基本物理量的测量与误差分析.docx

实验1：基本物理量的测量与误差分析土卓1401 邱宏浩 U201415471 摘要：本实验由几个基本实验组成，注重培养学生在物理实验的基础知识、基本方法和基本技能等方面的科学素质。单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家，例如伽利略、牛顿等，都对单摆实验进行过细致地研究。关键词：单摆 扭摆 转动惯量 误差分析一、引言【实验背景】本实验由几个基本实验组成，注重培养学生在物理实验的基础知识、基本方法和基本技能等方面的科学素质。单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家，例如伽利略、牛顿等，都对单摆实验进行过细致地研究。转动惯量时刚体转动时惯性的量度，与刚体的质量、转轴的位置及质量分布有关，且形状复杂、质量分布不均匀的刚体的转动惯量通常很难直接计算，需要用实验方法测定，本实验中会采用扭摆法测量物体的转动惯量以及切变模量，切变模量是剪切应力与应变的比值，是材料的力学性能指标之一。【实验目的】1、学会几种常用测量仪器的正确使用方法。2、学会并掌握误差均分原理及其应用。3、学会不确定度法分析评估实验结果。4、研究单摆的运动规律，测量本地的重力加速度。5、研究扭摆的运动，测量转动惯量和切变模量。【实验原理】（一）误差均分原理设间接测量量值为y，它是由n个互不相关的直接测量x1 x2 x3 xn通过函数关系f得到y=fx1,x2,xn得到，则直接测量的标准不确定度和相对标准不确定度的传递公式为：U2y=i=1nfxi2uc2(xi)Ur2y=i=1nlnfxi2uc2(xi)在单摆实验中为要求Ury1%，由误差均分原理，摆长误差:UL0.35mm，周期误差：UT0.005s，为满足周期误差范围至少要测量40个周期的时间。（二）单摆如图（1），理想单摆时一根长度为l、没有质量和弹性的柔软细线，下端系有一个没有体积、质量为m的质点，在与地面垂直的平面内绕支点o作摆角q趋于0的自由振动。 其摆动周期T为：T=2(l/g)1/2 而实际的单摆悬线有质量、弹性，摆球是有质量有体积的刚性小球，摆角不为零，受空气浮力影响，其周期公式为：T=2lg1+d220l2-ml12m1+d2l+mlm+02+216式中，T是摆动周期，g是重力加速度，l、mL是单摆摆线长度及质量，d、m、是摆球的直径，质量和密度，0为空气密度，是摆角。 实验时，选择一根长度为l的柔软细线与直径为d的小球构成单摆，不计空气浮力的影响，使小球在竖直平面内作小角度（不大于5）摆动，则摆动周期为T=2l+d/2g得出公式： g=2T2(l+d/2)（三）扭摆 将一细金属丝（钢丝）的上端固定，下端联结一转动惯量为I的物体，以金属丝为轴将物体扭转一小角度后松开，物体将在钢丝弹性扭转力矩M的作用下作周期性的自由摆动。若钢丝在扭转摆动中的角位移以F表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量是I0，根据转动定律则有：M=-KF=I0d2Fdt2其扭动周期满足：T0=2I0K在测量钢丝扭转系数K和摆动物体绕轴的转动惯量I0的试验中，分别测量转动系统本身绕轴摆动的周期T0，再将一个内外直径，高度，质量已知的圆环水平放在爪手上，测得转动周期T1，则可得：T12-T02=42KI1又K=GR4/2L，则：G=2KLR4由理论推导，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量I1为：I1=Mb2+c28若使圆环绕竖直方向摆动，则其转动惯量I1为：I1=M(b2+c216+d212)其中，b为圆环内直径，c为圆环外直径，d为圆环高度，M为圆环质量。（四）转动惯量的平行轴定理： 理论分析证明，若质量为M的物体绕质心轴的转动惯量为I0，若轴平行移动距离为x时，则物体对新轴的转动惯量为：I=I0+Mx2二、实验过程【实验内容】1、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测量结果是否满足精度要求。（1）按照要求设定摆长为50cm；（2）用米尺和千分尺分别测量单摆的摆长和摆球的直径各5次；（3）搭建单摆，用秒表测量50个周期的时间，重复5次；（4）计算测量结果，写出结果表达式；（5）检验测量结果是否满足Urg1%。2、验证单摆摆长与振动周期平方成正比关系。（1）依次设置摆长为50、55、60、65、70、75、80cm，用秒表测量单摆摆动50个周期的对应时间，记录数据；（2）分别作摆长与摆动周期、摆长与摆动周期平方关系图。3、测量钢丝的扭转系数及系统本身绕对称轴的转动惯量（圆环绕对称轴的转动惯量已知）。（1）反别用电子天平和游标卡尺测量圆环的质量和内、外直径各5次，记录数据；（2）搭建单线扭摆，用智能计时仪器测量系统本身绕钢丝转动的5个周期，重复5次；（3）测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的5个周期，重复5次；（4）计算钢丝的扭转系数及转动系统本身的转动惯量I0；（5）计算K和I0的不确定度，写出结果表达式。4、用扭摆法测量钢丝或铜丝的切变模量G。（1）用米尺测量摆线的有效长度1次；（2）用千分尺测量不同处的直径5次；（3）用游标卡尺测量圆环内、外直径和高度各1次；（4）用电子天平称量圆环的质量1次；（5）搭建单线扭摆，分别将圆环以水平和垂直两种状态放置在爪手上，用智能计时仪测量扭摆摆动5个周期的时间5次；（6）计算钢丝或铜丝的切变模量G和不确定度，写出结果表达式。【实验方法和技术】1、单摆法测量当地重力加速度： 选择长度为l的柔软细绳与直径为d的小球构成单摆，不计空气浮力的影响，使小球在竖直平面内作小角度（不大于5）摆动，粗测量重力加速度；2、对于数据的测量： 反复多次取平均值。【实验结果的分析和结论】1、单摆法测量重力加速度（摆角小于5）：表1.1 单摆数据摆球直径（mm）摆长（cm）单摆50个周期（s）120.00550.1071.66220.00550.0871.34320.00350.0771.46420.00350.0871.47520.00250.1071.56平均值20.003650.08671.498U(y)0.000001m0.0002m0.03s平均周期：T=1.42996s；平均摆长：l=0.500086m；摆球直径平均值：d=0.0200036m；g=2T2l+d2=9.846m/s2Ug=(gT)2UT2+(gl)2Ul2+(gd)2Ud2=82l+d2T32Ug2+(2T)4Ug2+14(2T)4Ug2=0.001m/s2测量结果为：g=9.8460.001m/s2测量结果相较武汉本地的重力加速度(9.79 m/s2)偏大，造成误差的可能原因有：（1）测量误差，对摆长、小球直径等的测量误差；（2）在单摆实验中，摆线悬挂点不稳定，影响单摆周期的测量；（3）计算为忽略空气阻尼、摆线弹性以及小球形状不规则的结果。2、验证单摆摆长与振动周期平方成正比的关系：表1.2 摆长与周期数据记录摆长（cm）50个周期（s）周期（s）周期的平方（s2）5071.4414.29204.155574.5614.91222.376078.1615.63244.366581.4316.29265.237084.3116.86284.337587.1517.43303.808090.0018.00324.00作摆长与摆动周期以及摆长与周期平方的图像如下：图1.1 摆长周期图由图以及线性回归分析可知摆长与摆动周期的线性相关性很差；图1.2摆长周期平方图由图以及线性回归分析可知摆长与时间平方的线性相关性很好，且过原点，即摆长与周期的平方成正比，由线性拟合的信息可知直线斜率为0.2466。3、测量钢丝的扭转系数及系统本身绕对称轴的转动惯量：表1.3 圆环的基本参数数据记录次数12345平均U(y)质量(g)854.5854.6854.5854.5854.6854.540.05内径(cm)8.0008.0027.9968.0008.0028.0000.002外径(cm)11.01011.01211.01011.00811.01011.0100.001表1.4 绕钢丝转动的5个周期系统本身转动5个周期时间(s)水平放置圆环转动5个周期时间(s)135.6290.09235.7590.18336.2091.12435.8489.78535.5790.23平均35.8090.28周期7.1618.06U(y)0.040.09转动惯量以及不确定度的计算： T0=7.16s T1=18.06s T02=42KI0 T12=42K(I0+I1) T12-T02=42KI1 I1=Mb2+c28=0.8540482+11.012810-4 kgm2=1.97710-3 kgm2 K=42I1T12-T02=2.8410-4 kgm2s-2 I0=T02K42=3.6810-4 kgm2 UI1=(b2+c28)2UM2+(2Mb8)2Ub2+(2Mc8)2Uc2=0.0001kgm2 UK=(42T12-T02)2UI12+2T142I1(T12-T02)22UT12+2T042I1(T12-T02)22UT02=0.00001 kgm2s-2 UI0=(T0242)2UK2+(2T0K42)2UT02=0.00002kgm2 结果表达式： K=(2.80.1)10-4kgm2s-2 I0=(3.70.2)10-4 kgm25、用扭摆法测量钢丝或铜丝的切边模量：表1.5 圆环参数数据记录摆线长（cm）摆线直径(mm)圆环内径(mm)圆环外径(mm)圆环高度(mm)圆环质量(g)147.110.38880.00110.1014.10854.720.39030.39340.39650.393平均47.110.392U(y)0.010.0030.010.010.010.1表1.6 圆环不同放置转动周期水平放置时5个周期时间(s)竖直放置时5个周期时间(s)161.5245.50261.0545.58361.2845.65461.3745.68561.2045.80平均61.2845.64周期12.269.13U(y)0.030.02 计算：圆环水平放置时周期：T1=12.26s圆环垂直放置时周期：T2=9.13s圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量：I1=Mb2+c28=1.97710-3 kgm2圆环垂直摆动时转动惯量：I2=Mb2+c216+d212=1.00310-3 kgm2T12-T02=42KI1 T22-T02=42KI2 T12-T22=42K(I1-I2) K=42(I1-I2)T12-T22 K=5.7510-4kgm2s-2 G=2KLR4=1.171011kgm-1s-2 UG=(2LR4)2UK2+(8KLR5)2UR2=0.21011kgm-1s-2 测量结果：G=(1.20.2)1011kgm-1s-2【实验遇到的问题及解决的方法】1、单摆实验时，摆长长度测量，由于绳有弹性，测量极不准确，应悬挂小球之后再进行摆长的测量；2、摆球不在同一平面内作小角度单摆运动，应在小球开始摆动后多等待一段时间，让小球尽量稳定在同一平面内；3、扭摆法测切变模量实验中，测量铜丝摆长不够准确，且在实验过程中为测量铜丝长度导致铜丝折断，更换至铁丝后，实验3、4中的K值不同且实验3中的I0无法继续在实验4中运算，必须重新测量，或 在计算过程中消去I0。三、实验小结【体会或收获】通过实验了解到了基础物理测量的复杂，简单的物理量要通过多次反复地测量以减小误差，对于测量的不确定度也要反复计算，细小的错误就足以对所要测量的物理量的结果产生巨大影响，数据处理以及不确定度的计算需要合理利用计算机excel等工具。