2016中考数学开放性问题专题复习学案

1 / 19 2016 中考数学开放性问题专题复习学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 开放性问题 【题型特征】一个数学问题系统中 ,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论 .如果这些部分齐备 ,称之为封闭性问题 .若不完全齐备 ,称之为开放性问题 ,数学开放题就是指那些条件不完整 ,结论不确定 ,解法不限制的数学问题 ,它的显著特点是正确答案不唯一 . 常见的开放性问题有 :(1)条件开放型 ;(2)结论开放型 ;(3)策略开放型 ;(4)综合开放型 . 【解题策略】 (1)条件开放型 ,指结论给定 ,条件未知 或不全 ,需要探求结论成立的条件 ,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题 .这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现 . 解条件开放型问题的一般思路是 :由已知的结论反思题目应具备怎样的条件 ,即从题目的结论出发 ,挖掘条件 ,逆向追索 ,逐步探求 ,最终得出符合结论的条件 .这是一种分析型思维方式 . (2)结论开放型 ,指条件充分给定 ,结论未知或不全 ,需要探求 ,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题 .这类开放题在中考试卷中 ,以解答题居多 . 2 / 19 解结论开放型问题的一般思路是 :充分利用已知条件或图形特征 ,进行猜想、归纳、类比 ,透彻分析出给定条件下可能存在的结论 ,然后经过论证作出取舍 .这是一种归纳类比型思维方式 . (3)策略开放型 ,是指题目的条件和结论都已知或部分已知 ,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题 .这类开放题在中考试卷中 ,一般出现在阅读题、作图题和应用题中 . 解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识 ,建立合理的数学模型 ,从而使问题得到解决 .这是一种综合性思维 . (4)综合开放型 ,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题 .这类问题往往仅提供一种问题情境 ,需要我 们补充条件 ,设计结论 ,并寻求解法的一类问题 . 解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用 . 类型一 条件开放型 典例 1 (XX云南 )写出一个图象经过一、三象限的正比例函数 y=kx(k0) 的表达式 (表达式 ) . 【解析】 正比例函数 y=kx(k为常数 ,且 k0) 的图象经过一、三象限 , 3 / 19 k0. 比如 k=1.故答案可以为 y=x. 【全解】 y=x. 【技法梳理】解答条件开放题主要根据 “ 执果索因 ” 的原则 ,多层次 、多角度地加以思考和探究 . 解题的关键是掌握正比例函数图象的性质 :它是经过原点的一条直线 .当 k0 时 ,图象经过第一、三象限 ,y 随 x 的增大而增大 ;当 k0 时 ,图象经过第二、四象限 ,y 随 x 的增大而减小 . 举一反三 1.(XX江苏连云港 )若函数的图象在每一象限内 ,y随x 的增大而增大 ,则 m 的值可以是 .(写出一个即可 ) 2.(XX江苏淮安 )如图 ,在四边形 ABcD 中 ,ABcD, 要使得四边形 ABcD 是平行四边形 ,应添加的条件是 (只填写一个条件 ,不使用图形以 外的字母和线段 ). (第 2 题 ) 【小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键 . 类型二 结论开放型 典例 2 (XX浙江金华 )写出一个解为 x1 的一元一次不等式 . 4 / 19 【全解】答案不唯一 ,只要根据不等式的解法 ,求其解集为x1 即可 .例如 x-10. 举一反三 3.(XX吉林 )如图 ,oB 是 o 的半径 ,弦 AB=oB,直径cDAB. 若点 P是线段 oD上的动点 ,连接 PA,则 PAB 的度数可以是 .(写出一个即可 ) (第 3 题 ) 4.(XX甘肃天水 )写出一个图象经过点 (-1,2)的一次函数的表达式 . 【小结】结论开放题与常规题的相同点是 :它们都给出了已知条件 (题设 ),要求寻求结论 ;区别是前者的条件一般较弱 ,结论通常在两个以上 ,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与 ,而后者答案一般只有一个 ,解题目标大多比较明确 . 类型三 策略开放型 典例 3 (XX山东淄博 )如图 ,在正方形网格中有一边长为 4 的平行四边形 ABcD,请将其剪拼成一个有一边长为 6的矩形 .(要求 :在答题卡的图中画出裁剪线即可 ) 【解析】 【技法梳理】策略开放题通常是指设计类或几何类开放题 ,5 / 19 这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种 ,造成多个答案各具特色 ,解答时应根据优劣选择出最佳解答 . 举一反三 5.(XX湖北荆门 )如图 ,在 44 的正方形网格中 ,每个小正方形的顶点称为格点 ,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形 (简称格点正方形 ).若再作一个格点正方形 ,并涂上阴影 ,使这两个格点正方形无重叠面积 ,且组成的图形是轴对称图形 ,又是中心对称图形 ,则这个格点正方形的作法共有 ( ). (第 5 题 ) 种种 种种 【小结】解策略型开放题时 ,要对已有条件进行发散联想 ,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想 ,并认真加以研究和验证 ,直至完全符合要求为止 .解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想 ,作多方面设计与思考 . 类型四 综合开放型 典例 4 (XX山东威海 )猜想与证明 : 如图 (1)摆放矩形纸片 ABcD与矩形纸片 EcGF,使 B,c,G三点在一条直线上 ,cE 在边 cD 上 ,连接 AF,若 m 为 AF 的中点 ,连接 Dm,mE,试猜想 Dm与 mE的关系 ,并证明你的结论 . 6 / 19 拓展与延伸 : (1) (2) (1)若将 ” 猜想与证明 “ 中的纸片换成正方形纸片 ABcD与正方形纸片 EcGF,其他条件不变 ,则 Dm和 mE的关系为 . (2)如图 (2)摆放正方形纸片 ABcD与正方形纸片 EcGF,使点 F在边 cD 上 ,点 m 仍为 AF 的中点 ,试证明 (1)中的结论仍然成立 . 【解析】猜想 :延长 Em 交 AD 于点 H,利用 FmEAmH, 得出 Hm=Em,再利用直角三角形中 ,斜边的中线等于斜边的一半证明 . (1)延长 Em 交 AD 于点 H,利用 FmEAmH, 得出 Hm=Em,再利用直角三角形中 ,斜边的中线等于斜边的一半证明 , (2)连接 AE,AE和 Ec在同一条直线上 ,再利用直角三角形中 ,斜边的中线等于斜边的一半证明 . 【全解】猜想 :Dm=mE. 证明如下 :如图 (1),延长 Em交 AD于点 H, (1) 四边形 ABcD和 cEFG是矩形 , 7 / 19 ADEF. EFm=HAm. 又 FmE=AmH,Fm=Am, 在 FmE 和 AmH 中 , FmEAmH(ASA). Hm=Em. 在 RtHDE 中 ,Hm=Em, Dm=Hm=mE. Dm=mE. (1)Dm=mE (2)如图 (2),连接 AE, (2) 四边形 ABcD和 EcGF是正方形 , FcE=45,FcA=45. AE 和 Ec在同一条直线上 . 在 RtADF 中 ,Am=mF, Dm=Am=mF. 在 RtAEF 中 ,Am=mF, Am=mF=mE. Dm=mE. 8 / 19 【技法梳理】本题属四边形的综合 ,运用正方形边相等 ,角相等证明二个三角形全等 ,从而得出二条线段相等 ,本题的难点是辅助线的做法 ,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等 . 举一反三 6.(XX湖南湘潭 )ABc 为等边三角形 ,边长为a,DFAB,EFAc. (1)求证 :BDFcEF; (2)若 a=4,设 BF=m,四边形 ADFE 面积为 S,求出 S 与 m 之间的函数关系 ,并探究当 m 为何值时 S 取最大值 ; (3)已知 A,D,F,E 四点共圆 ,已知 ,求此圆直径 . (第 6 题 ) 【小结】考试时 ,对于综合开放题 ,若没有其他要求 ,可选用简单情型的进行解答 . 类型一 1.(XX湖南娄底 )如图 ,要使平行四边形 ABcD 是矩形 ,则应添加的条件是 .(添加一个条件即可 ) (第 1 题 ) 2.(XX黑龙江黑河 )如图 ,已知 ABc 中 ,AB=Ac,9 / 19 点 D,E 在 Bc 上 ,要使 ABDAcE, 则只需添加一个适当的条件是 .(只填一个即可 ) (第 2 题 ) 3.(XX湖南湘潭 )如图 ,直线 a,b 被直线 c 所截 ,若满足 ,则 a,b平行 . (第 3 题 ) (第 4 题 ) 4.(XX贵州铜仁 )如图所示 ,已知 1=2, 请你添加一个条件 ,证明 :AB=Ac. (1)你添加的条件是 ; (2)请写出证明过程 . 类型二 5.(XX北京 )如图 ,在平面直角坐标系 xoy 中 ,正方形oABc 的边长为 2.写出一个函数 ,使它的图象与正方形 oABc有公共点 ,这个函数的表达式为 . (第 5 题 ) 6.(XX山东滨州 )写出一个运算结果是 a6 的算式 . 10 / 19 7.(XX湖南邵阳 )如图 ,在 ABcD 中 ,F 是 Bc 上的一点 ,直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E,BPDF, 且与 AD相交于点 P,请从图中找出一组相似的三角形 : . (第 7 题 ) 类型三 8.(XX浙江温州 )请举反例说明命题 “ 对于任意实数x,x2+5x+5 的值总是整数 ” 是假命题 ,你举的反例是 x= (写出一个 x 的值即可 ). 9.(XX浙江金华 )在棋盘中建立如图所示的直角坐标系 ,三颗棋子 A,o,B 的位置如图 ,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0),(1,0). (1)如图 (2),添加棋子 c,使四颗棋子 A,o,B,c成为一个轴对称图形 ,请在图中画出该图形的对称轴 ; (2)在其他格点位置添加一颗棋子 P,使四颗棋子 A,o,B,P成为轴对 称图形 ,请直接写出棋子 P 的位置的坐标 .(写出 2 个即可 ) 10.(XX浙江宁波 )课本的作业题中有这样一道题 :把一张顶角为 36 的等腰三角形纸片剪两刀 ,分成 3张小纸片 ,使每张小纸片都是等腰三角形 ,你能办到吗 ?请画示意图说明剪法 . 11 / 19 我们有多少种剪法 ,图 (1)是其中的一种方法 : 定义 :如果两条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形 ,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线 . (1)请你在图 (2)中用两种不同的方法画出顶角为 45 的等腰三角形的三分线 ,并标注每个等腰三角形顶角的度数 ;(若两 种方法分得的三角形成 3 对全等三角形 ,则视为同一种 ) (2)ABc 中 ,B=30,AD 和 DE 是 ABc 的三分线 ,点 D 在Bc边上 ,点 E 在 Ac边上 ,且 AD=BD,DE=cE,设 c=x, 试画出示意图 ,并求出 x 所有可能的值 ; (3)如图 (3),ABc 中 ,Ac=2,Bc=3,c=2B, 请画出 ABc的三分线 ,并求出三分线的长 . (1) 类型四 11.(XX湖北随州 )已知两条平行线 l1,l2 之间的距离为 6,截线 cD分别交 l1,l2于 c,D两点 ,一直角的顶点 P在线段 cD 上 运动 (点 P 不与点 c,D 重合 ),直角的两边分别交l1,l2与 A,B两点 . (1)操作发现 如图 (1),过点 P作直线 l3l1, 作 PEl1, 点 E是垂足 ,过点B作 BFl3, 点 F是垂足 .此时 ,小明认为 PEAPFB, 你同意吗 ?为什么 ? 12 / 19 (2)猜想论证 将直角 APB 从图 (1)的位置开始 ,绕点 P 顺时针旋转 ,在这一过程中 ,试观察、猜想 :当 AE 满足什么条件时 ,以点 P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形 ?在图 (2)中画出图形 ,证明你的猜想 . (3)延伸探究 在 (2)的条件下 ,当截线 cD与直线 l1所夹的钝角 为 150 时 ,设 cP=x,试探究 :是否存在实数 x,使 PAB 的边 AB的长为 4?请说明理由 . (1) (2) (第 11题 ) 12.(XX黑龙江牡丹江 )如图 ,在 RtABc中 ,AcB=90, 过点 c 的直线 mNAB,D 为 AB 边上一点 ,过点 D 作 DEBc, 交直线 mN 于 E,垂足为 F,连接 cD,BE. (1)求证 :cE=AD; (2)当 D 为 AB 中点时 ,四边形 BEcD 是什么特殊四边形 ?说明你的理由 ; (3)若 D为 AB中点 ,则当 A 的大小满足什么条件时 ,四边形BEcD是正方形 ?请说明你的理由 . 13 / 19 参考答案 【真题精讲】 1.答案不唯一 ,只要 m-10即可 ,例如 m=-1 等 . 解析 : 函数的图象在每一象限内 ,y随 x 的增大而增大 , m -10. m1. 例如 m=-1 等 . 2.答案不唯一 ,例如 AB=cD. 解析 :已知 ABcD, 可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定 ,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定 .因此我们可以直接写出条件AB=cD,ADBc, 或可以推出 ADBc 的一些条件 ,如 A=c 或B= D 或 A+B=180 或 c+D=180 等 .故答案可以为 AB=cD. 3.答案不唯一 ,可以为 70. 解析 :设 AB与 cD相交于点 E, AB=oB, 直径 cDAB, oB=2BE. Boc=30. Aoc=30. 14 / 19 ADc=15. 点 P 是线段 oD上的动点 , 15APc30. 60PAB75. 4.答案不唯一 ,如 y=x+3. 解析 :如图所示 :组成的图形是轴对称图形 ,又是中心对称图形 ,则这个格点正方形的作法共有 4 种 . (第 5 题 ) 6.(1)DFAB,EFAc, BDF=cEF=90. ABc 为等边三角形 , B=c=60. BDF=cEF,B=c, BDFcEF. 当 m=2时 ,S取到最大值 ,最大值为 3. (3)如图 (2), (第 6 题 (2) A,D,F,E 四点共圆 , EDF=EAF. ADF=AEF=90, 15 / 19 AF 是此圆的直径 . 【课后精练】 1.答案不唯一 ,如 ABc=90 或 Ac=BD 2.答案不唯一 ,如 BD=cE 3.答案不唯一 ,如 1=2 或 2=3 或 3+4=180. 4.(1)添加的条件是可以是 B=c( 答案不唯一 ); (2)证明 :在 ABD 和 AcD 中 , ABDAcD(AAS). AB=Ac. 9.(1)如图 (2)所示 ,直线 l 即为所求 ; (2)如图 (1)所示 ,P(0,-1),P(-1,-1)都符合题意 . (1) (2) (第 9 题 ) 10.(1)如图 (1)作图 , (第 10题 (1) 16 / 19 (2) 当 AD=AE 时 ,如图 (2), (第 10题 (2) 2x+x=30+30, x=20. 当 AD=DE时 ,如图 (3), (第 10题 (3) 30+30+2x+x=180, x=40. (3)如图 (4),cD,AE 就是所求的三分线 . (第 10题 (4) 设 B=, 则 DcB=DcA=EAc=,ADE=AED=2, 此时 AEcBDc,AcDABc. 设 AE=AD=x,BD=c