n dc dc ba ba D = 11 11 2 (按第 1 行展开) n nn nn n d dc dc ba ba a 0 00 0 11 11 11 11 = 0 0 ) 1( 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n + +. 再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n2bncnD2n2, 即 D2n=(andnbncn)D2n2. 于是 = = n i iiiin DcbdaD 2 22 )(. 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D=, 所以 = = n i iiiin cbdaD 1 2 )(. (5) D=det(aij), 其中 aij=|ij|; 解 aij=|ij|, 0 4321 4 0123 3 1012 2 2101 1 3210 )det( = nnnn n n n n aD ijn 0 4321 1 1111 1 1111 1 1111 1 1111 21 32 = nnnn rr rr 1 5242321 0 2221 0 0221 0 0021 0 0001 12 13 + + = nnnnn cc cc =(1)n1(n1)2n2. (6) n n a a a D + + + = 1 11 1 11 1 11 2 1 , 其中 a1a2 an0. 解 n n a a a D + + + = 1 11 1 11 1 11 2 1 nn nn aa aa aa aa a cc cc + = 10 000 1 000 100 0 100 0 100 00 11 33 22 1 21 32 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 110 000 11 000 00 110 00 011 00 001 + = n n n a a a a a aaa = + = n i i n n a a a a a aaa 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 100 000 10 000 00 100 00 010 00 001 ) 1 1)( 1 21 = += n ii n a aaa. 8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+ = =+ =+ 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx ; 解 因为 142 11213 5132 4121 1111 = =D, 142 11210 5132 4122 1115 1 = =D, 284 11203 5122 4121 1151 2 = =D, 426 11013 5232 4221 1511 3 = =D, 142 0213 2132 2121 5111 4 = =D, 所以 1 1 1 = D D x, 2 2 2 = D D x, 3 3 3 = D D x, 1 4 4 = D D x. (2) =+ =+ =+ =+ =+ 15 065 065 065 165 54 543 432 321 21 xx xxx xxx xxx xx . 解 因为 665 51000 65100 06510 00651 00065 =D, 1507 51001 65100 06510 00650 00061 1 =D, 1145 51010 65100 06500 00601 00015 2 =D, 703 51100 65000 06010 00051 00165 3 =D, 395 51000 60100 00510 00651 01065 4 =D, 212 11000 05100 06510 00651 10065 5 =D, 所以 665 1507 1= x, 665 1145 2 =x, 665 703 3= x, 665 395 4 =x, 665 212 4= x. 9. 问, 取何值时, 齐次线性方程组 =+ =+ =+ 02 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零 解？ 解 系数行列式为 = 121 11 11 D. 令 D=0, 得 =0 或 =1. 于是, 当 =0 或 =1 时该齐次线性方程组有非零解. 10. 问 取何值时, 齐次线性方程组 =+ =+ =+ 0)1 ( 0)3 (2 042)1 ( 321 321 321 xxx xxx xxx 有 非零解？ 解 系数行列式为 + = = 101 112 431 111 132 421 D =(1)3+(3)4(1)2(1)(3) =(1)3+2(1)2+3. 令 D=0, 得 =0, =2 或 =3. 于是, 当 =0, =2 或 =3 时, 该齐次线性方程组有非零解. 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: += += += 3213 3212 3211 323 53 22 yyyx yyyx yyyx , 求从变量 x1, x2, x3到变量 y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: = 2 2 1 3 2 1 323 513 122 y y y x x x , 故 = 3 2 1 1 2 2 1 323 513 122 x x x y y y = 3 2 1 423 736 947 y y y , += += += 3213 3212 3211 423 736 947 xxxy xxxy xxxy . 2. 已知两个线性变换 += += += 3213 3212 311 54 232 2 yyyx yyyx yyx , += += += 323 312 211 3 2 3 zzy zzy zzy , 求从 z1, z2, z3到 x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 = 2 2 1 3 2 1 514 232 102 y y y x x x = 3 2 1 310 102 013 514 232 102 z z z = 3 2 1 16110 9412 316 z z z , 所以有 += += += 3213 3212 3211 1610 9412 36 zzzx zzzx zzzx . 3. 设 = 111 111 111 A, = 150 421 321 B, 求 3AB2A 及 ATB. 解 = 111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 323AAB = = 2294 20172 22132 111 111 111 2 092 650 850 3, = = 092 650 850 150 421 321 111 111 111 BAT. 4. 计算下列乘积: (1) 1 2 7 075 321 134 ; 解 1 2 7 075 321 134 + + + = 102775 132) 2(71 112374 = 49 6 35 . (2) 1 2 3 ) 321 (; 解 1 2 3 ) 321 (=(13+22+31)=(10). (3) 21( 3 1 2 ; 解 ) 21( 3 1 2 = 23) 1(3 21) 1(1 22) 1(2 = 63 21 42 . (4) 204 131 210 131 4311 0412 ; 解 204 131 210 131 4311 0412 = 6520 876 . (5) 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx; 解 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) 3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111 222xxaxxaxxaxaxaxa+=. 5. 设 = 31 21 A, = 21 01 B, 问: (1)AB=BA 吗? 解 ABBA. 因为 = 64 43 AB, = 83 21 BA, 所以 ABBA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因为 =+ 52 22 BA, =+ 52 22 52 22 )( 2 BA = 2914 148 , 但 + + =+ 43 01 128 86 114 83 2 22 BABA = 2715 1610 , 所以(A+B)2A2+2AB+B2. (3)(A+B)(AB)=A2B2吗? 解 (A+B)(AB)A2B2. 因为 =+ 52 22 BA, = 10 20 BA, = =+ 90 60 10 20 52 22 )(BABA, 而 = = 71 82 43 01 114 83 22 BA, 故(A+B)(AB)A2B2. 6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若 A2=0, 则 A=0; 解 取 = 00 10 A, 则 A2=0, 但 A0. (2)若 A2=A, 则 A=0 或 A=E; 解 取 = 00 11 A, 则 A2=A, 但 A0 且 AE. (3)若 AX=AY, 且 A0, 则 X=Y . 解 取 = 00 01 A, = 11 11 X, = 10 11 Y, 则 AX=AY, 且 A0, 但 XY . 7. 设 = 1 01 A, 求 A2, A3, , Ak. 解 = = 12 01 1 01 1 01 2 A, = = 13 01 1 01 12 01 23 AAA, , = 1 01 k Ak. 8. 设 = 00 10 01 A, 求 Ak . 解 首先观察 = 00 10 01 00 10 01 2 A = 2 2 2 00 20 12 , = 3 23 23 23 00 30 33 AAA, = 4 34 234 34 00 40 64 AAA, = 5 45 345 45 00 50 105 AAA, , = k A k kk kkk k kk k 00 0 2 ) 1( 1 21 . 用数学归纳法证明: 当 k=2 时, 显然成立. 假设 k 时成立，则 k+1 时， = + 00 10 01 00 0 2 ) 1( 1 21 1 k kk kkk kk k kk k AAA + + + = + + + 1 11 111 00 ) 1(0 2 ) 1( ) 1( k kk kkk k kk k , 由数学归纳法原理知: = k kk kkk k k kk k A 00 0 2 ) 1( 1 21 . 9. 设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是 对称矩阵. 证明 因为 AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而 BTAB 是对称矩阵. 10. 设 A, B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 AB=BA. 证明 充分性: 因为 AT=A, BT=B, 且 AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即 AB 是对称矩阵. 必要性: 因为 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1) 52 21 ; 解 = 52 21 A. |A|=1, 故 A1存在. 因为 = = 12 25 * 2212 2111 AA AA A, 故 * | 1 1 A A A = = 12 25 . (2) cossin sincos ; 解 = cossin sincos A. |A|=10, 故 A1存在. 因为 = = cossin sincos * 2212 2111 AA AA A, 所以 * | 1 1 A A A = = cossin sincos . (3) 145 243 121 ; 解 = 145 243 121 A. |A|=20, 故 A1存在. 因为 = = 21432 1613 024 * 332313 322212 312111 AAA AAA AAA A, 所以 * | 1 1 A A A = = 1716 2 1 3 2 13 012 . (4) n a a a 0 0 2 1 (a1a2 an 0) . 解 = n a a a A 0 0 2 1 , 由对角矩阵的性质知 = n a a a A 10 01 1 2 1 1 . 12. 解下列矩阵方程: (1) = 12 64 31 52 X; 解 = 12 64 31 52 1 X = 12 64 21 53 = 80 232 . (2) = 234 311 111 012 112 X; 解 1 111 012 112 234 311 =X = 033 232 101 234 311 3 1 = 3 2 5 3 8 122 . (3) = 10 13 11 02 21 41 X; 解 11 11 02 10 13 21 41 =X = 21 01 10 13 11 42 12 1 = 21 01 03 66 12 1 = 0 4 1 11 . (4) = 021 102 341 010 100 001 100 001 010 X. 解 11 010 100 001 021 102 341 100 001 010 =X = 010 100 001 021 102 341 100 001 010 = 201 431 012 . 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1) =+ =+ =+ 353 2522 132 321 321 321 xxx xxx xxx ; 解 方程组可表示为 = 3 2 1 153 522 321 3 2 1 x x x , 故 = = 0 0 1 3 2 1 153 522 321 1 3 2 1 x x x , 从而有 = = = 0 0 1 3 2 1 x x x . (2) =+ = = 0523 132 2 321 321 321 xxx xxx xxx . 解 方程组可表示为 = 0 1 2 523 312 111 3 2 1 x x x , 故 = = 3 0 5 0 1 2 523 312 111 1 3 2 1 x x x , 故有 = = = 3 0 5 3 2 1 x x x . 14. 设 Ak=O (k 为正整数), 证明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 证明 因为 Ak=O , 所以 EAk=E. 又因为 EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1), 所以 (EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, 由定理 2 推论知(EA)可逆, 且 (EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 证明 一方面, 有 E=(EA)1(EA). 另一方面, 由 Ak=O, 有 E=(EA)+(AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA), 两端同时右乘(EA)1, 就有 (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 设方阵 A 满足 A2A2E=O, 证明 A 及 A+2E 都可逆, 并 求 A1及(A+2E)1. 证明 由 A2A2E=O 得 A2A=2E, 即 A(AE)=2E, 或 EEAA=)( 2 1 , 由定理 2 推论知 A 可逆, 且)( 2 1 1 EAA= . 由 A2A2E=O 得 A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E, 或 EAEEA=+)3 ( 4 1 )2( 由定理 2 推论知(A+2E)可逆, 且)3 ( 4 1 )2( 1 AEEA=+ . 证明 由 A2A2E=O 得 A2A=2E, 两端同时取行列式得 |A2A|=2, 即 |A|AE|=2, 故 |A|0, 所以 A 可逆, 而 A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故 A+2E 也可逆. 由 A2A2E=O A(AE)=2E A1A(AE)=2A1E)( 2 1 1 EAA= , 又由 A2A2E=O(A+2E)A3(A+2E)=4E (A+2E)(A3E)=4 E, 所以 (A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(A+2 E)1, )3 ( 4 1 )2( 1 AEEA=+ . 16. 设 A 为 3 阶矩阵, 2 1 |=A, 求|(2A)15A*|. 解 因为* | 1 1 A A A = , 所以 | 5 2 1 | *5)2( | 111 =AAAAA| 2 5 2 1 | 11 =AA =|2A1|=(2)3|A1|=8|A|1=82=16. 17. 设 矩 阵 A 可 逆 , 证 明 其 伴 随 阵 A* 也 可 逆 , 且 (A*)1=(A1)*. 证明 由* | 1 1 A A A = , 得 A*=|A|A1, 所以当 A 可逆时, 有 |A*|=|A|n|A1|=|A|n10, 从而 A*也可逆. 因为 A*=|A|A1, 所以 (A*)1=|A|1A. 又*)( |)*( | 1 11 1 =AAA A A, 所以 (A*)1=|A|1A=|A|1|A|(A1)*=(A1)*. 18. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|A*|0, 则有 A*(A*)1=E, 由此得 A=A A*(A*)1=|A|E(A*)1=O , 所以 A*=O, 这与|A*|0 矛盾，故当|A|=0 时, 有|A*|=0. (2)由于* | 1 1 A A A = , 则 AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 则|A*|=|A|n1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n1. 19. 设 = 321 011 330 A, AB=A+2B, 求 B. 解 由 AB=A+2E 可得(A2E)B=A, 故 = 321 011 330 121 011 332 )2( 1 1A EAB = 011 321 330 . 20. 设 = 101 020 101 A, 且 AB+E=