高三数学一轮复习《直线与圆圆与圆的位置关系》理.ppt

理数 课标版,第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系: 相交 、 相切 、 相离 . (2)两种研究方法:,教材研读,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是 ( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交 D.相离 答案 B 依题意知圆心为(-1,0),到直线x-y+1=0的距离d= =0, 所以直线过圆心.,2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切,答案 B 圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=22,|O1O2|= = ,|2-1|O1O2|2+1,两圆相交.故选B.,3.过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为( ) A. B.2 C. D.2 答案 D 直线的方程为y= x,圆心为(0,2),半径r=2.由点到直线的距 离公式得弦心距等于1,从而所求弦长等于2 =2 .故选D.,4.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P处的切线方程为 . 答案 x+2y-5=0 解析 设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方 程为x2+y2=5. 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则 =(x-1,y-2).由 (O为坐标原点),得 =0,即1(x-1)+2(y-2)=0,亦即x+2y-5=0, 所求切线方程为x+2y-5=0.,考点一 直线与圆的位置关系 典例1 (1)(2016豫南九校联考)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的 位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 (2)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是 .,考点突破,解析 (1)解法一:由 消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,则=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+200, 所以直线l与圆C相交.故选A.,答案 (1)A (2)k(- , ),解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d= 1 ,故直线l与圆相交, 选A. 解法三:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的 内部,所以直线l与圆C相交.故选A.,(2)解法一:将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没有公 共点的充要条件是=16k2-12(k2+1)1,即 1,解得k(- , ).,方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易 表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦 琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根 据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决. 1-1 在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0 (mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y2=2 解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从 而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为 = , 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,考点二 圆的切线、弦长问题 典例2 (1)(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆 (x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或-,(2)(2016课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A, B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 .,答案 (1)D (2)4 解析 (1)由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直 线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0. 反射光线所在直线与圆相切, =1, 解得k=- 或k=- . (2)把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆心到 直线x-y+2a=0的距离d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2=2,则r2 =4,所以圆的面积S=r2=4.,方法技巧 (1)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切 线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外, 则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线. (2)求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑构造直角三角形,利用勾股定 理来解决问题. 2-1 (1)(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+ 1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2 (2)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得 的弦长为2 ,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 .,答案 (1)C (2)x+y-3=0,解析 (1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直 线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于 是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C. (2)由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意 知 +2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以3+0+m=0,即 m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.,考点三 圆与圆的位置关系 典例3 已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解析 (1)证明:圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1= ,圆C2的圆心为C2(5,6), 半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2= +4,|r1-r2|=4- ,|r1-r2|dr1+r 2,圆C1和C2相交. (2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0, 两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离= =3,故公共弦长为2 =2 .,规律总结 1.判断两圆位置关系的方法 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判 断,一般不用代数法.,2.两圆相交时,公共弦所在直线方程的求法 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 若两圆相交,则有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.,3.两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长 ,半径r构成直角三 角形,利用勾股定理求解.,3-1 (2016山西太原模拟)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切, 则m= ( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 答案 C 圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+ (y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2= (m25).从而