2016台州市高三数学(上)期末试卷(理附答案和解释）

1 / 22 2016台州市高三数学 (上 )期末试卷 (理附答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m XX-2016 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 “a 4” 是 “a2 16” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2已知点（ 2， 1）在双曲线 c： =1（ a b 0）的渐近线上，则 c 的 离心率为（ ） A B 2c D 3若 “x ， ， cosxm” 是真命题，则实数 m 的最小值为（ ） A B c D 4在边长为 1 的正三角形 ABc 中，设 D， E 分别为 AB， Ac的中点，则 =（ ） A B c D 0 2 / 22 5已知三棱柱 ABc A1B1c1 的底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ） A与直线 Bc和直线 A1B1都平行 B与直线 Bc和直线 A1B1都垂直 c与直线 Bc平行且直线 A1B1垂直 D与直线 Bc和直线 A1B1所 成角相等 6设函数 f（ x） =sinxcos2x，则下列结论中错误的为（ ） A点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的一个对称中心 B直线 x=是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴 c 是函数 y=f（ x）的周期 D函数 y=f（ x）的最大值为 1 7已知正实数 a， b 满足 a2 b+40 ，则 u=（ ） A有最大值为 B有最小值为 c没有最小值 D有最大值为 3 8如图，在三棱锥 P ABc中， AB=Ac=PB=Pc=10， PA=8， Bc=12，点 m 在平面 PBc内，且 Am=7，设异面直线 Am与 Bc所成角为 ，则 cos 的最大值为（ ） A B c D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每3 / 22 题 4 分 .、共 36分 . 9已知全集为 R，集合 A=x|x2 2x 0， B=x|1 x 3，则 RB= ， AB= 10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 ，表面积是 11设等差数列 an的前 n 项和 Sn=n2+bn+c（ b， c 为常数，nN* ），若 a2+a3=4，则 c= ， b= 12已知函数 f（ x） =，则 f（ f（ 2） = ，不等式f（ x 3） f（ 2）的解集为 13已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量 =x+y， x， yR ，若 x+2y=2，则 |的最小值为 14平面直角坐标系 xoy中，直线 y=5与抛物线 c： x2=2py（ p 0）交于点 A， B，若 oAB 的垂心为 c 的焦点，则 p 的值为 15若函数 f（ x） =（ 2x2 ax 6a2） ln（ x a）的值域是 0， + ），则实数 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =2sinxcosx+2cos2x 1，在 ABc 中，4 / 22 内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，且 f（ B） =1 （ ）求 B； （ ）若 =3，求 b 的取值范围 17如图，在菱形 ABcD中， BAD=60 ，平面 BDEF 平面ABcD，四边形 BDEF是正方形，点 m 在线段 EF上， = （ ）当 = ，求证： Bm 平面 AcE； （ ）如二面角 A Bm c 的平面角的余弦值为，求实数 的值 18已知 a 0， bR ，函数 f（ x） =4ax2 2bx a+b 的定义域为 0， 1 （ 1）当 a=1时，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的最大值和最小值分别为 m 和 m，求证： m+m 0 19如图，椭圆 c： +=1（ a b 0）的左焦点为 F1（ 1， 0），离心率是 e，点（ 1， e）在椭圆上 （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）设点 m（ 2， 0），过点 F1 的直线交 c 于 A， B 两点 ，直线 mA， mB 与直线 x= 2 分别交于 P， Q 两点，求 mPQ 面积的最大值 5 / 22 20已知数列 an， a1=a（ aR ）， an+1=（ nN* ） （ 1）若数列 an从第二项起每一项都大于 1，求实数 a 的取值范围； （ 2）若 a= 3，记 Sn是数列 an的前 n 项和，证明： Snn+ XX-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 “a 4” 是 “a2 16” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由 a2 16得 a 4 或 a 4， 则 “a 4” 是 “a2 16” 的充分不必要条件， 故选： A 6 / 22 2已知点（ 2， 1）在双曲线 c： =1（ a b 0）的渐近线上，则 c 的离心率为（ ） A B 2c D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出双曲线的渐近 线方程，由题意可得 a=2b，运用双曲线的离心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：双曲线 c： =1（ a b 0）的渐近线方程为y=x ， 由题意可得 =1，即 a=2b， c=a，可得 e= 故选： D 3若 “x ， ， cosxm” 是真命题，则实数 m 的最小值为（ ） A B c D 【考点】全称命题 【分析】由 x 的范围求出 cosx 的范围，然后结合“x ， ， cosxm” 是真命题求得 m 的最小值 【解答】解：当 x ， 时， cosx ， ， 又 “x ， ， cosxm” 是真命题， m ，即实数 m 的最小值为 故选： c 7 / 22 4在边长为 1 的正三角形 ABc 中，设 D， E 分别为 AB， Ac的中点，则 =（ ） A B c D 0 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】由题意画出图形，把，用基底表示，代入 ，展开得答案 【解答】解：如图， =（） （） =（） （） = = = 故选： B 5已知三棱柱 ABc A1B1c1 的底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ） A与直线 Bc和直线 A1B1都平行 B与直线 Bc和直线 A1B1都垂直 c与直线 Bc平行且直线 A1B1垂直 8 / 22 D与直线 Bc和直线 A1B1所成角相等 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】解：对于 A，过点 A 与直线 A1B1平行的平面经过 B，与直线 Bc相交，不正确； 对于 B，过点 A 与直线 Bc 垂直的平面存在，则 cBAB ，与底面是锐角三角形矛盾，不正确 对于 c，过点 A 与直线 Bc平行且直线 A1B1垂直，则 cBAB ，与底面是锐角三角形矛盾，不正确； 对于 D，存在过点 A 与 Bc中点的平面，与直线 Bc 和直线 AB所成角相等， 与直线 Bc和直线 A1B1所成角相等，正确 故选： D 6设函数 f（ x） =sinxcos2x，则下列结论中错误的为（ ） A点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的一个对称中心 B直线 x=是函数 y=f（ x）图象的一条对称轴 c 是函数 y=f（ x）的周期 D函数 y=f（ x）的最大值为 1 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的 图象 【分析】对于 A 选项，用中心对称的充要条件，直接验证 f（ 2 x） +f（ x） =0是否成立即可判断其正误； 对于 B 选项，用轴对称的条件直接验证 f（ x） =f（ x）9 / 22 成立与否即可判断其正误； 对于 c 选项，用周期函数的定义直接验证 f（ x+ ） =f（ x）成立与否即可判断其正误； 对于 D 选项，利用三角函数的性质即可直接判断 【解答】解： A、 f （ 2 x） +f（ x） =sin（ 2 x） cos2（ 2 x） +sinxcos2x= sinxcos2x+sinxcos2x=0， 点（ ， 0）是函数 y=f（ x）图象的一个对称中心，故 A 正确； B、 f （ x） =sin（ x） cos2（ x） =sinxcos2x=f（ x）， f （ x）关于直线 x=对称，故 B 正确； c、 f （ x+ ） =sin（ +x ） cos2（ +x ） = sinxcos2x= f（ x）， 不是函数 y=f（ x）的周期，故 c 错误； D、 sinx 1， 1， cos2x 1， 1，可得 f（ x） =sinxcos2x的最大值为 1，故 D 正确 故选： c 7已知正实数 a， b 满足 a2 b+40 ，则 u=（ ） A有最大值为 B有最小值为 c没有最小值 D有最大值为 3 【考点】基本不等式 【分析】 a2 b+40 ，可得 ba2+4 ， a， b 0可得 ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解： a2 b+40 ， ba2+4 ， a， b 0 10 / 22 a+ba2+a+4 ， ， ， u=3 3 =3 3 =，当且仅当 a=2， b=8 时取等号 故选： B 8如图，在三棱锥 P ABc中， AB=Ac=PB=Pc=10， PA=8， Bc=12，点 m 在平面 PBc内，且 Am=7，设 异面直线 Am与 Bc所成角为 ，则 cos 的最大值为（ ） A B c D 【考点】异面直线及其所成的角 【分析】取 Bc 中点 N，连结 AN， PN，则可证 PAN 是等边三角形，过 A 作平面 PBc 的垂线 Ao，则 o 为 PN 的中点，求出 Ao的长，利用勾股定理可得出 om的长，即 m 的轨迹以o 为坐标原点建立空间坐标系，设 m 的坐标（ x， y， 0），求出的坐标，利用向量求出夹角，根据 x， y 的范围得出 cos的最值 【解答】解：取 Bc中点 N，连结 AN， PN， AB=Ac=PB=Pc=10 ，Bc=12， AN=PN= 8， PA=8 ， PAN 是等边三角形， ANP=60 11 / 22 ANBc ， PNBc ， ANP 为二面角 A Bc P 的平面角 过 A作 Ao 平面 PBc，连结 om，则 o为 PN的中点， oN=PN=4 ，Ao=4 om=1 m 的轨迹是以 o 为圆心，以 1 为半径的圆 以平面 PBc内过 o点平行于 Bc的直线为 x轴，以 PN为 y轴，以 oA为 z 轴建立空间直角坐标系如图 则 A（ 0， 0， 4）， B（ 6， 4， 0）， c（ 6， 4， 0），设 m（ x，y， 0），则 x2+y2=1 =（ x， y， 4）， =（ 12， 0， 0） |=7， |=12， =12x cos= 当 x=1时， cos 取得最大值 故选 A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分 .、共 36分 . 9已知全集为 R，集合 A=x|x2 2x 0， B=x|1 x 3，则 RB= （ ， 13 ， + ） ， AB= （ 2， 3） 【考点】交集及其运算；补集及其运算 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，由 B 及全集 R，求出 B 的补集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 A 中不等 式变形得： x（ x 2） 0， 12 / 22 解得： x 0 或 x 2，即 A=（ ， 0） （ 2， + ）， 全集为 R， B=（ 1， 3）， RB= （ ， 13 ， + ）， 则 AB= （ 2， 3）， 故答案为：（ ， 13 ， + ）；（ 2， 3） 10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 72 ，表面积是 120 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为 6，底面正三角形的高为 4，利用表面积公式和体积公式得到结果 【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为 6，底面正三角形的高为 4， 可求得底面面积为： =12 V=Sh=612=72 S 表面 =2S底 +S侧面 =212+6 （ 6+5+5） =120 11设等差数列 an的前 n 项和 Sn=n2+bn+c（ b， c 为常数，nN* ），若 a2+a3=4，则 c= 0 ， b= 2 13 / 22 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由等差数列的前 n 项和是不含常数项的一次或二次函数，可得 c=0，再 由 a2+a3=S3 S1列式求得 b 值 【解答】解： 数列 an是等差数列，且前 n项和 Sn=n2+bn+c， c=0 ， 则 Sn=n2+bn， 又 a2+a3=S3 S1=9+3b 1 b=4， b= 2 故答案为： 0， 2 12已知函数 f（ x） =，则 f（ f（ 2） = ，不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集为 x|x或 x 5 【考点】其他不等式的解法；函数的值 【分析】根据分段函数的解析式直接代值计算即可求出 f（ f（ 2），分类讨论，即可求出不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集 【解答】解： f（ 2） =， f（） =， f （ f（ 2） =， 当 x 3 1 时，即 x 4 时，解得 x 5， 当 x 31 时，即 x4 时， x 3，解得 x， 综上所述不等式 f（ x 3） f（ 2）的解集为 x|x或 x5 故答案为：， x|x或 x 5 14 / 22 13已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量 =x+y， x， yR ，若 x+2y=2，则 |的最小值为 1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】计算，将 x=2 2y代入得到关于 y 的函数，求此函数的最小值 【解答 】解： =cos=.2=x2+y2+2xy=x2+y2+xy x+2y=2 ， x=2 2y 2= （ 2 2y） 2+y2+（ 2 2y） y=3y2 6y+4=3（ y 1） 2+1 当 y=1时， 2 取得最小值 1 | 的最小值为 1 故答案为： 1 14平面直角坐标系 xoy中，直线 y=5与抛物线 c： x2=2py（ p 0）交于点 A， B，若 oAB 的垂心为 c 的焦点，则 p 的值为 2 【考点】抛物线的简单性质 【分析】将 y=5 代入抛物线的方程，可得 A， B 的坐标，求得抛物线的焦点坐标，再 由垂心的性质可得 AFoB ，即有kAFkoB= 1，再由斜率公式，解方程即可得到 p 的值 【解答】解：由 y=5代入抛物线 c： x2=2py可得， 15 / 22 A（， 5）， B（， 5）， 由抛物线 x2=2py 可得焦点为 F（ 0，）， 由 oAB 的垂心为 c 的焦点，可得 AFoB ，即有 kAFkoB= 1， 即为 = 1， 解方程可得 p=2 故答案为： 2 15若函数 f（ x） =（ 2x2 ax 6a2） ln（ x a）的值域是 0， + ），则实数 a= 或 1 【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域 【分析】根据函数与方程的关系先求出两个函数的零点，根据函数的值域得到在定义域内两个函数的函数值同号，即可得到结论 【解答】解： f（ x） =（ x 2a）（ 2x+3a） ln（ x a）， 由 f（ x） =0得 x=2a，或 x=，或 x=a+1， 若 a=0，则 f（ x） =2x2lnx，则函数的值域为（ ，+ ），不满足条件 若 a 0，则函数的定义域为 x a，此时函数 f（ x）的零点为 x=2a， x=a+1， 设 y=（ x 2a）（ 2x+3a） ， y=ln（ x a）， 要使函数 f（ x）的值域为 0， + ），则函数 y=（ x 2a）16 / 22 （ 2x+3a）， y=ln（ x a）， 则定义域（ a， + ）上函数值的符号相同， 即两个函数的零点相等即 2a=a+1，得 a=1， 若 a 0，则函数的定义域为 x a，此时函数 f（ x）的零点为 x=， x=a+1， 设 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=ln（ x a）， 要使函数 f（ x）的值域为 0， + ），则函数 y=（ x 2a）（ 2x+3a）， y=ln（ x a）， 则定义域（ a， + ）上函数值的符号相同， 即两个函 数的零点相等即 =a+1，得 a=， 综上 a=或 a=1， 故答案为：或 1 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =2sinxcosx+2cos2x 1，在 ABc 中，内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，且 f（ B） =1 （ ）求 B； （ ）若 =3，求 b 的取值范围 【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 17 / 22 【分析】（ I）利用倍角公式、和差公式可得： f（ x） =，由于 f（ B） =1，可得 =1， B （ 0， ），即可得出 （ II）由 =3，可得 ac=6再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：（ I） f（ x） =2sinxcosx+2cos2x 1=sin2x+cos2x=， f （ B） =1， =1 ，即 sin（ 2B+） =， B （ 0， ）， （ II） =3 ， cacos=3 ，解得 ac=6 b2=a2+c2 2accosB=a2+c2 62ac 6=6， 解得 b b 的取值范围是 17如图，在菱形 ABcD中， BAD=60 ，平面 BDEF 平面ABcD，四边形 BDEF是正方形，点 m 在线段 EF上， = （ ）当 = ，求证： Bm 平面 AcE； （ ）如二面角 A Bm c 的平面角的余弦值为，求实数 的值 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】（ ） m 是 EF 的中点，设 AcBD=o ，连结 oE，则BmoE ，由此能证明 Bm 平面 AcE （ ）以 o 为原点， oB， oc分别为 x 轴， y 轴，建立空间直18 / 22 角坐标系，利用向量法能求出实数 的值 【解答】证明：（ ） = ， m 是 EF 的中点， 设 AcBD=o ，连结 oE，则 BmoE ， 又 Bm 平面 AcE， oE平面 AcE， Bm 平面 AcE 解：（ ）以 o 为原点， oB， oc 分别为 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， c（ 0， 0）， m（ 2 1， 0，2）， =（ 1， 0）， =（ 2 2， 0， 2）， =（ 1， 0）， 设平面 ABm的法向量 =（ x， y， z），则， =0， ，取 x=，得 =（）， 设平面 Bcm的法向量 =（ a， b， c），则， ，取 x=，得 =（） ， 二面角 A Bm c 的平面角的余弦值为， |cos |=， 解得，或（舍） 故实数 的值为 18已知 a 0， bR ，函数 f（ x） =4ax2 2bx a+b 的定义域为 0， 1 19 / 22 （ 1）当 a=1时，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的最大值和最小值分别为 m 和 m，求证： m+m 0 【考点】函数的最值及其几何意义 【分析】（ 1）由题意可得 f（ 0） 0 ， f（ 1） 0 ， 0，0 1，解不等式即可得到所求范围； （ 2）求出对 称轴，讨论对称轴和区间 0， 1的关系，可得最值，即可证明 m+m 0 【解答】解：（ 1）由题意可得 f（ x） =4x2 2bx 1+b 在 0，1内有两个不同的零点， 即有即为， 解得 1b 2 或 2 b3 ； （ 2）证明： f（ x）的对称轴为 x=， 当 1 时，区间 0， 1为减区间，可得 m=f（ 0） =b a， m=f（ 1） =3a b，则 m+m=2a 0； 当 0 时，区间 0， 1为增区间，可得 m=f（ 0） =b a， m=f（ 1） =3a b，则 m+m=2a 0； 当 01 时，区间 0， 为减区 间， ， 1为增区间， 可得 m=f（） =， 若 f（ 0） f （ 1），即 b2a ，可得 m=f（ 1） =3a b， m+m=a 0； 20 / 22 若 f（ 0） f（ 1），即 2a b4a ，可得 m=f（ 0） =b a， m+m=， 由于 2a b4a ，可得 m+m （ a， 2a，即为 m+m 0 综上可得 m+m 0 恒成立 19如图，椭圆 c： +=1（ a b 0）的左焦点为 F1（ 1， 0），离心率是 e，点（ 1， e）在椭圆上 （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）设点 m（ 2， 0），过点 F1 的直线交 c 于 A， B 两点 ，直线 mA， mB