《概率论与数理统计》韩旭里谢永钦版习题四及答案.pdf

1 习题四 习题四 1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）. 【解】【解】 （1） 11111 ()( 1)012; 82842 E X = + + + = （2） 22222 11115 ()( 1)012; 82844 E X= += （3） 1 (23)2 ()3234 2 EXE X+=+=+= 2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5 90 5 100 C 0.583 C = 14 1090 5 100 C C 0.340 C = 23 1090 5 100 C C 0.070 C = 32 1090 5 100 C C 0.007 C = 41 1090 5 100 C C 0 C = 5 10 5 100 C 0 C = 故 ()0.583 00.340 1 0.070 20.007 30 40 5E X = + + + + + 0.501,= 5 2 0 ()() ii i D XxE XP = = 222 (00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)0 0.432. =+ = ? 3.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求 P1，P2，P3. 【解】【解】因 123 1PPP+=, 又 12331 ()( 1)010.1E XPPPPP= +=ii, 2222 12313 ()( 1)010.9E XPPPPP= +=+=iii 由联立解得 123 0.4,0.1,0.5.PPP= 4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少？ 【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则 2 0 ( ) | N k P AP A XkP Xk = = i全概率公式 00 1 1 (). NN kk k P XkkP Xk NN n E X NN = = = i 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= = i 其他 于是 11 (5)2(5) 5005 2 ()2 ed d2ded64. 3 yy E XYxyxx yxxyy + = ii 10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为 fX（x）= ; 0, 0 , 0,2 2 x x x e fY（y）= . 0, 0 , 0,4 4 y y y e 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X 3Y2）. 【解】【解】 22-2 0 00 ()( )d2edeed xxx X Xxfxxxxxx + + = i 2 0 1 ed. 2 x x + = 4 0 1 ( )( )d4edy. 4 y Y E Yyfyyy + = i 2224 2 0 21 ()( )d4ed. 48 y Y E Yy fyyyy + = i 从而（1） 113 ()()( ). 244 E XYE XE Y+=+=+= 4 （2） 22 115 (23)2 ()3 ()23 288 EXYE XE Y= = 11.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= . 0, 0 , 0, 4 1 4 x x x e 为确保消费者的利益， 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和 200 元 5 /41/4 1 1 1001ede 4 x P YP Xx + = 1/4 20011 e.P YP X = = = X. 则 4 1 (4, ) i i YYBp = =.因为 1 33 pP XP X= 及 /3 0 11 cosd 3222 x P Xx= , 所以 111 ( ),( ),( )42, 242 ii E YD YE Y= 22 11 ( )41()() 22 D YE YEY= =, 从而 222 ()( ) ( )125.E YD YE Y=+= += 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 Ti（i=1,2）服从参数为 5 的指数分布， 首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工 作的总时间 T=T1+T2的概率密度 fT（t） ，数学期望 E（T）及方差 D（T）. 【解】【解】由题意知： 5 5e,0, ( ) 0,0 t i t f t t = . 因 T1,T2独立，所以 fT（t）=f1（t）*f2（t）. 当 t . 1, 1 1, 1 U ，U 若 若 试求（1）X 和 Y 的联合概率分布； （2）D（X+Y）. 【解】【解】 （1） 为求 X 和 Y 的联合概率分布，就要计算（X，Y）的 4 个可能取值（ 1, 1）, （ 1,1）,（1, 1）及（1,1）的概率. Px= 1,Y= 1=PU 1,U1 14 11 2 dd1 1 444 xx P U = = PX= 1,Y=1=PU 1,U1=P=0, PX=1,Y= 1=PU 1,U1 1 1 d1 11 44 x PU = = . 故得 X 与 Y 的联合概率分布为 ( 1, 1)( 1,1)(1, 1)(1,1) (, ) 111 0 424 X Y . （2） 因 22 ()() ()D XYE XYE XY+=+,而 X+Y 及（X+Y）2的概率分布相 应为 202 111 424 XY + , 2 04 () 11 22 XY + . 从而 11 ()( 2)20, 44 E XY+= + = 2 11 () 042, 22 E XY+=+ = 所以 22 ()() ()2.D XYE XYE XY+=+= 31.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= x e 2 1 ， （ x+） （1） 求 E（X）及 D（X） ； （2） 求 Cov（X,|X|）,并问 X 与|X|是否不相关？ （3） 问 X 与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】 （1） | | 1 ()ed0. 2 x E Xxx + = i 2| |2 0 1 ()(0)ed0e d2. 2 xx D Xxxxx + = i （2） Cov(,|)(|)()(|)(|)XXE XXE XEXE XX=iii | | 1 |ed0, 2 x x xx + = i 所以 X 与|X|互不相关. （3） 为判断|X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定 义域 x+中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有 0000 |.xXxXxXx= 15 所以 00 0|1.PXxP Xx 故由 00000 ,|P XxXxPXxPXxP Xx=i 得出 X 与|X|不相互独立. 32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42） ，且 X 与 Y 的相关系数 XY= 1/2，设 Z= 23 YX +. （1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ； （2） 求 X 与 Z 的相关系数 XZ； （3） 问 X 与 Z 是否相互独立，为什么？ 【解】【解】 （1） 1 ( ). 323 XY E ZE =+= ( )2Cov, 3232 XYX Y D ZDD =+ 1111 9162Cov(, ), 9432 X Y= + 而 1 Cov(, )()( )3 46 2 XY X YD XD Y = = i 所以 1 ( )1463. 3 D Z = + = （2） 因()() 11 Cov(,)Cov,Cov,Cov, 3232 XY X ZXX XX Y =+=+ 119 ()( 6)3=0, 323 D X=+ =- 所以 Cov(,) 0. ()( ) XZ X Z D XD Z = i （3） 由0 XZ =，得 X 与 Z 不相关.又因 1 ,3 ,(1,9) 3 ZNXN ，所以 X 与 Z 也相互独立. 33.将一枚硬币重复掷 n 次， 以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求 X 和 Y 的相关系 数 XY . 【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0. 再由 XB（n,p）,YB（n,q） ，且 p=q= 1 2 , 16 从而有 ()( ) 4 n D XnpqD Y= 所以 0()()( )2()( ) XY D XYD XD YD XD Y=+=+i 2, 24 XY nn =+i 故 XY = 1. 34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解】【解】由已知知 E（X）=0.6,E（Y）=0.2，而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以 E（XY）= 0.08+0.2=0.12 Cov（X,Y）=E（XY） E（X）E（Y）=0.12 0.60.2=0 从而 XY =0 35.对于任意两事件 A 和 B，0P（A）1，0P（B）1,则称 = () )()()()( )()( BPAPBPAP BPAPABP 为事件 A 和 B 的相关系数.试证： （1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0； （2） |1. 【证】【证】 （1）由 的定义知，=0 当且仅当 P（AB） P（A）P（B）=0. 而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. （2） 引入随机变量 X 与 Y 为 1, 0, A X A = 若 发生 若 发生; 1, 0, B Y B = 若 发生 若 发生. 由条件知，X 和 Y 都服从 0 1 分布，即 01 1( )( ) X P AP A 01 1( )( ) Y P BP B 从而有 E（X）=P（A）,E（Y）=P（B）, D（X）=P（A）P（A）,D（Y）=P（B）P（B）, Cov（X,Y）=P（AB） P（A）P（B） 所以，事件 A 和 B 的相关系数就是随机变量 X 和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相 关系数的基本性质可得|1. 36. 设随机变量 X 的概率密度为 Y X 17 fX（x）= ., 0 , 20, 4 1 , 01, 2 1 其他 x x 令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： （1） Y 的概率密度 fY（y） ； （2） Cov（X,Y）; （3） 1 (,4) 2 F. 解解： （1） Y 的分布函数为 2 ( ) Y FyP YyP Xy=. 当 y0 时， ( )0 Y Fy=，( )0 Y fy=； 当 0y1 时， 3 ( )00 4 Y FyPyXyPyXPXyy=+=， 3 ( ) 8 Y fy y =； 当 1y4 时， 11 ( ) 100 24 Y FyPXPXyy= +=+ 1 ( ) 8 Y fy y =； 当 y4 时，( )1 Y Fy=，( )0 Y fy=. 故 Y 的概率密度为 3 ,01, 8 1( )0 ,14, 8 0,. Y y y fy y y = 其他 （2） 02 10 111 ()( )ddd 244 + X E X =xfx xx x