2015年深圳市高中数学教师技能大赛总决赛(含答案).pdf

第 1 页（共 3 页） 2015 年深圳市高中数年深圳市高中数学学教教师师技能大赛总决赛技能大赛总决赛 （数学素养与教学片断创意设计） 时间：90 分钟，满分：100 分 片断片断一一（满分（满分 3030 分分） 在人教 A 版数学 22.2.2 节中，教材结合长方体模型，通过探究以下两个问题： （1）平面内有一条直线与平面平行，平行吗？ （2）平面内有两条直线与平面平行，平行吗？ 引导学生合情推理，从感性上解决如何选择两条直线的问题，从而确认、归纳出判定平面与平面平 行的定理 （）请你分别用文字和符号两种方式描述“平面与平面平行的判定定理” ； （）简述教材上述处理方法的理论依据； （）缺少了严谨证明，也就少了些许“几何味” ，为了给学生解惑，请你提供该定理的证明 学校 姓名 第 2 页（共 3 页） 片断片断二（满分二（满分 30 分）分） 我们知道，如果 n k kn aS 1 ，那么 .2, ,1, 1 1 kSS kS a kk k 反之， 如果 .2, ,1, 1 1 kSS kS a kk k 那么 n n k kk n k k SSSSa 2 11 1 )(后者常称为求数列前n项和的“差分法” （或裂项法） （）请你用差分法证明： 2 11 3 n k n k kk，其中 2 ) 1( 1 nn k n k ； （）差分法显然可以类比到一类不等式的证明，请你写出该类比结论； （）证明： n k n k k n k 11 1 )1ln( 1 1 第 3 页（共 3 页） 片断片断三三（满分（满分 40 分）分） 为了研究点，直线和圆的位置关系，同学甲利用绘图软件在平面直角坐标系中，分别画出了点 ),( 00 yxM，直线l： 2 00 ryyxx和圆C： 222 ryx当该同学将点M从圆外移动到圆 上和圆内时，他惊奇的发现直线l从与圆C相交变成了相切和相离，而且该直线与圆心O的距离也 越来越大 （）请你用尺规作图法分别在图（1）图（3）中画出直线l； （）对于图（1）中直线l的相对位置，请你给出证明； （）请阐明图（3）中直线l的相对位置（不必证明） ； （）同学乙进一步追问：如果研究的是点，直线和椭圆的位置 关系，是否有类似的结论呢？请你给乙同学一个满意的回答 M x y O M x y O M x y O 图（1） 图（2） 图（3） 第 4 页（共 3 页） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 片断片断 1： （）文字描述：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行5 分 符号描述：a，b，Pba，/a，/b/ 10 分 （）依据 1：符合“从特殊到一般、从个别到全体；从感性到理性、从具体到抽象” 的人的认知规律；15 分 依据 2：符合国家数学课程标准 （实验）中“通过直观感知、操作确认，归纳出” 该判定定理的要求20 分 （）解惑 1： （反证法）假设与不平行，则与必相交， 不妨设c（如图） ， 25 分 又因为a，/a，所以ca/，同理cb/ 由平行公理得ba/，这与已知Pba矛盾， 所以/30 分 解惑 2： （向量法）设直线a，b的方向向量分别为 m，n，平面，的法向量分别为u，v 因为/a，/b，所以um ，un ，从而0um，0un25 分 又因为a，b且Pba， 所以内任一直线的方向向量p可以表示为nymxp，Ryx , 从而0)(unyumxnymxupu， 即平面的法向量与平面内的任一直线垂直， 所以平面，的法向量平行，即vu/，因此/30 分 片断片断 2： （）证明：因为 3 2 1 2 21 ， 322 2 22 ) 1() 1( 42 ) 1( 2 ) 1( kkk kkkkk ，Nk，2k，5 分 所以 n k n k kk 2 33 1 3 1 n k kkkk 2 222 2 ) 1( 2 ) 1( 2 21 2 2 ) 1( nn 又 2 ) 1( 1 nn k n k ，所以 2 11 3 n k n k kk10 分 （）类比结论 1：如果 .2, ,1, 1 1 kSS kS a kk k 那么 n n k kk n k k SSSSa 2 11 1 )(20 分 类比结论 2：如果 .2, ,1, 1 1 kSS kS a kk k 那么 n n k kk n k k SSSSa 2 11 1 )(20 分 a b P c 第 5 页（共 3 页） （）证明：先证明 kk kk k k k 1 ) 1 1ln(ln)1ln( 1 1 1 1 1 ，Nk，2k如下： 令xxxf)1ln()(， x x xxg 1 )1ln()(，其中1x， 则 x x x xf 1 1 1 1 )(， 22 )1 ()1 ( 1 1 1 )( x x xx xg 当01x时，0)( x f，)(xf单调递增；0)( x g，)(xg单调递减 当0x时，0)( x f，)(xf单调递减；0)( x g，)(xg单调递增 又0)0(f，0)0(g，所以0x时，0)(xf，0)(xg，即xx x x )1ln( 1 取0 1 k x，Nk，2k，得 kk k k 1 ) 1 1ln( 1 1 1 所以 k kk k 1 ln)1ln( 1 1 ，Nk，2k 25 分 显然 1 1 eln) 11ln(eln 11 1 由， n k n k n k nkk kk 221 )1ln(ln)1ln() 11ln( 1 1 11 1 1 1 ， n k n k n k nkk kk 221 )1ln(ln)1ln() 11ln( 1 1 11 所以， n k n k k n k 11 1 )1ln( 1 1 30 分 片断片断 3： （）直线l的位置及尺规作图痕迹如图所示： 4 分 7 分 10 分 （）当点),( 00 yxM位于圆C： 222 ryx外部时，直线l： 2 00 ryyxx与圆C相交， 且OMl ，半径r是圆心O到直线l的距离与|OM的等比中项 图（1） M x y O l 图（2） M x y O l 图（3） M x y O l 第 6 页（共 3 页） 证明如下： （法 1）因为点),( 00 yxM位于圆C： 222 ryx外部，所以 22 0 2 0 ryx 从而，圆心O到直线l的距离r r r yx r 2 2 2 0 2 0 2 ，直线l与圆C相交 15 分 又),( 00 yxOM 为直线l的法向量，所以OMl 22 0 2 0 2 0 2 0 2 ryx yx r ， 所以半径r是圆心O到直线l的距离与|OM的等比中项 20 分 （法 2）因为点M位于圆C外部，所以过点M且与圆C相切的直线有两条， 设切点分别为),( 11 yxA，),( 22 yxB， 则切线MA： 2 11 ryyxx，切线MB： 2 22 ryyxx 因为MA，MB均过点),( 00 yxM，所以 . , 2 2020 2 1010 ryyxx ryyxx 上式表明),( 11 yxA，),( 22 yxB两点的坐标满足方程 2 00 ryyxx 又经过两点的直线存在且唯一，所以直线AB的方程即为 2 00 ryyxx， 直线l： 2 00 ryyxx即直线AB 15 分 由平几知直线l： 2 00 ryyxx与圆C相交， 又由切线长定理、垂径定理和射影定理知OMl ，且半径r是圆心O 到直线l的距离与 |OM的等比中项 20 分 （）当点),( 00 yxM位于圆C： 222 ryx内部时， 直线l： 2 00 ryyxx与圆C相离， 23 分 且OMl ， 26 分 半径r是圆心O到直线l的距离与|OM的等比中项 30 分 （）当点),( 00 yxM位于椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x 外部时， 直线l：1 2 0 2 0 b yy a xx 与椭圆C相交， 设两交点分别为A，B，则直线MA，MB分别与椭圆C相切于点A，B34