MEM备考数学常用公式(最新版).pdf

北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 第一部分第一部分算术算术 一、比和比例一、比和比例一、比和比例一、比和比例 1、比例 d c b a =具有以下性质： （1）bcad= （2） a c b d = （3） d dc b ba+ = + （4） d dc b ba = （5） dc dc ba ba + = + （合分比定理） 2、增长率问题 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 2 设原值为a，变化率为%p， （ 1 ） 若 上 升%p， 则 现 值 1%ap=+（） （ 2 ） 若 下 降 升%p， 则 现 值 1%ap=（） （3）甲比乙大%p p% = 甲 乙 乙 （4）%p甲是乙的p%=甲乙 3、增减性 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 3 )0.(1m b a mb ma b a )0.(10 + + 且时等号成立） 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 7 （4）baab= （5）(0) aa b bb = （ 6 ）0kakak当时， ak 或；akkak 。 2 2 2 2、绝对值的非负性、绝对值的非负性 0a（任何实数的绝对值非负） 。 归纳归纳：具备非负性的变量 （1）正的偶数次方（根式） ，如： 11 24 24 ,a aaa； （2）负的偶数次方（根式） ，如： 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 8 11 24 24 ,aaaa ； （ 3 ） 指 数 函 数 ： x ya= (01)aa且。 考点：若干个非负数之和为 0，则 每个非负数必然都为 0。 3 3 3 3、绝对值的三角不等式、绝对值的三角不等式 bababa+， 0ab右边等号当且仅当时成立； 0abab左边等号当且仅当且时成立 。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 9 二、代数式的乘法公式与因式分解二、代数式的乘法公式与因式分解二、代数式的乘法公式与因式分解二、代数式的乘法公式与因式分解 1、 22 ()()ab abab+=（平方 差公式） 2、 222 2)(bababa+=（二项 式的完全平方公式） 3、 32233 33)(babbaaba+=+ （巧记：正负正负） 4、)( 2233 babababa+= （立方差公式） 5、 acbcabcbacba222)( 2222 +=+ （推广式） 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 10 三、三、三、三、 方程与不等式方程与不等式方程与不等式方程与不等式 （一）一元二次方程（一）一元二次方程 设一元二次方程为 2 0(0)axbxca+=，则 1、判别式 2 4bac =，则的取值有三种 情况： 0, 0, 0, = ； （2） 2 0axbxc+对任意x都成 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 15 立，则有 0 0 a 。 4、 要会根据不等式解集特点来判断 不等式系数的特点。 （三）其他几个重要不等式（三）其他几个重要不等式 1、平均值不等式，都对正数而言： 两个正数：ab ba + 2 n 个正数： n n n aaa n aaa 21 21 + 注意：平均值不等式，等号成立条 件是，当且仅当各项相等。 2、两个正数ba、的调和平均数、 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 16 几何平均数、算术平均数、均方根之间 的关系是（助记：从小到大依次为：调 和几何算方根） 22 11 2 22 baba ab ba + + + 注意注意：当且仅当ab=时，等号成 立。 3、双向不等式： bababa+ 左边在)0(0 ab时取得等号， 右 边在)0(0 ab时取得等号。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 17 四、数列四、数列四、数列四、数列 （一）（一） nn aS与的关系的关系 1、 nn Sa，求已知。 公式： = = n i in aS 1 2、 n S已知， n a求。 公式： 11 1 (1) (2) n nn aS n a SSn = = （二）等差数列（二）等差数列 1、 通项公式dnaan) 1( 1 += 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 18 2、前n项和的 3 种表达方式 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad + =+ 2 1 () 22 dd nan=+ 第三种表达方式的重要运用：如果 数列前n项和是常数项为 0 的n的 2 项 式，则该数列是等差数列。 3、特殊的等差数列 常数列，自然数列，奇数列，偶数 列。 4 、 等 差 数 列 的 通 项 n a和 前 项和n n S的重要公式及性质： 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 19 （ 1 ） 若 等 差 数 列 n a中 mnkt+=+，则有 mnkt aaaa+=+； （2）前项和n n S的 2 个重要性质 . nnnnn SSSSS 232 ，仍 为 等差数列； . 等 差 数 列 n a和 n b的 前 表示和项和分别用 nn TSn， 则 ： 12 12 = k k k k T S b a 。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 20 （三）等比数列（三）等比数列 1、 通项公式： 1 1 (0) n n aa qq = 2、前 n 项和的 2 种表达方式： （1）当1q时， 111 (1) 111 n n n aqaa Sq qqq = 后一种的重要运用，只要是以 q 的 n 次幂与一个非 0 数的表达式， 且 q 的 n 次幂的系数与该非 0 常数互为相反数， 则该数列为等比数列。 （2） 当1q=时， 11 (0) n Sna a=。 3、特殊等比数列： 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 21 非 0 常数列； 以 2、 2 1 、 （-1）为 底的自然次数幂。 4、当等比数列 n a的公比 q 满足 q1 时， n n S lim=S= q a 1 1 。 5 、 等 比 数 列 的 通 项 n a和 前 项和n n S的重要公式及性质： . 若 m 、 n 、 p 、 q N ， 且 qpnm+=+，那么有 qpnm aaaa=； 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 22 . 前项和n n S的 重 要 性 质： nnnnn SSSSS 232 ，仍为等比 数列。 五五五五、排列排列排列排列、组合组合组合组合、二项式定理和二项式定理和二项式定理和二项式定理和 古典概率古典概率古典概率古典概率 （一）排列、组合（一）排列、组合 1、排列 ! (1)(2)(1) ()! m n n Pn nnnm n m = 2、全排列 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 23 (1)(2)3 2 1! n n Pn nnn= = 3、组合 1 (1)(2)(1) ! nm m n mm n nnnm C m = 从 开始往下依次相乘，刚好 项 从 开始依次往上乘，刚好 项，正好是 的全排列 ! !()! n m nm 恒等变形 4、组合的 5 个性质（只有第一个比 较常用） （1） mn n m n CC = （2） 1 11 += m n m n m n CCC（助记： 下加 1 上取大） 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 24 （3） = n r r n C 0 = n 2（见下面二项 式定理） （4） r n rC= 1 1 r n nC （5） 1 121 + + =+ r n r n r r r r r r CCCCC （二）二项式定理（二）二项式定理 1、二项式定理： 项共1 011111100 )( + +=+ n nn n nn n n n n n n baCbaCbaCbaCba 助记：可以通过二项式的完全平方 式来协助记忆各项的变化。 2、展开式的特征 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 25 （1）通项公式：第1k+项为 1 rn rr rn TC ab + =； 3、展开式与系数之间的关系： （1） rn n r n CC =（与首末等距的 两项系数相等） （2） nn n n nnnn CCCCC2 1210 =+ 展开式的各项系数和为 n 2。 （证明： 1=ba令，即轻易得到结论） （3） 024131 2n nnnnn CCCCC +=+=展 开 式中奇数项系数和等于偶数项系数和。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 26 （三）古典概率问题（三）古典概率问题 1、事件的运算规律（类似集合的 运算，建议用文氏图求解） ： （1）事件的和、积满足交换律 BAABABBA=+=+,； （2）事件的和、积交满足结合律 () ()ABCABC=，() ()AB CA BC+=+； （3）交和并的组合运算，满足交换 律()()()A BCABAC+=+， )()(CABABCA=； （4）徳摩根定律 BABABABA=,； 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 27 （5）A； （6）集合自身以及和空集的运算 ,AAA AAAA= = = ,AA AA = = = （7） BAABABAAB=互不相容，且与 (8)ABAB AB、 互不相容， ABABABAB+=+且。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 28 2、古典概率定义 样本的总点数 中所包含的样本点数A n m AP=)( 3、古典概率中最常见的三类概率 计算 （1）摸球问题； （2）分房问题； （3）随机取数问题 此三类问题一定要灵活运用事件 间的运算关系，将一个较复杂的事件分 解成若干个比较简单的事件的和、差或 积等，再利用概率公式求解，才能比较 简便的计算出较复杂的概率。 4、概率的性质 （1）0)(=P强调：但是不能 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 29 从是空集AAP= 0)(； （2）有限可加性： 若互不相容 n AAA, 21 ，则 )( 11 = = n i i n i i APAP）（； (3)若 n AAA, 21 是一个完备 事件组，则，)( 1 = n i i AP=1。特别的 1)()(=+APAP。 5、概率运算的四大基本公式 （1）加法公式： 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 30 )()()()(ABPBPAPBAP+=+ 加法公式可以推广到任意个事件之 和： 011 () nnn iiij iij ni PAP AA A = ， 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 44 其中半径 2 4 22 FED r + =， 圆 心坐标 22 ED ，。 思考：方程 0 22 =+FEyDxyx 在04 22 =+FED和 04 22 = 等价于直线与圆相交、相切、相离； 0lAxByC+=直线 ：，圆 ()() 22 2 xaybr+=的半径为r，圆 心(),M a b到直线l的距离为d。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 48 又设方程组 ()() 22 2 0 xaybr AXByC += += （II） 则：lMdr直线 与圆相离，或 方 程组（II）无实数解。 （2） 考查圆心到直线的距离与半径 的大小关系：距离大于半径、等于半径、 小于半径，等价于直线与圆相离、相切、 相交。 北京华章MBA 培训学校北大资源宾馆 1405 室 电话传真： 49 2 2 2 2、 两个圆的位置关系两个圆的位置关系 ()() 22 2 111