2015春第十三届学而思杯五升六答案版.pdf

绝密绝密启用前启用前 2015第十三届学而思综合素质测评第十三届学而思综合素质测评数学数学五升六五升六 考试时间：90 分钟 考试科目：数学 总 分：120 分 一、一、 填空题（每题填空题（每题 5 分，共分，共 80 分）分） （1）计算：计算：401 31 402 31 403 31 404 31 405 31=_.+ 【答案【答案】65 【对应讲次】【对应讲次】五年级春季第一讲五年级春季第一讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：除法运算 403 531 65 原式=（） = （2）用用 a表示表示a的小数部分，例如：的小数部分，例如：1.990.99=；记记( ) 2 21 x f x x + = + ，例如：，例如： ( ) 224 2 2 2 15 f + = + ，求，求 1 =_. 2 f （答案写成小数形式）（答案写成小数形式） 【答案】【答案】0.25 【对应讲次】【对应讲次】五年级春季第一讲五年级春季第一讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：定义新运算 15 2 1515 22 0.25 1 22424 21 2 = ，=ff + = + （3）实验室里有两只钟）实验室里有两只钟 A 和和 B，每只钟一圈都有，每只钟一圈都有 12 个格（格线上依次标着个格（格线上依次标着 112） ，而且都） ，而且都 只有一个指针，都是每分钟跳一次，只有一个指针，都是每分钟跳一次，A 钟指针每跳一次跳钟指针每跳一次跳 2 个格（例如从个格（例如从 4 跳到跳到 6） 。） 。B 钟钟 指针每跳一次跳指针每跳一次跳 3 个格。开始时两钟都指向个格。开始时两钟都指向 12，问至少再过，问至少再过_分钟，两只钟又同时指分钟，两只钟又同时指 向向 12. 【答案【答案】12 【对应讲次】五年级春季第二讲【对应讲次】五年级春季第二讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：最小公倍数 A 钟跳一圈需要 122=6 分钟，B 钟跳一圈需要 123=4 分钟，则至少再过6, 4=12 分钟，两只钟又同时指向 12. 第 1 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 （4）一个同学把他的生日的月份乘以）一个同学把他的生日的月份乘以 20，日期乘以，日期乘以 9，然后加起来和数是，然后加起来和数是 170，他是生日，他是生日 是是_.（填几月几日）（填几月几日） 【答案【答案】4 月月 10 日日 【对应讲次】五年级秋季第十二讲【对应讲次】五年级秋季第十二讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：不定方程 设这个同学的生日是x月y日，根据题意列方程得20 9170xy+= ，显然y是 10 的 倍数，易得 10y = ，方程的解为 4 10 x y = = ，所以这个同学生日是 4 月 10 日. （5）若甲，乙两人工作时间的比为）若甲，乙两人工作时间的比为 2:3，工作效率的比为，工作效率的比为 9:5，那么甲完成的工作量与乙完，那么甲完成的工作量与乙完 成的工作量的最简正整数比为成的工作量的最简正整数比为_. 【答案【答案】6:5 【对应讲次】五年级暑假第八讲【对应讲次】五年级暑假第八讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：工程问题，比 工作总量=工作效率工作时间，甲完成的工作量与乙完成的工作量的最简正整数 比为（29） ： （35）=6:5. （6） 蟹堡王餐厅的汉堡， 若每个卖） 蟹堡王餐厅的汉堡， 若每个卖 15 元， 则可赚成本的元， 则可赚成本的 50%； 若每个卖； 若每个卖 13 元， 则可赚元， 则可赚_ 元元. 【答案【答案】3 【对应讲次】预初衔接【对应讲次】预初衔接 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：经济问题 法一：每个汉堡的成本价为 15(1+50)10 元，每个卖 13 元，可以赚 3 元. 法二：50= 1 2 ，设一个汉堡成本为 2 份，则 3 份对应 15 元，1 份为 5 元，成本是 10 元，每个卖 13 元可赚 3 元。 （7）如图所示的是奇瑞）如图所示的是奇瑞 QQ、奔驰、奔驰 E 级、奥迪级、奥迪 TT 三辆不同类型的汽车每百千米耗油量的三辆不同类型的汽车每百千米耗油量的 统计图。如果每辆车都有统计图。如果每辆车都有 30 升油，升油， 那么这三辆车共可行驶的路程总计是那么这三辆车共可行驶的路程总计是_千米千米. 【答案】【答案】1150 【对应讲次】预初衔接【对应讲次】预初衔接 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：统计初步 奇瑞 QQ：305 100 600= （千米） ；奔驰 E 级：30 12 100 250=（千米） ；奥迪 TT：3010 100 300= （千米） ，共计600 250 300 1150+=（千米）. （8）甲、乙两地相距）甲、乙两地相距 90 千米，快、慢两车都从甲开往乙，快车出发时，慢车已开出千米，快、慢两车都从甲开往乙，快车出发时，慢车已开出 30 千千 米；当快车到达乙地时，慢车距乙地还有米；当快车到达乙地时，慢车距乙地还有 30 千米，那么快车追上慢车时距乙地千米，那么快车追上慢车时距乙地_千米千米. 【答案【答案】45 15 12 奥迪TT奔驰E级奇瑞QQ （升/百千米） 10 5 0 第 2 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 【对应讲次】五年级秋季第十一讲【对应讲次】五年级秋季第十一讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：比例行程 相同时间下，快车开 90 千米，慢车开 903030=30（千米） ，3:1 慢快： =，SS 3:1 慢快： =vv， 一开始慢车领先 30 千米， 快车追上慢车时， 快车开30(3 1)345= （千米） ，距乙地还有 9045=45（千米）. （9）如图，在正方形中画一个最大的圆。已知正方形的边长是）如图，在正方形中画一个最大的圆。已知正方形的边长是 4 厘米，那么阴影部分的面厘米，那么阴影部分的面 积是积是_平方厘米平方厘米.（圆的面积公式：（圆的面积公式：S = 2 r， 取取 3.14） 【答案【答案】13.42 【对应讲次】预初衔接【对应讲次】预初衔接 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：圆与扇形，面积 如图，阴影部分面积A 部分（ 3 4 个半径为 2 厘米的圆）+B 部分（一个边长为 2 厘米的小正方形） ， 22 3 3.142213.42 4 +=（平方厘米）. （10）美食小队成员喜爱品尝美食，对于美食小队成员喜爱品尝美食，对于“中国十大名面条中国十大名面条”前三名：武汉热干面、北京炸前三名：武汉热干面、北京炸 酱面、山西刀削面，他们都至少吃过一种，但没有酱面、山西刀削面，他们都至少吃过一种，但没有人人全部全部都都吃过。已知吃过武汉热干面却吃过。已知吃过武汉热干面却 没有吃过北京炸酱面的有没有吃过北京炸酱面的有 6 人，吃过北京炸酱面却没有吃过山西刀削面的有人，吃过北京炸酱面却没有吃过山西刀削面的有 3 人，吃过山人，吃过山 西刀削面却西刀削面却没有吃过武汉热干面的有没有吃过武汉热干面的有 4 人，问这个美食小队共人，问这个美食小队共_人人. 【答案【答案】13 【对应讲次】【对应讲次】五年级寒假第六讲五年级寒假第六讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：容斥原理 如图（三元韦恩图） ，红色部分代表吃过武汉热干面却没有吃过北京炸酱面的人， 黄色部分代表吃过北京炸酱面却没有吃过山西刀削面的人， 绿色部分代表吃过山西 刀削面却没有吃过武汉热干面的人。因为没人全部吃过，即中间部分人数为 0，所 以总人数为 634=13（人）. 4 3 6 山西刀削面山西刀削面 北京炸酱面北京炸酱面 武汉热干面武汉热干面 0 第 3 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 （11）如图，马从点如图，马从点 A 按按“马走日马走日”到到 B，至少走，至少走_步，如此步数有步，如此步数有_种走法种走法. 【答案【答案】4 ，8 【对应讲次】【对应讲次】五年级寒假第六讲五年级寒假第六讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：有序枚举/乘法原理 易知最少需要 4 步。 法一： （乘法原理）如图，第一步只能从 A 走到“ ”处，有两种走法，第四步只能 从“”处到 B 处，有两种走法，第二、三步从一个“ ”到一个“”处，有两种走 法。共 222=8（种）. 法二： （有序枚举） （12）两个自然数）两个自然数p和和q，其个位数均不为零。如果，其个位数均不为零。如果p和和q的乘积是若干个的乘积是若干个10连乘的积（即连乘的积（即 是是10，100，1000，10000，） ，且） ，且p q ，那么，那么p与与q差的个位数字有差的个位数字有_种可能种可能. 【答案【答案】4 【对应讲次】五年级春季第二讲【对应讲次】五年级春季第二讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：尾数整除 p和q的乘积是若干个 10 连乘的积 25 xx pq= 又p和q的个位数均不为零，且pq 5 ,2 xx pq= p的个位数字只能为 5，q的个位数字可能为 2,4,8,6，p与q差的个位数字可能 为 3,1,7,9，共 4 种可能. B A A B B A B A B A B A A B A B A B A B 第 4 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 （13）如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，、EF分别为分别为、ABBC中点，已知中点，已知ADE的面积为的面积为 5，DFC 的面积为的面积为 12，则，则DEF的面积是的面积是_. 【答案【答案】11 【对应讲次】【对应讲次】五年级寒假第五讲五年级寒假第五讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：等积变形 如图，联结 AF、BD E、F 分别为 AB、BC 中点 SBFD=SCFD=12，SBED=SAED=5 S四边形EBFD=51217 又 SBEF= 1 2 SABF= 1 2 SBFD=6 SDEF= 17611. （14）密码学是一门很神秘、很有趣的学问。在密码学中，直接可以看到的信息称为明码，）密码学是一门很神秘、很有趣的学问。在密码学中，直接可以看到的信息称为明码， 加密后的信息称为密码。对于很多专业的密码，我们只要找到明码与密码的对应关系加密后的信息称为密码。对于很多专业的密码，我们只要找到明码与密码的对应关系 秘钥，就可以破译它们。为了保证新一届学而思杯秘钥，就可以破译它们。为了保证新一届学而思杯（上海地区称为上海地区称为综合测评）综合测评）的保密工作的保密工作 顺利进行，学而思的数学老师们制作了一种秘钥的编制程序。他们先设计了一个顺利进行，学而思的数学老师们制作了一种秘钥的编制程序。他们先设计了一个“字母字母 明码对照表明码对照表”： 字母字母 A B C D E F G H I J K L M 明码明码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 明码明码 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （例如）秘钥为（例如）秘钥为“密码比明码的密码比明码的 2 倍多倍多 1”，则将，则将“学学”、“而而”、“思思”、“杯杯”四四字进行加密转换字进行加密转换 后算出下表：后算出下表： 汉字汉字 学学 而而 思思 杯杯 拼音拼音 X U E E R S I 明码明码 23 20 4 4 17 18 8 秘钥秘钥 2 倍多倍多 1 密码密码 47 41 09 09 35 37 17 注：如表中的注：如表中的 X，明码为，明码为 23，根据秘钥，根据秘钥“2 倍多倍多 1”，密码为，密码为 232147；E，明码为，明码为 4， 密码为密码为 4219，保留两位为，保留两位为 09，其他字母同理可计算出相应的密码。，其他字母同理可计算出相应的密码。 所以所以“学学”经加密转换后的结果为经加密转换后的结果为“474109”、“而而”经加密转换后的结果为经加密转换后的结果为“0935” 、“思思” 经加密转换后的结果为经加密转换后的结果为“3717”。则则“杯杯”经加密转换后的结果为经加密转换后的结果为“_”. 【答案【答案】030917 12 5 F E D CB A 12 5 F E D CB A 第 5 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 【对应讲次】【对应讲次】五年级春季第三讲五年级春季第三讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：智巧趣题 汉字 杯 拼音 B E I 明码 1 4 8 秘钥 2 倍多 1 密码 03 09 17 杯，拼音：BEI。B，明码为 1，根据秘钥“2 倍多 1”，密码为 1213，保留两 位为 03；E，明码为 4，密码为 4219，保留两位为 09；I，明码为 8，根据秘 钥“2 倍多 1”，密码为 82117。“杯”经加密转换后的结果为“030917”. （15）某部落有好人和坏人这两类人某部落有好人和坏人这两类人，且且好人永远说真话好人永远说真话，坏人永远说假话坏人永远说假话，每，每人都知道人都知道 其他人其他人分别是什么类型。在今天的一次聚会上，每分别是什么类型。在今天的一次聚会上，每人人都要说出其他都要说出其他人人分别是什么类型，全分别是什么类型，全 部部人人总共说了总共说了 60 次次“坏人坏人”。在昨天一次相同的聚会上，有一。在昨天一次相同的聚会上，有一人缺席，使得所有人人缺席，使得所有人总共说了总共说了 48 次次“坏人坏人”。则参加今天聚会的。则参加今天聚会的坏人坏人有有_名名. 【答案【答案】5 或或 6 【对应讲次】【对应讲次】四年级寒假第七讲四年级寒假第七讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：逻辑推理 设在参加今天聚会的人中， 坏人有m人， 好人有n人， 则每个坏人会说n次“坏人”， 共mn次， 每个好人会说m次“坏人”， 共mn次， 今天共说260,mn = 30则mn =。 昨天有一人缺席，分两类情况讨论： 若缺席者是坏人，则2(1)48, (1)24mnmn= ， 根据 30 (1)24 mn mn = = ，解得 5 6 m n = = 若缺席者是好人，则2 (1)48,(1)24m nm n= ， 根据 30 (1)24 mn m n = = ，解得 6 5 m n = = 综上，参加今天聚会的坏人有 5 或 6 名. （16）如图，如图，除法算式除法算式的的商是一个商是一个纯纯循环小数，循环小数，且被除数和除数互质，且被除数和除数互质，则被除数是则被除数是_. 【答案】【答案】14 【对应讲次】【对应讲次】五年级暑假第六讲五年级暑假第六讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：数字谜，循环小数化分数 第 6 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 设商为 3 3 0.3999 337 999 两位数被除数， = 两位数除数 A B A B = ，999 的两位数约数仅有 27 和 37，则3A B是 27 的倍数或 37 的倍数（且至少 10 倍） 。 若3A B是 27 的倍数： 27的10倍开始的三位数依次是270,297,324,351,378,405,432,459,486,513,540,567, 594,621,648,675,702,729,756,783,810,837,864,891,918,945,972,999 符合十位数字为 7 的有 270,378,675 和 972 这 4 个， 270103781467525 97236 99937 99937 99937 99937 ，= 037=0，不符；837=296，符合；537=185，不符；237=74，不符. 若3A B是 37 的倍数： 37的10倍开始的三位数依次是370,407,444,481,518,555,592,629,666,703,740,777, 814,851,888,925,962,999 符合十位数字为 7 的有 370,777 这 2 个， 037=0，不符； 7777 0.7 9999 = ，不符 综上，被除数只能是 14. 二、二、 解答题解答题（每题（每题 10 分，共分，共 40 分）分） （17）若若n位数（位数（n2）的各数位中至多含有两个不同的数码，则称为）的各数位中至多含有两个不同的数码，则称为“好运好运n位数位数”。 1.求求 “好运两好运两位数位数”（如（如 55、10）共有）共有几几个个？ 2.求求 “好运三好运三位数位数”（如（如 555、110 和和 313）共有几个？）共有几个？ 【答案】【答案】90，252 【对应讲次】【对应讲次】五年级寒假第六讲五年级寒假第六讲 【难度系数】【难度系数】, 【分析】 考点：计数原理，排列组合 1. 只要是两位数， 至多含有两个不同的数码， 所以所有两位数均为“好运两位数”， 共 90 个. 2. 法一： （排除法）三位数共 900 个，其中只有三个数码均不同的三位数不是“好 运三位数”，共9 9 8648 =（个） ，所以“好运三位数”共900648252=（个） ； 法二： （正面分类）“好运三位数”至多含有两个不同数码： （1）仅含有一个数码，从 111 到 999，共 9 个； （2）含有两个数码 含 0 和另一个数字，选数字共 9 种，不妨设选了 0 和 1： （A）含有 2 个 0，1 个 1，仅 100 这 1 个； （B）含有 1 个 0，2 个 1，有 110,101 这 2 个； 共9 (12)27+=（个） 不含 0，选数字共 2 9 36=C种，采用排除法，每一位都有 2 种选法，根据乘法 原理， 共 3 28=（个） ， 但要减去仅用一个数字的两个数， 可以组成826=（个） 共36 6216=（个） 综上，“好运三位数”共927216252+=（个）. 第 7 页 共 9 页 2015第十三届学而思综合素质测评数学五升六 （18）有一个足够深的水槽，底面是长为有一个足够深的水槽，底面是长为 20 厘米，宽为厘米，宽为 16 厘米的长方形，原本在水槽里厘米的长方形，原本在水槽里 盛有盛有 10 厘米深的水和厘米深的水和 10 厘米深的油（油在水的上方） ，如果在水槽中放入一个长、宽、高厘米深的油（油在水的上方） ，如果在水槽中放入一个长、宽、高 分别为分别为 8 厘米、厘米、8 厘米、厘米、20 厘米的铁块厘米的铁块 。 （8 厘米厘米8 厘米厘米的面与水槽底面的面与水槽底面接触）接触） 问：问： 1.放入铁块之后，放入铁块之后，水层的层高是多少厘米？水层的层高是多少厘米？ 2.放入铁块之后，放入铁块之后，油层的层高是油层的层高是多少多少厘米厘米？ 【答案】【答案】12.5，11.5 【对应讲次】【对应讲次】五年级暑假第十四讲五年级暑假第十四讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：立体图形 1.铁块放入后， 水层底面积呈“回”字形， 底面积为20 168 8256 =（平方厘米） ， 水层的体积不变， 为20 16 10 3200=（立方厘米） ， 水层后来的高为3200256 12.5= （厘米） 。 2.法一：20 厘米高的铁块有 12.5 厘米在水层，另 7.5 厘米在油层，导致油层被占用 体积8 87.5 480= （立方厘米） ，高会上升48020 16 1.5()=（厘米） ，则油层的 高是 10+1.5=11.5（厘米）. 法二： 放入铁块后， 总体积增加到20 16(1010)8 820 7680=+ （立方厘米） ， 总高为7680(20 16) 24=（厘米） ，油层高 2412.5=11.5（厘米）. （19）对于）对于非零非零自然数自然数 n，规定，规定1 2！nn= 。则乘积。则乘积3!4! 5! 6!的所的所有因有因数中，是数中，是 完全平方数的共有完全平方数的共有几几个个？ 【答案【答案】36 【对应讲次】【对应讲次】五年级春季第二讲五年级春季第二讲 【难度系数】【难度系数】 【分析】 考点：分解质因数，完全平方数 1152 3! 4! 5! 6! =3 2 14 3 2 15 4 3 2 16 5 4 3 2 1 =3 2 2 2 3 2 5 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3 2 =235 （） （） （） （） 作为其因数，则质因数 2、3、5 的指数须分别小于或等于 11、5、2； 作为完全平方数，则质因数 2、3、5 的指数须为偶数： 2 的指数有 0,2,4,6