2016年宜宾市高一数学下期末试卷（带答案和解释）

1 / 23 2016 年宜宾市高一数学下期末试卷（带答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k XX-2016学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若等差数列 an的通项公式是 an=2n+5，则此数列（ ） A是公差为 5 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 c是公差为 2 的等差数列 D是公差为 7 的等差数列 2已知 =（ 3， 1），向量 =（ 2， ），若 ，则实数 的值为（ ） A B c D 3若 a， b 是任意实数，且 a b，则（ ） A B 1c（） a（） bD lg（ a b） 0 4 ABc 的内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，若 c=，b=， B=120 ，则 a 等于（ ） A B c 2D 5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ） 2 / 23 A 80B 40c D 6已知向量 =（ x， 2）， =（ 1， y），其中 x 0， y 0，若 =1，则 +的最小值为（ ） A 6B 8c 9D 8 7在正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E， F 分别是线段 A1B1，B1c1上的不与端点重合的动点，如果 A1E=B1F，有下面四个结论： EFAA1 ； EFAc ； EF 与 Ac异面； EF 平面 ABcD其中一定正确的有（ ） A B c D 8如图所示，矩形 oABc 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 oA=6 ， oc=2 ，则原图形是（ ） A正方形 B矩形 c菱形 D一般的平行四边形 9 an是各项均不为 0 的等差数列， bn是等比数列 ，若a1 a+a13=0，且 b7=a7，则 b3b11=（ ） A 16B 8c 4D 2 10 ABc 中， a， b、 c 分别为 A 、 B 、 c 的对边，如果 a， b、 c 成等差数列， B=30 ， ABc 的面积为，那么b 等于（ ） 3 / 23 A B c D 11在边长为 1 的菱形 ABcD中， BAD=60 ， E 是 Bc的中点，则 =（ ） A B c D 12设正实数 m， n， t 满足 m2 3mn+4n2 t=0，则当取得最小值时， m+2n t 的最大值为（ ） A 1B 2c 3D 4 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分 13在等比数列 an中， a3=2， a6=，则数列 an的公比为 14若实数 x， y 满足不等式组，则目标函数 z=x+y 的最大值为 15若 o 为 ABc 所在平面内一点，且满足，则 ABc 的形状为 16已知数列 an， bn， cn，满足 a1=8， b1=10， c1=6，且 an+1=an， bn+1=， cn+1=，则 bn= 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 . 17已知，是夹角为 60 的单位向量，且， （ 1）求； 4 / 23 （ 2）求的夹角 18一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行（ 2 2）nmile 到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15 的方向航行 4nmile到达海岛 c （ 1）求 Ac的长； （ 2）如果下次航行直接从 A 出发到达 c，求 cAB 的大小？ 19在 ABc 中，内角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c，已知 a、 b、 c 成等比数列，且 cosB= （ ）求 +的值； （ ）设 =，求 a、 c 的值 20如图，在 RtAoB 中， oAB= ，斜边 AB=4， RtAoc 通过 RtAoB 以直线 Ao为轴旋转得到，且二面角 B Ao c 是直二面角动点 D 在斜边 AB上 （ ）求证：平面 coD 平面 AoB； （ ）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 Ao 与 cD 所成角的正切值； （ ）求 cD与平面 AoB所成角最大时该角的正切值 21已知定义在 R 上的函数 f（ x） =x2（ 3 a） x+2（ 1a）（其中 aR ） （ ）解关于 x 的不等式 f（ x） 0； 5 / 23 （ ）若不等式 f（ x） x 3 对任意 x 2 恒成立，求 a 的取值范围 22已知数列 an满足条件 an+1 an=2， a5=11，前 n 项和为 Sn，数列 bn前 n 项和为 Tn，满足条件 Tn=2bn 2 （ 1）求 an与 bn； （ 2）求数列 anbn的前 n 项和 kn； （ 3）令 cn=，若不等式 x2+2mx+1c1+c2+c3+cn 对任意xR 和任意的正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围 XX-2016学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若等差数列 an的通项公式是 an=2n+5，则此数列（ ） A是公差为 5 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 c是公差为 2 的等差数列 D是公差为 7 的等差数列 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由题意 an=2n+5，再化简当 n2 时 an an 1 后，由等差数列的定义即可得答案 【解答】解：因为 an=2n+5， 6 / 23 所以当 n2 时， an an 1=2n+5 2（ n 1） +5=2， 所以数列 an是以 2 为公差的等差数列， 故选 c 2已知 =（ 3， 1），向量 =（ 2， ），若 ，则实数 的值为（ ） A B c D 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出 的值 【解答】解： = （ 3， 1），向量 =（ 2， ），且 ， 3 21=0 ， 解得 = 故选： B 3若 a， b 是任意实数，且 a b，则（ ） A B 1c（） a（） bD lg（ a b） 0 【考点】不等式的基本性质 【分析】对于 A， B， D 举反例可以判断，对 于 c，根据指数函数的单调性即可判断 【解答】解：若 a， b 均小于 0，则 A 不成立， 若 a 0，由 a b，则得到 1，故 B 不正确， 7 / 23 根据指数函数的性质可知， y=为减函数，故 c 正确， 当 0 a b 1 时， D 不成立， 故选： c 4 ABc 的内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，若 c=，b=， B=120 ，则 a 等于（ ） A B c 2D 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】由 b， c 以及 cosB的值，利用余弦定理即可求出 a的值 【解答】解： c= ， b=， cosB=cos120= ， 由余弦定理得： b2=a2+c2 2accosB，即 6=a2+2+a， 解得： a= 故选 A 5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ） A 80B 40c D 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥： Po平面 ABc， Po=4， Ao=2， co=3， BcAc ， Bc=4据此可计算出该几何体的体积 8 / 23 【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：Po 平面 ABc， Po=4， Ao=2， co=3， BcAc ， Bc=4 从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为 4 和 5 的直角三角形，高为 4， 体积为 V= 故选 D 6已知向量 =（ x， 2）， =（ 1， y），其中 x 0， y 0，若 =1，则 +的最小值为（ ） A 6B 8c 9D 8 【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算 【分析】由 =1，可得 x+2y=1，再利用 “ 乘 1 法 ” 与基本不等式的性质即可得出 【解答】解： 向量 =（ x， 2）， =（ 1， y）， =x+2y=1 ， x 0， y 0， += （ +）（ x+2y） =5+5+4=9 ， 当且仅当 =时取等号， + 的最小值为 9， 故选： c 7在正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E， F 分别是线段 A1B1，9 / 23 B1c1上的不与端点重合的动点，如果 A1E=B1F，有下面四个结论： EFAA1 ； EFAc ； EF 与 Ac异面； EF 平面 ABcD其中一定正确的有（ ） A B c D 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】作出正方体 ABcD A1B1c1D1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断 【解 答】解：如图所示由于 AA1 平面 A1B1c1D1， EF平面 A1B1c1D1， 则 EFAA1 ，所以 正确； 当 E， F 分别不是线段 A1B1， B1c1的中点时， EF与 Ac异面， 所以 不正确； 当 E， F 分别是线段 A1B1， B1c1 的中点时， EFA1c1 ，又AcA1c1 ， 则 EFAc ，所以 不正确； 由于平面 A1B1c1D1 平面 ABcD， EF平面 A1B1c1D1， 所以 EF 平面 ABcD，所以 正确 故选 D 8如图所示，矩形 oABc 是 水平放置一个平面图形10 / 23 的直观图，其中 oA=6 ， oc=2 ，则原图形是（ ） A正方形 B矩形 c菱形 D一般的平行四边形 【考点】平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度减半可判断原图形的形状 【解答】解： 矩形 oABc是一个平面图形的直观图，其中 oA=6， oc=2， 又 Doc=45 ， oD= ， 在直观图中 oABc ， ocAB ，高为 oD=4， cD=2， oc=6 原图形是菱形 故选 c 9 an是各项均不为 0 的等差数列， bn是等比数列，若a1 a+a13=0，且 b7=a7，则 b3b11=（ ） A 16B 8c 4D 2 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由等差数列的通项公式得到，从而 b7=a7=2，由此利用等比数列通项公式能求出 b3b11 11 / 23 【解答】解： an 是各项均不为 0 的等差数列， a1a+a13=0， ， a70 ， b7=a7=2 ， bn 是等比数列， b3b11=22=4 故选： c 10 ABc 中， a， b、 c 分别为 A 、 B 、 c 的对边，如果 a， b、 c 成等差数列， B=30 ， ABc 的面积为，那么b 等于（ ） A B c D 【考点】解三角形 【分析】先根据等差中项的性质可求得 2b=a+c，两边平方求得 a， b 和 c 的关系式，利用三角形面积公式求得 ac的值，进而把 a， b 和 c 的关系式代入余弦定理求得 b 的值 【解答】解： a ， b、 c 成等差数列， 2b=a+c ，得 a2+c2=4b2 2ac， 又 ABc 的面积为， B=30 ， 故由， 得 ac=6 12 / 23 a2+c2=4b2 12 由余弦定理，得， 解得 又 b 为边长， 故选 B 11在边长为 1 的菱形 ABcD中， BAD=60 ， E 是 Bc的中点，则 =（ ） A B c D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】由题意可得，且 =+，代入要求的式子运算求得结果 【解答】解：在边长为 1 的菱形 ABcD 中， BAD=60 ， E是 Bc的中点， 则 ABD 是等边三角形，且 =+ = （） （） =+=1+11cos60+= ， 故选 D 12设正实数 m， n， t 满足 m2 3mn+4n2 t=0，则当取得最小值时， m+2n t 的最大值为（ ） A 1B 2c 3D 4 【考点】基本不等式 13 / 23 【分析】求得 t=m2 3mn+4n2，（ m， n， t 0），代入，整理后运用基本不等式，可得 m=2n，取得最小值，此时 t=mn=2n2，代入 m+2n t，运用二次函数的最值求法，可得最大值 【解答】解： m2 3mn+4n2 t=0，可得 t=m2 3mn+4n2，（ m， n， t 0）， 即有 = =+ 32 3=1， 当且仅当 m=2n时，取得最小值 1 此时 t=mn=2n2， 则 m+2n t=4n 2n2= 2（ n 1） 2+2， 当 n=1时， m+2n t 取得最大值 2 故选： B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分 13在等比数列 an中， a3=2， a6=，则数列 an的公比为 【考点】等比数列的通项公式 【分析】利用等比数列的性质求解 【解答】解： 在等比数列 an中， a3=2， a6=， q3= ， q= 故答案为： 14 / 23 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为 3 【考点】简单线性规划 【分析】由题意画出平面区域，根据线性规划解答 【解答】解：作出平面区域如图： 则当过 A（ 3， 0）时，目标函数 z=x+y有最大值 3 故答案为： 3 15若 o 为 ABc 所在平面内一点，且满足，则 ABc 的形状为 等腰三角形 【考点】三角形的形状判断 【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状 【解答】解： = = =0， ， A Bc为等腰三角形 故答案为：等腰三角形 15 / 23 16已知数列 an， bn， cn，满足 a1=8， b1=10， c1=6，且 an+1=an， bn+1=， cn+1=，则 bn= 2 （） n 1+8 【考点】数列递推式 【分析】由条件可知 an=8， bn+1=+4， cn+1=+4，两式相减求得 cn+1 bn+1=（ cn bn）， c1 b1= 4， cn bn是以 4 为首项，以为公比的等比数列，求得通项公式；两式相加，利用数学归纳法证明： cn+bn=16，将 cn=16 bn代入通项公式，即 可求得 bn 【解答】解：由 a1=8， an+1=an=8， bn+1=+4， cn+1=+4， cn+1 bn+1=（ cn bn）， c1 b1=6 10= 4， cn bn是以 4 为首项，以为公比的等比数列， cn bn=（ 4） （） n 1， cn+1+bn+1=（ cn+bn） +8， c1+b1=16 ， c2+b2=16 ， c3+b3=16， 猜想： cn+bn=16， 用数学归纳法证明： 16 / 23 当 n=1时， c1+b1=16，结论成立， 假设当 n=k时结论 成立，即 ck+bk=16， 那么当 n=k+1时， ck+1+bk+1=（ ck+bk） +8=16，即当 n=k+1时结论也成立， 由 得：当 n=N*时， cn+bn=16 恒成立， 将 cn=16 bn代入 cn bn=（ 4） （） n 1， 解得： bn=2 （） n 1+8， 故答案为： bn=2 （） n 1+8 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知，是夹角为 60 的单位向量，且， （ 1）求； （ 2）求的夹角 【考点】平面向量 数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角 【分析】（ 1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可 （ 2）利用向量数量积公式变形，求出的夹角余弦值，再求出夹角 【解答】解：（ 1）求 = 6+11cos60+2= （ 2） = 同样地求得 =所以 cos =， 17 / 23 又 0 ，所以 = 18一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行（ 2 2）nmile 到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15 的方向航行 4nmile到达海岛 c （ 1）求 Ac的长； （ 2）如果下次航行直接从 A 出发到达 c，求 cAB 的大小？ 【考点】解三角形的实际应用 【分析】由题意，结合图形知，在 ABc 中， ABc=120 ，AB=2 2， Bc=4，故可由余弦定理求出边 Ac的长度，由于此时在 ABc 中， ABc=120 ，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出 cAB 的正弦值，即可得出结论 【解答】解：由题意，在 ABc 中， ABc=180 75+15=120 ， AB=2 2， Bc=4， 根据余弦定理得 Ac2=AB2+Bc2 2ABBc cosABc= （ 2 2） 2+42+（ 2 2）4=24 ， 所以 Ac=2 根据正弦定理得， sinBAc= ， cAB=45 19在 ABc 中，内角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c，已18 / 23 知 a、 b、 c 成等比数列，且 cosB= （ ）求 +的值； （ ）设 =，求 a、 c 的值 【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用 【分析】（ ）由 cosB=， B （ 0， ）可得由 a、 b、 c成等比数列，可得 b2=ac ， 再 利 用 正 弦 定 理 可 得sinAsinc=sin2B 于是可得 +=； （ ）设 =，则，可得 ac=2再利用余弦定理可得：b2=a2+c2 2accosB 化简整理，联立即可得出 【解答】解：（ ）由 cosB=， B （ 0， ） = a 、 b、 c 成等比数列， b2=ac ， 由正弦定理可得 sinAsinc=sin2B += ； （ ）设 =，则， ，化为 ac=2 由余弦定理可得： 2=ac=b2=a2+c2 2accosB=，化为 a2+c2=5 联立，解得或 即 a=2， c=1，或 a=1， c=2 20如图，在 RtAoB 中， oAB= ，斜边 AB=4， RtAoc 通过 RtAoB 以直线 Ao为轴旋转得到，且二面角 B Ao c 是19 / 23 直二面角动点 D 在斜边 AB上 （ ）求证：平面 coD 平面 AoB； （ ）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 Ao 与 cD 所成角的正切值； （ ）求 cD与平面 AoB所成角最大时该角的正切值 【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】（ ）欲证平面 coD 平面 AoB，先证直线与平面垂直，由题意可得： coAo ， BoAo ， coBo ，所以 co 平 面AoB，进一步易得平面 coD 平面 AoB （ ）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由 D 为 AB 的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作 DEoB ，垂足为 E，连接 cE，则 DEAo ，所以 cDE 是异面直线 Ao 与 cD所成的角 （ ）由第（ ）问可知： co 平面 AoB，所以 cDo 是 cD与平面 AoB所成的角， tancDo= ，当 oD最小时， tancDo最大 【解答】（ I）证明：由题意， coAo ， BoAo ， Boc 是二面角 B Ao c 是直二面角， 又 二面角 B Ao c 是直二面角 ， coBo ， 又 AoBo=o ， 20 / 23 co 平面 AoB， 又 co平面 coD， 平面 coD 平面 AoB （ II）解：作 DEoB ，垂足为 E，连接 cE（如图），则 DEAo ， cDE 是异面直线 Ao与 cD所成的角 在 RtcoE 中， co=Bo=2， oE=Bo=1， cE= 又 DE=Ao= cD=2 在 RtcDE 中， coscDE= 异面直线 Ao 与 cD所成角的余弦值大小为 （ III）由（ I）知， co 平面 AoB， cDo 是 cD与平 面 AoB所成的角 且 tancDo= 当 oD最小时， cDo 最大，这时， oDAB ，垂足为 D， oD=， tancDo=， cD 与平面 AoB 所成角的最大时的正切值为 21已知定义在 R 上的函数 f（ x） =x2（ 3 a） x+2（ 1a）（其中 aR ） （ ）解关于 x 的不等式 f（ x） 0； 21 / 23 （ ）若不等式 f（ x） x 3 对任意 x 2 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质 【分析】（ I）比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题 即可； （ II）利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出 a 的范围 【解答】解：（ ） f （ x） =（ x 2） x（ 1 a） ， f （ x） 0（ x 2） x（ 1 a） 0， 当 a 1 时，不等式的解集为（ ， 2） （ 1 a， + ）； 当 a= 1 时，不等式的解集为（ ， 2） （ 2， + ）； 当 a 1 时，不等式的解集为（ ， 1 a） （ 2， + ） （ ）不等式 f（ x） x 3，即恒成立