2019届高考数学总复习模块五解析几何限时集训十六圆锥曲线中的最值范围证明问题.docx

限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆M与椭圆N:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).(1)求椭圆M的长轴长;(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:OAOB=-43.2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若MNAB,求直线l的方程;(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.3.已知椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F,已知M(-4,0),过M作斜率不为0的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B.(1)求证:直线AB恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)MAB的面积记为S,求S的取值范围.4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.(1)若过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;(2)如果存在过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.能力提升5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点,如图X16-1所示.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-14,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-14x2(-22xb0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点P1,32,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.限时集训(十六) 基础过关1.解:(1)由题意设椭圆M的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a2-b2=9-5=4,得c2=4,又椭圆M过点(0,2),所以b=2,所以a2=8,则椭圆M的长轴长为2a=42.(2)证明:椭圆M的方程为x28+y24=1,由y=x+2,x28+y24=1,得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-83,则A(0,2),B-83,-23,故OAOB=(0,2)-83,-23=-43.2.解:(1)据题意kMN=-1,由于MNAB,则kAB=1,于是直线l的方程为y-(-2)=1(x-5),即直线l的方程为x-y-7=0.(2)证明:由于点M在抛物线上,所以抛物线方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m0),与抛物线的方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,则y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,又MA=(x1-1,y1-2),MB=(x2-1,y2-2),于是MAMB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(8m+20)216-m(4m)-4m-10+1-(8m+20)-2(4m)+4=0,所以AMB=90,即点M在以AB为直径的圆上.3.解:(1)证明:设直线l的方程为x=my-4,代入x24+y23=1得(3m2+4)y2-24my+36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则B(x2,-y2),则=144m2-5760,即|m|2,且y1+y2=24m3m2+4,y1y2=363m2+4.直线AB:y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).令y=0,得x=x2y1+x1y2y1+y2=2my1y2y1+y2-4=2m32m-4=-1,直线AB过定点F(-1,0).(2)S=12|MF|y1+y2|=32|24m|3m2+4=363|m|+4|m|,其中|m|2.令f(t)=3t+4t,t2,则f(t)=3-4t20(t2),f(t)在(2,+)上单调递增,f(t)(8,+),S0,92.4.解:(1)设切点为Qx0,x024,由y=x2得yx=x0=x02.抛物线E在点Q处的切线方程为y-x024=x02(x-x0).直线l过点P,-x024=x02(a-x0),解得x0=2a或x0=0.当a=0时,切线l的方程为y=0;当a0时,切线l的方程为y=0或ax-y-a2=0.(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=16k2+160,x1+x2=4k,x1x2=-4.由已知得kPA+kPB=y1x1-a+y2x2-a=0,即kx1+1x1-a+kx2+1x2-a=0,2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,2ak2+2k+a=0.当a=0时,得2k=0,即k=0,满足题意;当a0时,方程有解,=4-8a20,解得-22a22,且a0.综上所述,实数a的取值范围是-22a22. 能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由x2=4y,y=kx+m得x2-4kx-4m=0,则=16(k2+m)0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,kOAkOB=y1y2x1x2=14x1214x22x1x2=x1x216=-m4,又已知kOAkOB=-14,m=1,直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1).(2)设M(x0,y0),则x0=x1+x22=2k,y0=kx0+m=2k2+m.将M(x0,y0)代入C2:y=4-14x2(-22x22)得2k2+m=4-14(2k)2,m=4-3k2.-22x022,-222k22,-2k0,-2k2,故k的取值范围是(-2,2).|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216(k2+m),将m=4-3k2代入得|AB|=42(k2+1)(2-k2)42(k2+1)+(2-k2)2=62,当且仅当k2+1=2-k2,即k=22时取等号,|AB|的最大值为62.6.解:(1)由题意知F2(1,0),椭圆上一点的坐标为-1,32,代入椭圆E的方程,得1a2+94b2=1,又a2-b2=1,a2=4,b2=3,因此椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)证明:直线AB的方程为y=k(x-1),代入椭圆E的方程,并整理得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4(k2-3)4k2+3.把x=4代入直线AB的方程得M(4,3k), 从而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1,k3=3k-324-1=k-12.又因为A,F2,B三点共线,所以y1x1-1=y2x2-1=k,所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-