1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1 / 8 1、 3、 1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 1、 3、 1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 小故事 :被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物 .在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜 .胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长 230米，塔高米，你能计算建此金字塔用了多少石块 吗？ 要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可 . 一、【学习目标】 1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）， 提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意 2 / 8 识，增加学生学习数学的兴趣； 2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力， 培 养学生转化、化归以及类比的能力 . 【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习 . 二、【自学内容和要求及自学过程】 1、阅读教材 23 25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积） 在初中，我们已经学习了正方体和长方体 的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？ 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？ 联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是 r,r ，母线长为，你计算出它的表面积吗？ 结论： 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和 .因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积 .棱柱的侧面展开图是平行四3 / 8 边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和 ；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和 .它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得 .其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形 .我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形 .如果圆柱的底面半径为 r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为 r2, 侧面面积为 2rl. 因此，圆柱的表面积 S=2r2+ 2rl=2r(r+l). 圆锥的侧面展开图是一个扇形 .如果圆锥的底面半径为 r,母线长为 l，那么它的表面积 S=r2+rl=r(r+l). 圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即 . 思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？ 练习一： 完成教材例 1、例 2，体会例 1、 2 所蕴含的解题技巧； 完成教材第 27页练习 1； 把一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 . 【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没4 / 8 有在课堂上一步一步的推导 . 2、阅读教材第 25 27页内容，回答问题（柱、锥、台体积） 回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？ 比较柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱体 =Sh(S为底面积， h 为柱体的高 )； V 锥体 =(S为底面积， h 为锥体的高 )； V 台体 =h(S,S 分别为上、下底面积， h 为台体的高 ).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作 “ 特殊 ”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的 “ 特殊 ” 形式？ 结论： 棱长为 a 的正方体的体积 V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为 a,b,c ， 其 体 积 为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为 r 高为 h 的圆柱的体积是V=r2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是 V=Sh，其中S 是底面面积， h 为柱体的高 .圆锥的体积公式是 V=(S 为底面面积， h 为高 )，它是同底等 高的圆柱的体积的 .棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ,即棱锥的体积 V=(S为底面面积， h 为高 ).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 .由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此5 / 8 可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S+S)h, 其中 S ， S 分别为上、下底面面积， h 为圆台（棱台）高 .注意：不要求推导公式，也不要求记忆 .柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体 .因此柱体、锥体可以看作 “ 特殊 ” 的台体 .当 S=0 时，台体的体积公式变为锥体的体积公式 ;当 S=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的 “ 特殊 ” 形式 . 柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系 ,如图： 练习二： 完成教材 26 页例 3，体会例 3 中蕴含的解题技巧； 完成教材 27页练习 2； 把长和宽分别为 6 和 3 的 矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥 o-ABc中， oA、 oB、 oc两两垂直， oc=1， oA=x，oB=y，且 x+y=4，则三棱锥体积的最大值是； 已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是 2cm 和 4cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的表面积与体积； ：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为（根6 / 8 据三视图，可知该几何体是三棱锥，图 12 所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱 PAAB ， PAAc ， ABAc. 结果： 1/6) 【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材采取了直接给出的模式，教师不要过多的渗入推导，加重学生负担 . 三、【作业】 1、必做题：教材第 29页习题组第 1、 2、 3 题； 2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4m（高不变）；二是高度增加 4m（底面直径不变） .分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 分别计算按这两种方案所建仓库的表面积； 哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济） . 四、【小结】 这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的 . 五、【教学反思】 这节课本来是一课时的内容，但是上课时发现一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，第二课时讲7 / 8 体积 .有时候课堂上是要求我们能 二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量 . 对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题 . 事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有及时的制止，只是目光示意 .等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是根据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应该出 现的，但是我不想伤害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围 .等我讲完课，还有将近十分钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了 .我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了 .由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了 .这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是 没有流露出来，道：往后面预习，预习体积 .这个同学坐下了，这时有同学8 / 8 问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔 . 其实自己心里面觉得很难受，不想发火，但是还是发火了 .不找别人的原因，先找找自己的原因，我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈