2017届中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题.docx

17 因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图1 图2 图3第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分BAC交BC于E点P在AE上，点Q在AB上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短”如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PFPQ的最小值是线段FQ第二步，应用“垂线段最短”如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的图4 图5 图6例 50 2014年湖南省郴州市中考第26题已知抛物线yax2bxc经过A(1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GCGM最小，CMG的周长最小思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和3第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(2, 0)两点，设ya(x1)(x2)代入点C(0, 2)，可得a1所以这条抛物线的解析式为y(x1)(x2)x2x2（2）如图3，连结OP设点P的坐标为(x,x2x2)由于SAOC1，SPOCx，SPOBx2x2，所以S四边形ABPCSAOCSPOCSPOBx22x3(x1)24因此当x1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4此时P(1, 2)（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4，在CMG中，CM为定值，因此当GCGM最小时，CMG的周长最小由于GAGC，因此当GAGM最小时，GCGM最小当点G落在AM上时，GAGM最小（如图5）图3 图4 图5第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图6，cosCAO，所以，E如图7，由yx2x2，得M由A(1, 0)、M，得直线AM的解析式为作GHx轴于H设点G的坐标为由于tanGEHtanACO，所以，即EH2GH所以解得所以G图6 图7 图8考点伸展第（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）因为ABC的面积是定值，因此当PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大过点P作x轴的垂线，交CB于F因为PCF与PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，PCB的面积最大设点P(x,x2x2)，F(x,x2)，那么PFx22x当x1时，PF最大此时P(1, 2)例 51 2014年湖南省湘西州中考第25题如图1，抛物线yax2bxc关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C(3,3)均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）设点D(x, y)是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QSl，垂足为S，过点P作PNl，垂足为N，试判断FNS的形状，并说明理由；（4）若点A(2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MFMA的值最小请直接写出此时点M的坐标与MFMA的最小值图1 动感体验请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，FNS保持直角三角形的形状点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，MEMA最小思路点拨1第（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数2第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离3第（4）题要经过两步说理，得到MFMA的最小值是点A到l的垂线段长图文解析（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以yax2代入点C(3,3)，得所以抛物线的解析式为设直线BC的解析式为ykxb，代入B、C(3,3)，得解得，b2所以直线BC的解析式为（2）由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G所以hGD因此当时，h取得最大值，最大值为（3）如图2，设点为H设直线PQ的解析式为联立直线PQ：与抛物线，消去y，得所以x1x2它的几何意义是HSHN又因为HF所以HF2HSHN所以所以tan1tan2所以12又因为1与3互余，所以2与3互余所以FNS是直角三角形（4）MFMA的最小值是，此时点M的坐标是图2 图3 图4考点伸展第（3）题也可以通过计算得到PFPN同理得到QFQS这样我们就可以根据“等边对等角”及“