空间向量立体几何(绝对经典).ppt

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,若P为A,B中点, 则,2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有,例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l。,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理,复习:,2. 向量的夹角:,A,B,向量 的夹角记作:,1.空间向量的数量积:,5.向量的模长:,4.有关性质:,(1)两非零向量,(2),注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,3.A、B、P三点共线的充要条件,A、B、P三点共线,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？,C,例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,小结,共面,3）射影,注意： 在轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC， OBAC，求证：OCAB,3.已知空间四边形 ，求证： 。,证明：,4.空间向量基本定理 若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.,其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量,若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个 基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这 个基底为单位正交基底,x1x2，y1y2，z1z2(R),a/b,(五)、空间位置关系的向量法：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,二面角的范围：,关键：观察二面角的范围,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,2、E为平面外一点,F为内任意一 点, 为平面的法向量,则点E到平面的距离为:,3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为,几何法,坐标法,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED平面A1FD,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是 ，,设：正方体的棱长为2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos =|cos|,设DB1与CM所成角为, 与 所成角为,于是：,(2)直线与与平面所成的角 若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,设L与所成的角, n与a所成的角 则 = - 或= - 于是, 因此,n,n,a,a,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。,解:建立如图示的直角坐标系,则 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, ) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 得 由 ，解得 ， 取y= ,得n=(3, ,0)， 设 与n夹角为 而 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.,（3）二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,例7 在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .,例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). , 异面直线AC1与BD间的距离,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2). n 2+