高三数学一轮复习《变化率与导数导数的计算》理.ppt

理数 课标版,第一节 变化率与导数、导数的计算,1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 =,教材研读,为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= = .,(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函数 称函数f (x)= 为f(x)的导函数.,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,4.复合函数的导数 复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= yuux ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的 导数的乘积.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f (x0)与f(x0)表示的意义相同. () (2)f (x0)是导函数f (x)在x=x0处的函数值. () (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. () (4)因为(ln x)= ,所以 =ln x. (),(5)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成. (),1.下列求导运算正确的是 ( ) A. =1+ B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x 答案 B =x+ =1- ;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)=2xcos x-x2sin x.,2.曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为 . 答案 x+y+2=0,解析 设f(x)=y=2x-x3,则f (x)=2-3x2.,f (-1)=2-3=-1.又f(-1)=-2+1=-1, 所求切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0.,c,c,3.曲线y=ax2-ax+1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,则a= . 答案 - 解析 y=ax2-ax+1,y=2ax-a,y|x=0=-a.又曲线y=ax2-ax+1(a0)在 点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,(-a)(-2)=-1,即a=- .,4.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0) 的值为 . 答案 3 解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.,c,c,考点一 导数的计算 典例1 分别求下列函数的导数: (1)y=excos x;(2)y=x ; (3)y=x-sin cos ;(4)y=ln . 解析 (1)y=(ex)cos x+ex(cos x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x). (2)y=x3+1+ ,y=3x2- . (3)y=x-sin cos =x- sin x,y= =1- cos x. (4)y=ln = ln(1+x2),y= (1+x2)= 2x= .,考点突破,c,方法技巧 1.求函数导数的一般原则如下:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式 形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂 分式,先将分式化简,再求导.,2.一般地,对于对复合函数的求导,应先考虑其由哪两个函数复合而成, 即转化为y=fg(x),再运用复合函数求导法则,其中确定u=g(x)的原则是 可直接求导,且利于计算.,1-1 分别求下列函数的导数: (1)y= + ; (2)y=sin2 ; (3)y= . 解析 (1)y= + = ,y= = . (2)y=sin2 = (1-cos x)= - cos x,y=- (cos x)=- (-sin x)= sin x.,(3)y= = = = = .,c,考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 典例2 (2016课标全国,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1 -x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 答案 y=2x 解析 当x0时,-x0),点(1,2) 在曲线y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2= f (1)(x-1),即y=2x.,c,命题角度二 求切点坐标 典例3 (2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x 0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 答案 (1,1) 解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- . 易知k1k2=-1,即1 =-1,解得 =1,又x00, x0=1.又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,c,命题角度三 求参数的值(范围) 典例4 (1)(2014课标,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方 程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=ln x+ax,若曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,则 实数a的取值范围是 .,答案 (1)D (2) 解析 (1)y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D. (2)f (x)= +a(x0).曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,方程 +a=2在区间(0,+)上有解,即a=2- 在区间(0,+)上有解,a2.若直线,2x-y=0与曲线y=f(x)相切,设切点为(x0,2x0),则 解得x0=e,a= 2- . 综上,满足题意的实数a的取值范围是 .,方法技巧 求函数图象的切线方程的注意事项 (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出. (2)切点既在函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的解析式建 立方程组. (3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件. (4)曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.如曲线y=x3 在(1,1)处的切线与曲线还有一个交点(-2,-8).,2-1 (2016广州五校联考)曲线y= 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围 成的三角形的面积为 ( ) A. e2 B.4e2 C.2e2 D.e2,答案 D 易知曲线y= 在点(4,e2)处的切线斜率存在,设其为k.y= ,k= = e2,切线方程为y-e2= e2(x-4),令x=0,得y=-e2,令y=0,得x= 2,所求面积为S= 2|-e2|=e2.,c,2-2 (2016河南郑州二模)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y= 2x-1,则点P的坐标为 ( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)或(-1,3) D.(1,-3),答案 C f (x)=3x2-1.设点P的坐标为(x0, -x0+3).由导数的几何意义知3 -1=2.解得x0=1.点P的坐标为(1,3)或(-1,3),故选C.,c,2-3 (2016烟台模拟