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典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为可推出的伴随矩阵为比较与可知 （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且 （5）对于（3）给出的矩阵A, 有即的代数余子式为故 （6）因为, 故A可逆, 并且l个l个 （7）对于（3）给出的矩阵A, 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵满足, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6） 设矩阵A为由式（2-6）可知 比较上式两边矩阵对角线上的元素有故因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵.例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是 证 必要性：因为因此即 充分性：因为, 故. 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明不可逆. 证 因为, 故因此有 所以故是不可逆矩阵.例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且 例6 设A是阶方阵, 是A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）. 证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A可逆, , 故, 于是有若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有 （2）对两边取行列式, 有若A可逆, 所以, 从而有, 于是可知若A不可逆, 则例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足, 证明A和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵. 证 因为, 由于 所以, 因而有 可逆. 由可知 由可知.例8 设A、B均是n阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且 证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且 例9 设n阶矩阵A、B和均可逆, 证明： （1）也可逆, 且 （2） 证 （
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