关于三角形高线角平分线旁切圆半径的两个不等式.doc

关于三角形高线角平分线旁切圆半径的两个不等式 宁夏固原市五原中学（756000）马占山 宁夏固原市第一中学（756000）刘高义 笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式，即 定理1在ABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C，ABC的中线长为ma,mb,mc；内角平分线长为wa,wb,wc；高线长为ha,hb,hc，旁切圆半径为ra,rb,rc，ABC的面积为S,则 4Sm2ar2a+m2br2b+m2cr2cab+bc+ac 4Sm2aw2a+m2bw2b+m2cw2c43S。（1） 证明：不等式（1）的左边等价于下面不等式 16S2(m2ar2a+m2br2b+m2cr2c)(ab+bc+ac)2。（2） 由旁切圆半径公式ra=Ssa,rb=Ssb,rc=Ssc（S为ABC的半周长）和中线公式 ma=2(b2+c2)a22，mb=2(a2+c2)b22，mc=2(b2+a2)c22，得 16S2(m2ar2a+m2br2b+m2cr2c)=16S2m2ar2a=2(b2+c2)a2(b+ca)2 (b+c)2a2(b+ca)2=(a+b+c)(b+ca)3。 设x,y,zR+,则有3(x3+y3+z3)(x+y+z)(x2+y2+z2)（*）, 不等式（*）?2(x3+y3+z3)x2y+xy2+y2z+yz2+x2x+xz2（*）, 注意到常见不等式x,y,zR+时,x3+y3xy(x+y)?(x+y)(xy)20。 那么（*）显然成立，因此根据不等式（*）得到x3+y3+z313(x+y+z)(x2+y2+z2)13(x+y+z)13(x+y+z)2=19(x+y+z)3,于是，令x=b+ca,y=a+cb,z=a+bc,(a+b+c)(b+ca)3(a+b+c)19(a+bc+c+ab+b+ca)3=19(a+b+c)4 =13(a+b+c)22(ab+bc+ac)2。 当且仅当a=b=c时取到等号，因此不等式（1）的左边成立，下面再证明不等式（1）的右边。 由ma=2(b2+c2)a22，mb= 2(a2+c2)b22，mc=2(b2+a2)c22和wa=2S(b+c)sinA2,wb=2S(a+c)sinB2,wC= 2S(b+A)sinc2;sinA2=(sb)(sc)bc,sinB2=(sa)(sc)ac,sinC2=(sb)(sa)ab得 m2aw2a+m2bw2b+m2cw2c=m2aw2a=116S2(2b2+2c2)a2(b+c)2sin2A2 =116S2 (sc)(sc)(b+c)2(2b2+2c2a2)bc。 因此，不等式（1）的右边ab+bc+ac 4Sm2aw2a+m2bw2b+m2cw2c, 等价于(ab+bc+ac)2 (sb)(sc)(b+c)2(2b2+2c2a2)bc ? 4abc(ab+bc+ac)2a(2b2+2c2)a2(b+c)2a2(bc)2 ?2a6(b+c)+a5(b2+c2)3a4(b3+c3)+2abca42abca3(b+c)4abcb2c2+6a2b2c2a0 ?bc2(b3+c3)+5bc(b+c)+a(b2+3bc+c2)3a2(b+c)(bc)20 ?bc(b+ca)(3ab+3ac+2b2+3bc+2c2)(bc)20。 当且仅当a=b=c时取到等号。 定理2在ABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C，ABC的中线长为ma,mb,mc；内角平分线长为wa,wb,wc；高线长为ha,hb,hc，ABC的面积为S,则ab+bc+ac 4Sw2ah2a+w2bh2b+w2ch2c43S。（3） 证明：由ha=2Sa，hb=2Sb，hc=2Sc可知不等式（3）的左边等价于 (ab+bc+ac)24(a2w2a+b2w2b+c2w2c)（4）, 再由wa=2bcs(sa)b+c,wb=2acs(sb)a+c,wc=2abs(sc)b+a（其中s为ABC的半周长）。 不等式（4）的右边=4a2 (2bcs(sa)b+c)2+b2(2acs(sb)a+c)2+c2(2abs(sc)b+a)2 4a2s(sa)+b2s(sb)+c2s(sc) =(a+b+c)a2(b+ca)+b2(a+cb)+c2(a+bc)。 因此，只要证明不等式 (ab+bc+ac)2(a+b+c)a2(b+ca)+b2(a+cb)+c2(a+bc)（5）成立即可，不等式（5）等价于 a4+b4+c4(a2b2+b2c2+a2c2)0, 等价于(a2b2)2+(b2c2)2+(c2a2)20, 当且仅当a=b=c时取到等号。 而