一元二次方程根与系数的关系 —— 初中数学第四册教案

1 / 10 一元二次方程根与系数的关系 初中数学第四册教案 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根 x1、 2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数 x1、 x2 为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过 4 个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。 根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中 代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。 通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。 2 / 10 通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后 学习方程理论打下基础。 （二）重点、难点 一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 （三）教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。 2、能力目标：通过韦达定理的 教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 二、设计理念 3 / 10 根据教材内容和本人研究的课题初中数学问题引探教学实验研究，在教学中渗透新课标的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识 ，教师是组织者、引导者、参与者。 三、教法与学法 （一）教法 1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。 2、采用“实践（练习） 观察 发现 猜想 证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。 3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。 4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。 （二）学法指导 1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。 2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。 3、指导学生 熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。 四、课时划分及教学过程 （一）课时划分 共分 3 课时 4 / 10 第一课时 1、根与系数的关系。 2、根与系数的关系的应用。 （ 1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。 第二课时 1、已知两数求作新方程。 2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。 第三课时 方程判别式、根与系数的关系的综合应用。 第一课时 一元二次方程根与系数的关系（ 1） 一、教学目标 1、理解掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两根 x1，x2与系数 a、 b、 c 之间的关系。 2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。 3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。 4、在推导过程中，培养学生“观察 发现 猜想 证明”的研究问题的思想与方法。 二、重难点 根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等5 / 10 于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。 三、教学过程 （一）问题引探 问题 1.在方程 ax2+bx+c=0中， a的取值决定什么？ b2-4ac的取值 呢？同学们可知道 a、 b、 c 的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。 问题 2.解方程 x2-5x+6=0，并先指出 a、 b、 c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？ 问题 3.解下列方程： （ 1 ）2x2+5x+3=0 （ 2） 3x2-2x-2=0 并根据问题 2和以上的求解填写下表 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 问题 4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（ a 0）的根 x1， x2 与 a、 b、 c 之间的关系：_. 6 / 10 问题 5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。 分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。 若方程 ax2+bx+c=0（ a 0）的两根为 x1= ， x2= , 则 x1+x2= + = ; x1 x2= = = 即：如果 ax2+bx+c=0（ a 0）的两根是 x1， x2，那么x1+x2= ， x1x2= 。 由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。 这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。 问题 6.在方程 ax2+bx+c=0（ a 0）中， a、 b、 c的作用吗？（引导学生反思性小结） 二次项系数 a 是否为零，决定着方程是否为二次方程； 当 a 0 时， b=0， a、 c 异号，方程两根互为相反数； 当 a 0 时， =b2-4ac 可判定根的情况； 当 a 0， b2-4ac 0时， x1+x2= ， x1x2= 当 a 0， c=0 时，方 程有一根为 0。 说明： 1、本设计采用“实践 观察 发现 猜想 证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师7 / 10 引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。 2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。 3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。 （二）尝试发展 试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为 x1， x2、 k 是常数） （ 1 ） 2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （ 2 ） 3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _ （ 3 ） 5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _ （ 4 ） 5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _ 8 / 10 （此试一试作为巩固知识而用） 尝试题 1、已知方程 6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及 k 的值。 组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。 学生练习： P32 2。 尝试题 2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（ 1）平方和，（ 2）倒数和。 讨论：解上面问题的思路是什么？ 得出： x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; .(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式 ) （三）拓展创新 1、在尝试 2 中能否求（ x1 x2）的值？ 2、已知实数满足关系式 a2-5a+6=0， b2-5b+6=0，且 a b，能否求 a+b 与 ab的值？ 说明： 1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（ 3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（ 4）小题是起过渡作用设计。 2、尝试题 1、 2 让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。 3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。 9 / 10 （四）归纳小结本课主要研究了什么？ 1、方程 的根是由系数决定的。 2、 a 0 时，方程 ax2+bx+c=0 是一元二次方程。3、 a 0，且 b2-4ac 0时，方程 ax2+bx+c=0 的根为 x1、 2= 4、 b2-4ac的值可判定根的情况。 5、 a 0， 0时， x1+x2= ，x1x2= 。 6、方程根与系数关系的有关应用。 （ 1）已知一根求另一根及 k 的值；（ 2）求有关代数式的值。 （五）布置作业 P33A 1、 2 B 1（ 1） 练习：已知三角形的两边长 a、 b 是方程 x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边 c=4,求这个等腰三角形 的周长。 2、已知关于 x 的方程