动作是智慧的根源

1 / 6 动作是智慧的根源 现代小学数学课堂教学的心理学依据 一、引言 近半个世纪以来，皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学，尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出：“ 动作是智慧的根源”，任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作，数学运算是一种广义的动作。 这些观念为数学课堂教学所采纳，目前小学数学普遍采取动手操作（或以直观方式演示有关操作）的方法。 然而，对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法，却缺乏深入的研究，许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面 我们知道数学运算是一种广义的动作；但它除了是一种动作之外，还存在哪些区别 于一般动作的规定性？同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧；但能否认为任意的动手操 作都有益于儿童智慧的发展？在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作？ 本文试图就以上问题作些探讨，以期引起更深入的研究，并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。 二、数学运算的内在规定性 1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中，2 / 6 也是正在采取行动与协调行动，不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了 ”这里“反省”与反身、反思是同义的。 皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识；另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识；后者带来数理逻辑知识。 实例一个儿童摆弄 10 个石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重 量”与“光滑度”是关于对象（石子）本身的知识。此外，儿童还有另一类动作，他将 10 个石子排列成不同的 形状，沿着不同的方向点数它们，其总数“ 10”总是不变的。这里，儿童将手指一一地（不重复也不遗漏）点 向 10 个石 子，是具体动作；从这种具体动作中认识到总数“ 10”总是不变，则是一种反思，是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种（可以从不同的石子开始，可以沿着不同的方向进行），但总数的 “ 10”却是恒定的。只有通过反思，体会到这种“恒定”，儿童才真正学会了计数。 这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作，但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子，我们也能训练一只小鸡 地啄石子，但小鸡不会了解“ 10”这个数，因为它没有 反思。 3 / 6 数学运算因其反身性 ，还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算”；乘方又是对乘法的“运算”。 2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动，即它能向一个方向进行，也能向相反的方向进行。”我们可 以把 1 和 2 相加得到 3；反过来， 也可以用 3 减 2 而还原为 1。任何一种运算，总有一个与之对应的逆运算。 学生用减法验算加法（或反过来用加法验算减法），用除法验算乘法（或反过来用乘法验算除法），就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合”（加或乘）的结果，我 们可以用“分”的动作（减或除）使其还 原到初始状态。 可逆性可以区分为两类，一类是反演可逆（ 1 2 3，反过来 3 2 1）；一类是互反可逆（ 6 比 2 多 4，反 过来 2 比 6 少 4）。 前者表现为相反的操作；后者表现为次序的逆向转换。 3.结合性 运算“是可以绕道迂回的，通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中，结合性体现在两个方面。 其一，体现在运算定律方面： 3 4 4 3（加法的交换律）； 3 （ 4 5） 3 4 3 5（乘法的分配律 ）。4 / 6 这里，每个等式两边是不同途径的运算，但其运算结果却是恒等的；其二，体现在问题解决的一题多解方 面。 问题：男生和女生共植树 450 棵，已知每个同学植树 5 棵，有男生 46 人。问：女生多少人？ 对于这一问题可以先求出女生植树多少棵，再除以 5， 得出女生人数：（ 450 5 46） 5 44（人）；也 可以先求两个班共有多少人，再减去男生 46 人，得出女生的人数： 450 5 46 44（人）。两种解法，具体途 径不同，但结果一样。 至此，我们将可逆性与结合性综合起来考察，则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。反演可 逆是以相反的运算（如：以减法来验算加法）使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换， 6 比 2 多 4， 2 比 6少 4，这里差集“ 4”是不变的。在运算规则里， 运算途径改变了，但运算结果不变。在问题解决中， 具体解法可以各异，但答案是唯一（不变）的。 我们说，数学运算是一种转换。在这种转换过程中，并非所有的东西都发生了改变，总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在，才使转换成为可能。 4.结构性 结构性运算，就其现实的存在方式而言，“包括复杂的运算体系，而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。”数学运算总是以结构化的整体的5 / 6 方式而存在。首先，每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作，也包括计其总数据的动作（这在学龄前儿童的实物操作中，可观察 到；小学一年级儿童，因熟练而逐渐简约化）；其次，各种运算联合起来，又构成一个大的结构，加是“合” 的动作，减是“分”的动作；乘是加（或合）的简便运算，除是减（或分）的简便运算；加减互为逆运算，乘 除互为逆运算。这许多关系 ，使四则运算联合成一个大的整体。 三、课堂教学中，指导学生动手操作应注意的问题 在明确了数学运算的内在规定性之后，我们将依照这些规定性，提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。 1.引起反省 从以上分析中我们了解到，数学运算是一种反思，具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中，我们在指导学生动作操作时，不应停留在为操作而操作的层面；而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例，通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。如：将一个 饼平均分成两块，每块是它的 1 2。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿，而不能调动学生内部的思 考过程。 一般而言，分数是小学生数概念的一次大的扩6 / 6 展。此前，儿童能用加减法层面的“差集”（ 6 比 2 多 4）或乘 除法层面的“倍数”（ 6 是 2 的 3 倍）来表示二数比较关系。在倍数中，比较量一般大于（或等于）标准量；分数 的引进是要解决一个全新的问题：当比较量不足一个标准量时，如何表示二数关系。 关于分数概念，这里设计了一种与通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起学生思考。 关于“分数 概念”的课堂设计： 准备：在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段，