程稼夫电磁学第二版第四章习题.pdf

前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者 前辈和血色寂宁前辈的资料. 4-1 动生电动势，电路中的电流 （1） 要使功率最大，只需 （2） 1时： 2时： 在单调递增 要使功率最大，应取最小值 1，即. 4-2 原题图片和答案结果不符，现分两种情况： （1）按答案来： 整体绕过 o 点且于磁感应强度平行的轴转动 将运动分解为绕 c 的平动和转动，转动对电势差无贡献 又 c 点速度与磁感应强度垂直，只需投影导线，即将 ab 投影到竖直 （2）按原图来 以 c 为原点，为正方向建立 r 轴 4-3（1）OP 电势相等时，OP 速度沿磁场方向，显然当 OP 位于 YOZ 平面时，OP 电势相等 （2）当 OP 在 YOZ 平面右侧即 X0 时，电势差 （3）当 OP 在 XOZ 平面第一象限时，电势差最大 4-4 在任意时刻 t，线圈中的电流为，则由电磁感应定律和欧姆定律得， 该式也可以由能量得到 式中 L 为线圈自感系数，定义为，式中 是通过线圈的磁通量. 当线圈中的电流为时，它在圆平面内各处产生的磁场并不均匀，用线圈中心的磁场来 近似，即，于是磁通量 故有 线圈电阻 R 和电阻率 的关系是 以上两式带入得 由题设 带入得. 4-5 圆环滚动时缺口两段的电动势等于缺口处一段直杆的电动势 直杆速度可分解为绕圆心旋转的速度和圆心平动的速度 其中后一项式中与直杆平行，当与直杆方向垂直时，电动势绝对值最大 故有. 4-6 对于回路有，故有 力矩平衡 故有. 4-7（1）当转轮在磁场中旋转时，每一根轮辐上的感应电动势为 四根辐条作为电源是并联的，轮子产生的感应电动势不变 （2）根据戴维宁定理，将轮子作为电源，此时将外电路断路计算等效电动势 外电路断路后，电源内部无电流，故等效电动势取（1）中所求值，等效内阻即 当内阻等于外电路总电阻即时， 输出功率取最大. 4-8 当转轮 1 在磁场 B 中以 1 旋转时，每一根轮辐上的感应电动势为 式中 l 为轮辐长度.因有 1 在闭合回路中产生感应电流，其方向如下图所示.当转轮 2 的轮辐 中有电流时， 将受磁场的安培力使之转动.当转轮 2 以角速度 2 旋转时， 其中每根轮辐的感 应电动势为 当转轮 1 和转轮 2 分别以 1 和 2 旋转并达到稳定时，闭合回路中感应电流为 注意，因转轮 1 的四根轮辐并联，总电阻为；转轮 2 类似，其余连接导线、电刷、轮边 缘的电阻均忽略不计.又，因转轮 1 和转轮 2 同方向旋转，1 和 2 同方向，但在电路中的作 用是彼此减弱的 稳定转动时，转轮 2 所受磁力矩应与阻力矩抵消.磁力矩是四轮辐所受安培力产生的力矩， 为 式中是转轮 2 每根轮辐中的电流.阻力矩是阻力闸提供的力矩，因阻力恒为 F，故有稳定 转动时的力矩平衡为，解得感应电流为 把以上公式联立，解出稳定时转轮 2 的角速度为 （2）维持转轮 1 以 1 旋转所需的功率等于电路中的总功率，即有 . 4-9 由简谐振动性质，可以求得线框震动时的最大速度 感应电动势最大值，所以 受力平衡，. 4-10 回路中 将要向上滑动时安培力等于重力分力加滑动摩擦力 解得可变电阻最小值 将要向下滑动时安培力加滑动摩擦力等于重力分力 解得可变电阻最大值 匀速向上滑动时，电路中 同时杆受力平衡，有 联立解得. 4-11 注意题文描述中磁场竖直向上而所给图垂直于轨道平面，此处以文字为正. （1）下滑时，动生电动势与电源同向，故当加速下滑时，电流增大，V2 读数增大，V1 减 小. （2）由牛顿第二定律及欧姆定律得： 解得. 4-12 正方体线框质量，电阻 匀速时，重力等于安培力，有 对于自由下落，有 所以初始高度. 4-13（1）感应电动势由车厢的宽 l 以速度 v 切割磁感线产生， （2）金属板之间电场，由高斯定律可得无限大平板之间电场与电荷密度 成正比，电荷密度. 4-14 磁流体切割磁感线，有 内电阻阻值 负载电阻与内阻相等时，负载上功率最大. 4-15 平板的宽度 d 切割磁感线产生感应电动势，积累电荷产生电场，使自由电荷磁场力和 电场力抵消，可求出电场强度，将金属板看作两个无限大平板，然后求得面电荷密度. 板内电子受力平衡时 一对无限大平板电场 4-16 由受力平衡，；由力矩平衡， 解得. 4-17 由于圆盘有厚度 D，故当圆盘在磁场区域内竖直下落的速度为 v 时，在圆盘的厚度方向 上回产生感应电动势，从而在圆盘上形成正、负电荷的积累.由于，圆盘上的两个 盘面可以看作电容器的两极.上述在两个盘面之间的感应电动势可以看作是电容器两段所加 的电压.在圆盘下落过程中，速度 v 不断变化，引起电动势和积累电荷的变化，积累电荷的 变化意味着沿盘方向有电流.由于有磁场，此电流将使圆盘受到的竖直向上的安培力.这个安 培力就是使圆盘下落的加速度稍低于重力加速度的原因. 当圆盘在磁场区域内以速度 v 竖直下落时，由于在圆盘的厚度方向切割磁感线， 故在圆盘厚 度方向上产生的感应电动势为 感应电动势使圆盘两个盘面有电荷积累，图中前面的盘面应该带正电，设为 Q，则图中 背后的盘面应带电Q.由于圆盘的前、后盘面可看作一个平行班电容器（） ，电容为 因设圆盘的电阻为零，故上述感应电动势即为电容器两端的电压，于是圆盘盘面上积累 的电量为 圆盘竖直下落时 v 不断变化，导致 Q 随之改变，这相当于圆盘前、后盘面间有电流为 电流方向是从圆盘的后盘面流向前盘面.由于在磁场中， 上述电流 I 的出现， 使圆盘受到向上 的安培力 F，其大小为 圆盘竖直下落的加速度为 其中圆盘质量 m 为 由以上三式，得 即 按照题目要求 代入得. 4-18 法一：当 ab 和 cd 速度不同时，设回路中电流为 I，方向相反， ab 与 cd 动量守恒，损失能量转化为焦耳热 动量守恒： 能量守恒： 产生焦耳热：. 法二：牛顿第二定律 回路方程： 上式对时间求导： 代入得： 分离变量： 两边积分： 又初态，代入得： 最大焦耳热： 4-19 拉伸金属块，回路电阻 感应电动势 则感生电流大小. 4-20MN 之间电压差为电势降之和 依题，MN 之间感生电动势是总感生电动势的四分之一 总感生电动势大小 回路中电流 所求. 4-21 分别设、上的逆时针环形电流为、 （1）都位于纸面内时，只有中有磁通量变化： 解得. （2）转过 90时，与都位于纸面内时相同 （3）彻底折过去时，和内都有磁通量变化： 解得 4-22 依题， 不妨令线框一开始与磁场平行， 磁通量 求导得 感应电动势频率. 4-23（1）如图所示，当小球在管中任意位置 x 时，设该处的涡旋电场为 E， 则 故 式中 r 是小球在 x 位置时与 O的距离， 式中的负号表示 E 的方向如图所示， 即 E 与 B 的变化 构成左手螺旋. 因此，E 的 x 分量为 式中 是与的夹角.小球在 x 位置时，涡旋电场作用力的 x 分量为 式中 小球所受洛伦兹力及管作用力均无 x 分量，故小球在 x 方向的加速度为 已知小球沿管作简谐振动，即 由简谐运动规律，代入得 上式作为关于时间 t 的方程恒成立，故. （2）小球所受涡旋电场作用力的 y 分量为 其中用到几何关系 表示沿 y 轴正方向. 小球所受洛仑兹力沿 y 方向，无 x 分量，为 可见，即洛仑兹力沿 y 轴负方向 小球在 y 方向还受管的支持力，因三力平衡，故管对小球的支持力为， 于是，小球对管的作用力为. 4-24 法一： 选取曲线如图所示，cd 为半径为的圆弧，ad 过圆心，显然沿 ad 没有感应电场，沿 cd 电场处处大小相等设为 E，有 沿回路积分，有 代入得 法二：记圆心为 O，连接，.封闭回路中，与段无感生电动势， 则 . 4-25 由图中磁场方向及均匀减小，可知圆周上感应电动势方向为顺时针，大小为 三角形周边上的感应电动势方向也是顺时针，大小为 因对称性， 电路中电源、电阻的电流分布如下图所示，由基尔霍夫定律，有 已知，联立解出 故 A、B 两点电势差. 4-26 磁场变化产生感应电动势（负号代表逆时针方向） 圆环电阻阻值，感应电流电功率. 4-27 回路以逆时针指向纸外为正，则磁通 感应电动势 感应电流. F 以向右为正： 4-28 线框全部在磁场中时没有电流，第一个状态 ab、fc 上有感应电动势，第二个状态 ab 上 有感应电动势，然后离开磁场 注意 af、bc 段电阻为零 一条边在磁场外时，设左右两个环形电流、，有 解得 两条边在磁场外时，设左右两个环形电流、，有 解得 做功. 4-29 K 反向时，励磁电流反向，磁场反向，磁通量变化量大小为原来的两倍，方向相反. 利用磁生电的微元关系，导出磁通量变化量和迁移电量的关系，即可算出磁感应强度大小. 由定义， 可得 由题，其中 代入得. 4-30 这是一个带电源的 LC 电路 所以微分方程里会多出一个常数项，缩并后发现是每次减去一个常数项，做简谐振荡，半个 周期后将常数项加回来，取负号，再进行下一次操作 第 n 次回路方程为 令，有 已知初始时电荷反向最大，所以振幅为， 故. 4-31 左边回路稳定时，L 上有电流，迅速地切换 K，L 中电流不能突变，产生感应电动势. 右边回路初态电流为左边回路稳态电流， 利用基尔霍夫方程得到微分关系即可求得感应电动 势. 左边回路稳定时 右边回路中，由基尔霍夫 所以 显然最开始时感应电动势最大. 4-32 根据自感定义，单匝线圈磁通为. 4-33 4-34 补充条件： （1）刚闭合 K 时，L 相当于断路，所有的电压加在电压表上，此时电压表示数最大，足够 长时间后 LL 相当于短路，此时电流表示数最大. 电压表量程为 20V，最大电流 25A，易知改装后电表总电阻 远大于 R，所以刚闭合时电压表示数最大为电源电动势为 12V. 足够长时间后 L 相当于短路，电流 （2）断开时电流不变，此时电压表上电压最大，. 断开 K 时，L 上电流不能突变，所以此时流过电压表电流最大，电压最大，发现远超电压表 量程，所以接电感的时候一定要小心电子器件烧毁. （3）同答案. 4-35 两个扬声器都能使阻抗匹配，利用输入等效电路原理，两者的等效阻抗相等 由题 解得. 4-36 设原线圈电路电流为，副线圈电路电流为，由理想变压器性质 由题 整理得 4-37（1）一般来讲，用户的用电器都是并联的，所以这 88 盏灯当并联处理. 要求灯正常发光，所以算出额定电流，然后能得到每个回路上的电流. 灯的额定电压为 220V，额定功率为 25W，所以额定电流 所以用户线路上电流 设输电线右侧电压为 U2，左侧电压为 U2 ，线路电阻为 R，由理想变压器 中间回路中，其中 同理 左边回路中 代入可得 （2）直接接入，设可以接入 n 个电灯，回路中电流 同时 代入解得. 4-38（1）如图，由输入等效电路原理 当 R=r 时，电池输出功率最大，即 R 上功率最大，此时 同时有，有 （2）原线圈上的电压； 副线圈上的电压 （3）变压比为. 4-39（1）由题，安培力等于阻力 （2）代入， （3）单位时间克服阻力做功 单位时间电路中消耗 （4）匀加速运动时，设导体棒和磁场加速度为 a ，t 时刻 解得. 4-40 磁通量变化产生感应电动势（静磁场无旋 Bx 和 By 有关联） ，产生感应电流，同时产生 自感电动势；重力和安培力的合力提供加速度. 取一小圆柱，由磁场高斯定理得： 磁通量变化，圆环中产生感应电动势 回路中 同时积分，初始时圆环中没有电流 ， 圆环受重力和安培力 得 由初始时圆环内无电流，只受重力，得 ，其中 代入得到 4-41 最大速度时，感应电动势等于电容电压，回路中没有电流 电磁枪的效率为导体棒动能除以充到电容上的电能， 电容中电能部分转化为热能耗散以及导 体棒动能，还有部分残余. 开关闭合向 2 时，回路中 对导体棒做受力分析 两边同时积分，由初始速度为零得到 速度最大时，回路中没有电流，带回得到 求得最大速度 电磁枪效率 当时， 有最大值 能量分配同答案. 4-42 由题，有一个回路，金属棒自由度为 1，所以有一个运动方程. 由于我们希望求得金属杆到达角度的极大值，不需要列微分方程，只需要用能量守恒方程. 回路中 同时积分，初始时没有电流 由末态能量守恒 代入得 其中一个解 =0 为初态，而 不为 0，有 根据三角函数法则化为. 4-43 由于变化率为常数，且开始时电流为 0，所以易求 C2 回路中有和 C1 的互感电动