2016年济南市高二数学下期末试卷(理有答案和解释）

1 / 23 2016 年济南市高二数学下期末试卷 (理有答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m XX-2016 学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题 1已知复数 z 满足（ 3+i） z=4 2i，则复数 z=（ ） A 1 iB 1+ic 2+iD 2 i 2一个物体的运动方程为 s=（ 2t+3） 2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在第 2 秒末的瞬时速度是（ ） A 20米 /秒 B 28米 /秒 c 14米 /秒 D 16米 /秒 3下 面是一个 22 列联表 y1y2总计 x1a2271 x242529 总计 b47100 则 a b 的值为（ ） A 4B 4c 3D 3 4若（ 3x2 2mx） dx=34，则 m 等于（ ） 2 / 23 A 2B 2c 3D 3 5在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=2n2+n （ nN* ）的第（ ii）步中，假设 n=k时原等式成立，那么在 n=k+1时需要证明的等式为（ ） A 1+2+3+2k+2 （ k+1） =2k2+k+2（ k+1） 2+（ k+1） B 1+2+3+2k+2 （ k+1） =2（ k+1） 2+（ k+1） c 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1） =2k2+k+2（ k+1） 2+（ k+1） D 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1） =2（ k+1） 2+（ k+1） 6已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2 ），若 P（ 1 X2 ） =，则 P（ X5 ）等于（ ） A 7已知离散型随机变量 X 的分布列如表：若 E（ X） =0， D（ X） =1，则 P（ X 1）等于（ ） X 1012 Pabc A B c D 8已知函数 f（ x） =x3lnx+m有 2个零点，则 m 的取值范围是（ ） A（ ，） B（， + ） c（ ，） D（， + ） 9在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有 5 个红球和 10 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出 3 个球，至少抽到 2 个红球就中奖，则中3 / 23 奖的概率为（ ） A B c D 10已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， + ）上递减，若不等式 f（ x3 x2+a） +f（ x3+x2 a） 2f （ 1）对 x0 ，1恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A ， 1B ， 1c 1， 3D（ 1 二、填空题 11设 i 是虚数单位，若复数 a+（ aR ）是纯虚数，则 a的值为 12（ 1+x） 8 的展开式中 x6的系数是 13观察下面一组等式： S1=1， S2=2+3=5， S3=4+5+6=15， S4=7+8+9+10=34， S5=11+12+13+14+15=65， 根据上面等式猜测 S2n 1=（ 2n 1）（ an2+bn+c），则abc= 14将两名男生、两名女生分到三 个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，4 / 23 则不同分法的种数为 15已知数列 an的前 n项和为 Sn， a4=7且 4Sn=n（ an+an+1），则 Sn 8an的最小值为 三、解答题 16（ 1）用分析法证明： +； （ 2）用反证法证明：，不可能成等差数列 17设函数 f（ x） =x2 8lnx+3 （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， 4）处的切线方程； （ 2）求 f（ x）的单调区间 18 5 位大学生站在一排照相 （ 1）若其 中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？ （ 2）若上述 5 位大学生中有 3 位女大学生和 2 位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？ 19某地区 XX年至 XX年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 XXXXXXXXXXXXXX 年份代号 t1234567 人均纯收入 （ 1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ 2）利用（ 1）中的回归方程，分析 XX年至 XX年该地区农5 / 23 村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入 20为了解人们对于国家新颁布 的 “ 生育二胎放开 ” 政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及支持 “ 生育二胎 ” 人数如表： 年龄 5， 15） 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55，65） 频数 510151055 支持 “ 生育二胎 ”4512821 （ 1）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有的99%把握认为以 45岁为分界点对 “ 生育二胎放开 ” 政策的支持度有差异： （ 2）若对年龄在 5， 15）， 35， 45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的 4 人不支持 “ 生育二胎 ” 人数为 ，求 随机变量 的分布列及数学期望； 年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45岁的人数合计 支持 a=c= 不支持 b=d= 合计 参考数据： P（ k2k ） 6 / 23 k2= 21已知 f（ x） =exlnx （ 1）求 y=f（ x） f （ x）的单调区间与极值； （ 2）证明： f （ x） 1 XX-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知复数 z 满足（ 3+i） z=4 2i，则复数 z=（ ） A 1 iB 1+ic 2+iD 2 i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算性质即可得出 【解答】解： （ 3+i） z=4 2i， z=1 i， 故选： A 2一个物体的运动方程为 s=（ 2t+3） 2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在第 2 秒末的瞬时速度是（ ） A 20米 /秒 B 28米 /秒 c 14米 /秒 D 16米 /秒 【考点】导数的几何意义 7 / 23 【分析】求函数的导数，利用导数的物理意义即可得到结论 【解答】解： s=s （ t） =（ 2t+3） 2， s （ t） =4（ 2t+3）， 则物体在 2 秒末的瞬时速度 s （ 2） =28米 /秒， 故选： B 3下面是一个 22 列联表 y1y2总计 x1a2271 x242529 总计 b47100 则 a b 的值为（ ） A 4B 4c 3D 3 【考点】独立性检验的应用 【分析】由列联表中数据的关系，直接求得答案 【解答】解：由列联表中数据的关系，可知： a+22=71， a+4=b 解得： a=49， b=53， a b= 4 故选： A 4若（ 3x2 2mx） dx=34，则 m 等于（ ） A 2B 2c 3D 3 8 / 23 【考点】定积分 【分析】根据定积分的计算法则计算即可 【解答】解：（ 3x2 2mx） dx=（ x3 mx2） |=19 5m=34， m= 3， 故选： D 5在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=2n2+n （ nN* ）的第（ ii）步中，假设 n=k时原等式成立，那么在 n=k+1时需要证明的等式为（ ） A 1+2+3+2k+2 （ k+1） =2k2+k+2（ k+1） 2+（ k+1） B 1+2+3+2k+2 （ k+1） =2（ k+1） 2+（ k+1） c 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1） =2k2+k+2（ k+1） 2+（ k+1） D 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1） =2（ k+1） 2+（ k+1） 【考点】数学归纳法 【分析】由数学归纳法可知 n=k 时， 1+2+3+2k=2k2+k ，到 n=k+1时，左端为 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1），从而可得答案 【解答】解： 用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=2n2+n时， 当 n=1左边所得的项是 1+2； 假设 n=k时，命题成立， 1+2+3+2k= 2k2+k， 则当 n=k+1时，左端为 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1）， 9 / 23 从 “kk+1” 需增添的项是 2k+1+2（ k+1）， 1+2+3+2k+2k+1+2 （ k+1） =2（ k+1） 2+（ k+1） 故选： D 6已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2 ），若 P（ 1 X2 ） =，则 P（ X5 ）等于（ ） A 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2 ），得到曲线关于 x=2对称，根据曲线的对称性得到结论 【解答】解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2 ）， 曲线关于 x=2对称， P （ 1 X2 ） =， P （ 2 X5 ） =， P （ X5 ） = = 故选： c 7已知离散型随机变量 X 的分布列如表：若 E（ X） =0， D（ X） =1，则 P（ X 1）等于（ ） X 1012 Pabc A B c D 10 / 23 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【分析】由 E（ X） =0， D（ X） =1，结合离散型随机变量 X的分布列性质列出方程组，求出 a， b， c，由此能求出 P（ X 1）的值 【解答 】解： E （ X） =0， D（ X） =1， 由离散型随机变量 X 的分布列，得：，且 a0 ， b0 ， c0 ， 解得 a=， b=， c=， P （ X 1） =P（ X= 1） +P（ X=0） =+= 故选： D 8已知函数 f（ x） =x3lnx+m 有 2个零点，则 m 的取值范围是（ ） A（ ，） B（， + ） c（ ，） D（， + ） 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最 值即可 【解答】解：由 f（ x） =x3lnx+m=0 得 x3lnx= m， 设 g（ x） =x3lnx，函数的定义域为（ 0， + ）， 则 g （ x） =x2（ 3lnx+1）， 由 g （ x） 0 得 x， 由 g （ x） 0 得 0 x， 11 / 23 即当 x=时，函数 g（ x）取得极小值同时也是最小值 g（） =， 要使函数 f（ x） =x3lnx+m 有 2 个零点，等价为方程 x3lnx= m 有两个根， 则 m，即 m， 故实数 m 的取值范围是（ ，）， 故选： c 9在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有 5 个红球和 10 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出 3 个球，至少抽到 2 个红球就中奖，则中奖的概率为（ ） A B c D 【考点】古典概型及其概率计算公式 【分析】设抽到红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，中奖的概率为 P（ X2 ） =P（ X=2） +P（ X=3），由此能求出结果 【解答】解：设抽到红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布， 中奖的概率为 P（ X2 ） =P（ X=2） +P（ X=3） =+= 故选： B 10已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， + ）上递减，若 不等式 f（ x3 x2+a） +f（ x3+x2 a） 2f （ 1）对 x0 ，12 / 23 1恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A ， 1B ， 1c 1， 3D（ 1 【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可 【解答】解： 定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， + ）上递减， 不等式 f（ x3 x2+a） +f（ x3+x2 a） 2f （ 1）等价为 2f（ x3 x2+a） 2f （ 1） 即 f（ x3 x2+a） f （ 1）对 x0 ， 1恒成立， 即 1x3 x2+a1 对 x0 ， 1恒成立， 即 1 ax3 x21 a 对 x0 ， 1恒成立， 设 g（ x） =x3 x2，则 g （ x） =3x2 2x=x（ 3x 2）， 则 g（ x）在 0，）上递减，在（， 1上递增， g （ 0） =g（ 1） =0， g（） =， g （ x） ， 0， 即即，得 a1 ， 故选： B 二、填空题 11设 i 是虚数单位，若复数 a+（ aR ）是纯虚数，则 a的值为 13 / 23 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 a+，又已知复数 a+（ aR ）是纯虚数，得实部等于 0，虚部不等于0，求解即可得答案 【解答】解：复数 a+=， 由复数 a+（ aR ）是纯虚数， 得，即 a= 故答案为： 12（ 1+x） 8 的展开式中 x6的系数是 28 【考点】二项式系数的性质 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 6，求出对应的系数即可 【解答】解：（ 1+x） 8 的展开式的通项公式为 Tr+1=xr， 令 r=6，得展开式中 x6的系数是 =28 故答案为： 28 13观察下面一组等式： S1=1， S2=2+3=5， S3=4+5+6=15， 14 / 23 S4=7+8+9+10=34， S5=11+12+13+14+15=65， 根据上面等式猜测 S2n 1=（ 2n 1）（ an2+bn+c），则abc= 160 【考点】归纳推理 【分析】利用所给等式，对猜测 S2n 1=（ 2n 1）（ an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论 【解答】解：由题意， a=4 ， b= 8， c=5， abc= 160 故答案为： 160 14将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 30 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】由题意可以分两类，两名男生一组，两名女生各一组，或 1 名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，根据分类计数原理可得 【解答】解：由题意可知， 4 人只能分为；两名男生一组，两名女生各一组， 15 / 23 或 1 名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组， 故有 A33（ 1+c21c21） =30种， 故答案为： 30 15已知数列 an的前 n项和为 Sn， a4=7且 4Sn=n（ an+an+1），则 Sn 8an的最小值为 56 【考点】数列的求和 【分析】 4S3=3（ a3+a4） =3（ a3+7）， 4S2=2（ a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得： a1=1， a2=3， a3=5， a4=7， ，可得 an=2n 1， Sn代入 4Sn=n（ an+an+1）验证成立，利用二次函数的单调性即可得出 【解答】解： 4S3=3 （ a3+a4） =3（ a3+7）， 4S2=2（ a2+a3）， 4S1=4a1=a1+a2， 解得： a1=1， a2=3， a3=5， a4=7， ， an=2n 1 可得 Sn=n2代入 4Sn=n（ an+an+1）验证成立， Sn 8an=n2 8（ 2n 1） =（ n 8） 2 56， 当 n=8时，Sn 8an取得最小值 56 故答案为： 56 三、解答题 16（ 1）用分析法证明： +； （ 2）用反证法证明：，不可能成等差数列 16 / 23 【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法 (选修） 【分析】（ 1）寻找使不等式成立的充分 条件，要是不等式成立，只要 11+2 11+2，只要证，即证 30 24； （ 2）假设，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得 2=+，能推出 6=12（矛盾） 【解答】证明：（ 1）要证 +，只要证 11+2 11+2， 只要证，即证 30 24 而 30 24显然成立，故原不等式成立 （ 2）假设：，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得 2=+， 20=2+6+2 ， 12=2 ， 6=12 （矛盾），故假设不成立， ，这三个数不可能成等差数列 17设函数 f（ x） =x2 8lnx+3 （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， 4）处的切线方程； （ 2）求 f（ x）的单调区间 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】（ 1）依题意，可求得 f （ 1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（ 1， 4）处的切线方程； （ 2）通过 f （ x） 0 可求其递增区间，通过 f （ x）0 可求其单调减区间 17 / 23 【解答】解：（ 1） f （ x） =x2 8lnx+3， f （ x） =（ x 0）， f （ 1） = 6， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， 4）处的切线方程为 y 4= 6（ x 1），即 6x+y 10=0； （ 2）令 f （ x） 0，可得 x 2， f （ x） 0，可得 0x 2， 函数的单调递增区间是（ 2， + ），单调递减区间是（ 0，2） 18 5 位大学生站在一排照相 （ 1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？ （ 2）若上述 5 位大学生中有 3 位女大学生和 2 位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？ 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】（ 1） 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起 ，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外 3 个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果 （ 2）先排 3 位女大学生，然后把 2 位男大学生插空，由分步计数原理可得 18 / 23 【解答】解：（ 1） 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起， 首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外 3 个元素排列， 再者甲和乙之间还有一个排列， 共有 A44A22=48； （ 2）先排 3 位女大学生的排法有 A33=6 种，然后把 2 位男大学生插空，有 A42=12 种，由分步计数原理可得，共有612=72 种方法 19某地区 XX年至 XX年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 XXXXXXXXXXXXXX 年份代号 t1234567 人均纯收入 （ 1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （ 2）利用（ 1）中的回归方程，分析 XX年至 XX年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2016 年农村居民家庭人均纯收入 【考点】线性回归方程 【分析】（ 1）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求 y 关于 t 的线性回归方程； 19 / 23 （ 2）根据条件进行估计预测即可得到结 论 【解答】解：（ 1）由题意得 =4， =， b= a= 4= 即 y 关于 t 的线性回归方程为 y=+； （ 2） 线性回归方程为 y=+；斜率 k= 0， 可知 XX 年至 XX 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加千元， 当 t=8时， y=8+= ； 预测该地区 2016年农村家庭人均纯收入为千元 20为了解人们对于国家新颁布的 “ 生育二胎放开 ” 政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及支持 “ 生育二胎 ” 人数如表： 年龄 5， 15） 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55，65） 频数 510151055 支持 “ 生育二胎 ”4512821 （ 1）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有的99%把握认为以 45岁为分界点对 “ 生育二胎放开 ” 政策的支持度有差异： （ 2）若对年龄在 5， 15）， 35， 45）的被调查人中各随机20 / 23 选取两人进行调查，记选中的 4 人不支持 “ 生育二胎 ” 人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望； 年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45岁的人数合计 支持 a=c= 不支持 b=d= 合计 参考数据： P（ k2k ） k2= 【考点】独立性检验的应用 【分析】（ ）根据统计数据，可得 22 列联表，根据列联表中的数据，计算 k2的值，即可得到结论； （ ） 的可能取值有 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，可得 的分布列及数学期望 【解答】解：（ ） 22 列联表