概率论与数理统计习题三及答案.pdf

西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 1 概率论概率论与与数理统计数理统计 B 习题习题三三答案答案 A 1. 二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值： （0，0） ， （-1，1） ， 1 1, 3 ， （2，0） ， 且取这些组值的概率依次为 12 5 , 12 1 , 3 1 , 6 1 .求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关 于Y的边缘分布律。 解：由题意可得YX,的联合分布律为 XY 0 3 1 1 -1 0 12 1 3 1 0 6 1 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋 中， 再从袋中任取一球.设每次取球时， 袋中每个球被取到的可能性相同.以YX,分别记第一、 二次取得的球上标有的数字，求),(YX的分布律及)(YXP。 解：X 可能的取值为3 , 2 , 1，Y 可能的取值为3 , 2 , 1，相应的，其概率为 1 211 11 1,10,1,2,1,3, 4 364 312 2 112 112 11 2,1,2,2,2,3, 4 364 364 36 11 21 3,1,3,2,3,30 124 36 P XYP XYP XY P XYP XYP XY P XYP XYP XY 或写成 XY 1 2 3 1 0 6 1 12 1 2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 0 6 1 3, 32, 21, 1YXPYXPYXPYXP。 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 2 3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2 次. 定义随机变量YX,如下： 1 0 X , , 若第一次取出正品, 若第一次取出次品, 1 0 Y , , 若第二次取出正品, 若第二次取出次品,分别就 下面两种情况（1）放回抽样， （2）不放回抽样。 求： （1）二维随机变量),(YX的联合分布律； （2）关于X及关于Y的边缘分布律； （3）X与Y是否独立，为什么？ 解： （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1 , 0，Y 可能取的值也为1 , 0，且 , 25 1 1010 22 1, 1, 25 4 1010 82 0, 1 , 25 4 1010 28 1, 0, 25 16 1010 88 0, 0 YXPYXP YXPYXP 或写成 XY 0 1 0 25 16 25 4 1 25 4 25 1 在无放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率与有放回 情形下不一样，具体为 , 45 1 910 12 1, 1, 45 8 910 82 0, 1 , 45 8 910 28 1, 0, 45 28 910 78 0, 0 YXPYXP YXPYXP 或写成 XY 0 1 0 45 28 45 8 1 45 8 45 1 （2）在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 3 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 （3） 在有放回情况下， 由于 25 16 0, 0YXP，而 25 16 5 4 5 4 00YPXP， 即 000, 0YPXPYXP；容易验证 ,101, 0YPXPYXP 111, 1,010, 1YPXPYXPYPXPYXP，由独立性定义知 X 与 Y 相互独立。 在无放回情况下，由于 45 28 0, 0YXP，而 25 16 5 4 5 4 00YPXP，易见 000, 0YPXPYXP，所以 X 与 Y 不相互独立。 4. 设二维随机变量),(YX服从在区域 D 上的均匀分布，其中区域 D 为 x 轴，y 轴及直线 y=2x+1 围成的三角形区域.求： （1）),(YX的联合密度函数； （2） 11 0,0 44 PXY ； （3）关于X及关于Y的边缘密度函数； （4）X与Y是否独立，为什么？ 解： （1）区域D 见图1： 易算得D 的面积为 4 1 2 1 1 2 1 S，所以YX,的密度函数 yxf, , 0 , 4 其他 Dyx, YX,的分布函数： yx dxdyyxfyxF, 当 2 1 x或0y时，0,yxF； 当120 , 0 2 1 xyx时, 2 0 2 1 244,yyxydxdyyxF yx y ； 当12, 0 2 1 xyx时，1444, 2 2 1 12 0 xxdydxyxF xx ； 当10 , 0yx时， 2 0 0 2 1 24,yydxdyyxF y y ； 当1, 0yx时， 0 2 1 12 0 14, x dydxyxF （2）X 的边缘密度函数为 dyyxfxfX, y 1 -1 2 1 0 1 x 图 1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 4 = , 0 ,4 12 0 x dy 其他 0 2 1 x = , 0 ,124x 其他 0 2 1 x Y 的边缘密度函数为 dxyxfyfY, = , 0 ,4 0 2 1y dx 其他 10 y = , 0 ,12y 其他 10 y （3）4 3 1 , 4 1 f， 而 3 4 3 1 , 2 4 1 YX ff， 易见 3 1 4 1 3 1 , 4 1 YX fff， 所以 X 与 Y 不相互独立。 5. 设随机变量X，Y是相互独立且分别具有下列分布律： X -2 -1 0 0.5 概率 4 1 3 1 12 1 3 1 Y -0.5 1 3 概率 2 1 4 1 4 1 写出表示),(YX的联合分布律。 解：由于 X 与 Y 相互独立，因此 , 3 , 2 , 1, 4 , 3 , 2 , 1,jiyYPxXPyYxXP jiji 例如 8 1 2 1 4 1 5 . 025 . 0, 2YPXPYXP 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 XY -0.5 1 3 -2 8 1 16 1 16 1 -1 6 1 12 1 12 1 0 24 1 48 1 48 1 0.5 6 1 12 1 12 1 6. 设二维随机变量),(YX的联合密度函数为 (34 ) e ( , ) 0 xy k f x y ,0,0,xy 其他, 求： （1） 系数 k;（2）)20 , 10(YXP;（3）证明X与Y相互独立。 解：（1）k必须满足 1,dxdyyxf， 即 1 0 43 0 dxkedy yx ， 经计算得12k； 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 5 （2） 83 2 0 1 0 43 111220 , 10 eedxedyYXP yx ； （3）关于X 的边缘密度函数： dyyxfxfX, , 0 ,12 0 43 dye yx 其他 0x = , 0 ,3 3x e 其他 0x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 yfY , 0 ,4 4y e 其他 0x 易见 yxyfxfyxf YX ,，因此X 与Y 相互独立。 7. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从0,0.2上的均匀分布，Y服从参数为 5 的指数分布，求：),(YX的联合密度函数及)(YXP。 解：由均匀分布的定义知 xfX , 0 , 5 其他 2 . 00 x 由指数分布的定义知 yfY , 0 ,5 5y e 其他 0y 因为 X 与 Y 独立，易得YX,的联合密度函数 yfxfyxf YX , , 0 ,25 5y e 其他 0, 2 . 00yx 概率 G dxdyyxfYXP,， 其中区域yxyxG|,见图 2，经计算有 1 2 . 0 0 5 2 . 0 00 5 1525 edxedyedxYXP x x y 。 8. 已知二维随机变量),(YX的联合密度函数为 0 )1 ( ),( yxk yxf ,01,0,xyx 其他, ， （1）求常数k;（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数； （3）X与Y是否独立，为什么？ 解： （1）k满足 1,dxdyyxf，即 1 00 11 x ydyxkdx解得24k； （2）X的边缘密度函数 dyyxfxfX, , 0 ,124 0 dyyx x 其他 10 x y 0.2 x 图 2 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 6 = , 0 ,112 2 xx 其他 10 x Y 的边缘密度函数为 yfY , 0 ,124 1 y ydxx 其他 10 y = , 0 ,112 2 yy 其他 10 y （3） 3 1 4 1 2 1 24 4 1 , 2 1 f， 而 16 27 16 9 4 1 12, 2 3 2 1 4 1 12yfxf YX ， 易见 4 1 2 1 4 1 , 2 1 YX fff，因此X与Y不相互独立。 9. 设随机变量X与Y的联合分布律为 XY 0 1 0 25 2 b 1 a 25 3 2 25 1 25 2 且 5 3 0| 1XYP， （1）求常数ba,的值； （2）当ba,取（1）中的值时，X与Y是否独立，为 什么？ 解：（1）ba,必须满足 2 1 3 1 1 ji ij p， 即1 25 2 25 1 25 3 25 2 ab， 可推出 25 17 ba， 另外由条件概率定义及已知的条件得 5 3 25 20 1, 0 0| 1 b b XP YXP XYP 由此解得 25 3 b，结合 25 17 ba可得到 25 14 a， 即 25 3 25 14 b a （2）当 25 3 , 25 14 ba时，可求得 25 17 0, 25 5 0YPXP，易见 00 25 2 0, 0YPXPYXP 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 7 因此，X 与 Y 不独立。 10. 一口袋中有四个球， 它们依次标有数字3 , 2 , 2 , 1。 从这袋中任取一球后， 不放回袋中， 再从袋中任取一球。 设每次取球时， 袋中每个球被取到的可能性相同。 以 X、 Y 分别记第一、 二次取到的球上标有的数字，求当2Y时 X 的条件分布律。 解：易知 2 1 2 2 YPp，因此2Y时 X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 3 1 2 12 p p 3 1 2 22 p p 3 1 2 32 p p 11. 随机变量YX,在 D 上服从均匀分布，其中 D 为 x 轴、y 轴及直线12 xy 围成的三角形区域，求当 0 2 1 ,xxX时 Y 的条件密度函数。 解：X 的边缘密度函数为 xfX , 0 ,124x 其他 0 2 1 x 由条件密度函数的定义知当 0 2 1 ,xxX时 Y 的条件密度函数为 xf yxf xyf X XY , | | , 0 , 124 4 x 其他 120xy = , 0 , 12 1 x 其他 120xy 12. 设二维随机变量YX,的分布律 XY 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 求以下随机变量的分布律： （）YX ； （）YX ； （）X2； （）XY。 解： 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 8 概率 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 YX, 1 , 1 2 , 1 3 , 1 1 , 2 2 , 2 3 , 2 1 , 3 2 , 3 3 , 3 YX YX - -2 1 0 -1 2 1 0 XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 （1） YX 概率 4 1 8 3 4 1 8 1 （） YX - -1 0 1 2 概率 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 （）从联合分布律可求得的边缘分布律为 概率 8 5 8 1 4 1 由此得X2的分布律为 概率 8 5 8 1 4 1 （） XY 1 2 3 6 概率 4 1 8 3 4 1 8 1 13. 设随机变量、相互独立， 4 1 , 1, 4 1 , 1BYBX, （） 记随机变量YXZ，求Z的分布律； （） 记随机变量XU2，求U的分布律。 从而证实：即使、服从同样的分布，YX 与X2的分布并不一定相同，直观地解 释这一结论。 解 ： （ ） 由 于 4 1 , 1, 4 1 , 1BYBX， 且与独 立 ， 由 分 布 可 加 性 知 4 1 , 2 BYX ，即2 , 1 , 0, 4 3 4 1 2 2 k k kYXPkZP kk ,经计算有 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 9 Z 概率 16 9 16 6 16 1 （）由于 X 概率 4 1 4 3 因此 XU2 概率 4 1 4 3 易见YX 与X2的分布并不相同。直观的解释是的YX 与X2的取值并不相同，这 是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 14. 设二维随机变量YX,的联合分布律为 XY 9 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 1 （1）求YXU,max的分布律； （2）求YXV,min的分布律。 解： （）随机变量U可能取到的值为，中的一个，且 ; 9 5 9 1 9 2 9 2 00 3, 3 2, 31, 33, 23, 1 3,max3 ; 3 1 9 1 9 2 0 2, 21, 22, 12,max2 ; 9 1 1, 11,max1 YXP YXPYXPYXPYXP YXPUP YXPYXPYXPYXPUP YXPYXPUP 综合有 U 概率 9 1 3 1 9 5 （）随机变量V可能取到的值为，中的一个，且 ; 9 5 9 2 9 2 00 9 1 1, 31, 23, 12, 11, 1 1,min1 YXPYXPYXPYXPYXP YXPVP 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 10 -2 0 2 x y 2 图 3.3 图 6.3 -2 0 2 x 图 3.1 y 2 -2 0 2 x y 2 同理可求得, 9 1 3, 3 1 2VPVP综合有 V 概率 9 5 3 1 9 1 15. 设二维随机变量YX,服从在上的均匀分布，其中为直线0, 0yx， 2, 2yx所围成的区域，求XY的分布函数及密度函数。 解： YX, 的联合密度函数为 1 ,02,02; ( , )4 0, xy f x y 其他. 设YXZ，则Z的分布函数 zz D Z dxdyyxf zYXP zZPzF , 其中区域zyxyxDz:,， 当2z时，积分区域见图 3.1，此时 z D Z dxdyzF00 当02z时，积分区域见 z D图 3.2， 此时 2 2 2 8 1 2 2 1 4 1 4 1 4 1 , zz D dxdydxdyyxfzF z DD Z zz 的面积区域 其中 z D 是区域z D限在20 , 20yx中 的那部分。 当20 z时，积分区域 z D见图 3.3，此时 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 11 -2 0 2 x y 2 图 3.4 2 2 2 8 1 1 2 2 1 4 4 1 4 1 4 1 , z z D dxdydxdyyxfzF z DD Z zz 的面积区域 其中 z D 是区域z D限在20 , 20yx中的 那部分。 当2z时，积分区域 z D见图 3.4，此时 1, z D Z dxdyyxfzF。 综合有 zFZ , 1 ,2 8 1 1 ,2 8 1 , 0 2 2 z z , 2 ; 20 ; 02 ; 2 z z z z Z的密度函数 zFzf ZZ , 0 ,2 4 1 ,2 4 1 z z 20 ; 02 ; z z 其他 B 1.设二维随机变量YX,具有概率密度 2() ,(0,) , 0 x y Ce x y f x y 其它 ，试求： （1）常数C； （2）YX,落在区域( , )|0,0,1Dx yxyxy 内的概率。 解：由概率密度的性质可知： 2() 00 22 00 1( , ) ()() 4 x y xy f x y dxdyCedxdy C Cedxedy 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 12 即=4C； 11 2() 00 ( ,) 111 2222(1) 000 2 (,)( , )4 42(1) 1 3 x x y x yD x xyxx PX YDf x y dxdydxedy edxedyeedx e 2. 设YX,的概率密度为 22 201,01 , 0 axx yxy f x y ， ，其他 ，试求： （1）常 数a； （2）边缘概率密度( ) X fx，( ) Y fy； （3）YX,落在区域( , )|1Gx yxy 内的 概率。 解： （1） 11 22 00 1 1( , )(2), 33 a f x y dxdyaxxy dxdy 得2a ； （2）当01x时， 1 222 0 2 ( )( , )2()2 3 X fxf x y dyxxydyxx ， ， 当01y时， 1 222 0 2 ( )( , )2() 3 Y fyf x y dxxxy dxy ，得： 2 2 2 , 013 0 X xx fxx ，其他 ， 2 2 ,013 0 Y y fyy ，其他 （3） 11 22 00 1 1 ( , )( , )2() 5 x x y Px yGf x y dxdydxxxy dy 。 3. 设二维随机变量(, )X Y的概率分布为 试求（1）(, )X Y的分布函数),(yxF； （2）X，Y的边缘分布律； （3）YXZ的概率分 布； （4）概率)6 . 1, 2 . 1(YXP。 解： （1）(, )X Y的分布函数为 2, 21 21 , 26 . 0 2, 217 . 0 21 , 214 . 0 1, 10 ),( yx yx yx yx yx yxF 或 （2）X，Y的边缘分布律分别为 X 1 2 Y 1 2 P 0.7 0.3 P 0.6 0.4 X Y 1 2 1 0.4 0.3 2 0.2 0.1 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 13 （3）YXZ的概率分布为 Z =X-Y -1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 （4）概率1 . 0)6 . 1, 2 . 1(YXP 4. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为： X Y 0 1 2 0 0.30 a 0.05 1 b 0.15 0.10 如果 3 1 0| 1YXP，试求： （1）常数a与b的值； （2）Y在1 X条件下的分布律； （3）X 与 Y 是否相互独立？ 解： （1）由15. 0 3 . 00 0, 1 3 1 0| 1 b b b YP YXP YXP 25. 015. 015. 045. 01a （2）4 . 01 . 015. 015. 01XP Y/X=1 0 1 2 P 3/8 3/8 2/8 （3）45. 06 . 00030. 02, 0YPXPYXP 所以不满足独立性条件，故此 X 与 Y 不独立。 5. 设二维连续型随机变量),(YX的概率密度为 它其 , 0 10 , 10 ),2( ),( xxyxAx yxf 试求（1）常数A； （2）条件概率密度 )|( | yxf YX 和 | ( | ) Y X fy x； （3）0 XYP。 解（1） 6 5 2)2(1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 AdxdyxydxdyxAdxdyyxAx，得 5 6 A （2） 其它0 10)( 5 6 )2( 5 6 ),()( 1 0 2 xxxdyyxx dyyxfxfX 其它0 10)31 ( 5 2 )2( 5 6 ),()( 1 0 yydxyxx dxyxfyfY 条件概率密度 当10 y时， 其它0 10 31 )2(3 )( ),( )|( | x y yxx yf yxf yxf Y YX 当10 x时， 其它0 10 1 2 )( ),( )|( | y x yx xf yxf xyf X XY 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 14 （3） 5 3 2 5 6 )2( 5 6 0 1 0 3 1 00 dxxdxdyyxxXYPXYP x 6. 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 1 ()02,02 ( , )8 0 xyxy f x y 其它 ， 试求条件概率密度函数 | ( | ) Y X fy x。 解： 2 0 11 ()(1) 02 ( )( , )84 0 X xy dyxx fxf x y dy ， ，其他 故当02x时，有 | 02 ( , ) 2(1)( | ) ( ) 0 Y X X xy y f x y xfy x fx ， ，其他 7. 设随机变量X和Y相互独立，且具有下述概率密度： 0 , 0 0 , )( x xe xf x X 0 , 0 0 ,2 )( 2 y ye yf y Y 试求： （1）ZXY的概率密度； （2）max , MX Y的概率密度； （3）min , NX Y 的概率密度。 解： （1）YXZ的概率密度为 d)()()(xxzfxfzf YXZ 考虑当0z时，0)(zfZ， 当0z时，有 )(22)( 2)(2 0 zzxz z x Z eedxeezf 即 00 0)(2 )( 2 z zee zf zz Z （2）max , MX Y的分布函数为 FM(z)FX(z)FY(z) 而 0, 0 0, e1 )( x x xF x X 0, 0 0, e1 )( 2 y y yF y Y 故 00 0)1)(1 ( )( 2 z zee zF zz M ， 00 03 )( 32 z zeee zf zzz M （3）min , NX Y的分布函数为 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 15 00 01 )(1)(1 1)( 3 z ze zFzFzF z XXN 故N的概率密度为 00 03 )( 3 z ze zf z N 8. 已知随机变量X和Y的联合分布律为 ( , )(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1) (,)0.100.150.250.200.150.15 x y P Xx Yy 求： （1）(00)P YX；（2） 设),(yxF表示 X 和 Y 的联合分布函数， 求) 1 , 1 (F 的值； （3）min(, )XX Y的分布律。 解： （1）(00)P YX (0,0)(1,0) (0)(0) P YXP YX P XP X = 3 5 ， （2）) 1, 1() 1 , 1 (YXPF=)0, 0(YXP+) 1, 0(YXP+ )0, 1( YXP+) 1, 1( YXP =0.7， （3）min(, )XX Y的分布律为 mi n (,)0123 0 . 2 50 . 2 50 . 3 50 . 1 5 XX Y P C 1. 某班车起点站上车人数X服从参数为(0) 的泊松分布， 每位乘客在中途下车的 概率为(01)pp，且中途下车与否相互独立。以Y表示中途下车的人数，求： （1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量(, )X Y的概率分布。 解： （1）因为每位乘客中途下车与否相互独立，中途下车的概率为p，在发车时有n个 乘客的条件下，中途有m人下车的概率为条件概率，再根据n重贝努利概型可得： |(1)0,0,1,2, mmn m n P Ym XnC ppmn n （2）因为( )X ，其概率分布为 0,1,2, ! n P Xnen n ， 于是二维随机变量(, )X Y的概率分布为： , |(1)0,0,1,2, ! n mmn m n P Xn YmP Xn P Ym XneC ppmn n n 西南交通大学 20172018 学年第（一）学期概率论与数理统计 B课程习题答案 16 2. 设二维连续型随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为： 22 21 1 ( , )4 0 x yxy f x y 其他 ， 求条件概率密度(0.75|0.5)P YX。 解： 2 1 224 2121 (1)11 (x)48 0 x x x ydyxxx f 其它 当11x 时， 4 y| ( , )2 11,01 ( )1( | x) 0 Xx f x yy xy fxxfy 其它 ， y| ( , )32 11,01 ( )15( | x=0.5) 0