2016镇海区九年级数学上册期末试卷(含答案和解释)

1 / 32 2016 镇海区九年级数学上册期末试卷 (含答案和解释 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m XX-2016 学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1抛物线 y= x2+1 的顶点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（， 1） c（， 1） D（ 2， 1） 2在半径为 12 的 o 中， 60 圆心角所对的弧长是（ ） A 6B 4c 2D 3如图，四边形 ABcD是 o 的内接四边形， B=70 ，则D 的度数是（ ） A 110B 90c 70D 50 4数学课上，老师让学生尺规作图画 RtABc ，使其斜边AB=c，一条直角边 Bc=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断 AcB 是直角的依据是（ ） A勾股定理 2 / 32 B直径所对的圆周角是直角 c勾股定理的逆定理 D 90 的圆周角所对的弦是直径 5二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A a 0B b 0c b2 4ac 0D a+b+c 0 6如图所示在等分的圆形纸片上作随机扎针实脸， 针头扎在阴影区城内的概率为（ ） A B c D 7若二次函数 y=ax2+c 的图象经过点 P（ 1， 3），则该图象必经过点（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3） c（ 3， 1） D（ 3， 1） 8已知 a=b，那么 a： b=（ ） A 10： 3B 3： 10c 2： 15D 15： 2 9如图， AB 为 o 的直径， P 点在 AB 延长线上， Pm 切 o于 m 点，若 oA=a， Pm=a，那么 PmB 的周长为（ ） A 2aB 2ac aD（ 2+） a 10在 RtABc 中， c=90 ， AB=5， Bc=4，那么 cosA 为（ ） 3 / 32 A B c D 11如图， o 是 ABc 的外接圆， AD是 o 的直径， EA是o 的切线若 EAc=120 ，则 ABc 的度数是（ ） A 80B 70c 60D 50 12若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴有唯一公共点，且过点 A（ m，n）， B（ m 8， n），则 n=（ ） A 12B 14c 16D 18 二、填空题 13已知 0 ，则的值为 14二次函数 y=x2 2x+3的最小值是 15下列 4 个事件： 异号 两数相加，和为负数； 异号两数相减，差为正数； 异号两数相乘，积为正数； 异号两数相除，商为负数必然事件是 ，不可能事件是 （将事件的序号填上即可） 16如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点 A、 B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D，半径为 ocAB 交外圆于点 c测得 cD=10cm， AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是 4 / 32 17如图，网格中的四个格点组成菱形 ABcD，则 tanDBc的值为 18如图，已知点 D 在锐角三角形 ABc的 Bc边上， AB Ac，点 E、 F 分别是 ABD 、 AcD 的外心，且 EF=Bc，那么 ADc= 度 三、解答题 19计算： 20如图，在 ABc 中，已知 DEBc ， AD=4， DB=8， DE=3 （ 1）求的值； （ 2）求 Bc的长 21有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为米，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中 （ 1）求这条抛物线所对应的函数关系式 （ 2）如图，在对称轴右边 1m处，桥洞离桥面的高是多少？ 22甲同学做抛正四面体骰子 （如图：均匀的正四面体形状，各面分别标有数字 1、 2、 3、 4）实验，共抛了 60 次，向下5 / 32 面数字出现的次数如表： 向下面数字 1234 出现次数 11161815 （ 1）计算此次实验中出现向下面数字为 4 的频率； （ 2）如果甲、乙两同学各抛一枚这样的骰子，请用表格或树状图表示：两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果，并求出和为 3 的倍数的概率 23如图， A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可从 B 处乘坐缆车先到达小观景平台 DE 观景，然后再由 E 处继续乘坐缆车到达 A 处，返程时从 A 处乘坐升降电梯直接到达 c 处，已知 ： AcBc 于 c， DEBc ， Bc=110 米， DE=9米， BD=60米，=32 ， =68 ，求 Ac的高度（参考数据： sin32 ；cos32 ； tan32 ； sin68 ； cos68 ； tan68 ） 24教材的课题学习要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠： 请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题： （ 1）如果设正三角形 ABc的边长为 a，那么 co= （用含a 的式子表示）； （ 2）根据折叠性质可以知道 cDE 的形状为 三角形； 6 / 32 （ 3）请同学们利用（ 1）、（ 2）的结论，证明六边形 kHGFED是一个六边形 25如图，等边三角形 AcD 内接于 o ，直径 AB 与弦 cD 交于点 F，过点 B 作 o 的切线 Bm，交 AD的延长线于点 E （ 1）求证：弦 cDBm ； （ 2）已知 DE=2，连结 oE，求 oE的长 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a（ x 1） 2+4与 x 轴交于点 A、 B 两点，与 y 轴交于点 c，且点 B 的坐标为（ 3， 0），点 P 在这条抛物线的第一象限图象上运动过点 P作 y 轴的垂线与直线 Bc 交于点 Q，以 PQ 为边作 RtPQF ，使 PQF =90 ，点 F 在点 Q 的下方，且 QF=1，设线段 PQ 的长度为 d，点 P 的横坐标为 m （ 1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （ 2）求 d 与 m 之间的函数关系式； （ 3）当 RtPQF 的边 PF被 y 轴平分时，求 d 的值； （ 4）以 oB为直角边作等腰直角三角形 oBD，其中点 D 在第一象限，直接写出点 F 落在 oBD 的边上时 m 的值 XX-2016学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数7 / 32 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1抛物线 y= x2+1 的顶点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（， 1） c（， 1） D（ 2， 1） 【考点】二次函数的性质 【分析】利用抛物线顶点坐标公式可求得答案 【解答】解： = =0， =1， 顶点坐标为（ 0， 1）， 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标公式是解题的关键 2在半径为 12 的 o 中， 60 圆心角所对的弧长是（ ） A 6B 4c 2D 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式计算即可 【解答】解： L=4 ， 故选 B 【点评】本题主要考查了 弧长公式 8 / 32 3如图，四边形 ABcD是 o 的内接四边形， B=70 ，则D 的度数是（ ） A 110B 90c 70D 50 【考点】圆内接四边形的性质 【 分 析 】 先 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 对 角 互 补 得 出D+B=180 ，即可解答 【解答】解： 四边形 ABcD是 o 的内接四边形， D+B=180 ， D=180 70=110 ， 故选： A 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键 4数学课上，老师 让学生尺规作图画 RtABc ，使其斜边AB=c，一条直角边 Bc=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断 AcB 是直角的依据是（ ） A勾股定理 B直径所对的圆周角是直角 c勾股定理的逆定理 9 / 32 D 90 的圆周角所对的弦是直径 【考点】作图 复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理 【分析】由作图痕迹可以看出 AB 是直径， AcB 是直径所对的圆周角，即可作出判断 【解答】解：由作图痕迹可以看出 o 为 AB 的中点，以 o 为圆心， AB 为直径作圆，然后以 B 为圆心 Bc=a 为半径花弧与圆 o 交于一 点 c，故 AcB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断 AcB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角 故选： B 【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键 5二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A a 0B b 0c b2 4ac 0D a+b+c 0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】计算题 【分析】根据抛物线的开口方向对 A 进行判断；根据抛物线的对称轴位置对 B 进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数对 c 进行判断；根据自变量为 1 所对应的函数值为正数对 D10 / 32 进行判断 【解答】解： A、抛物线开口向下，则 a 0，所以 A 选项的关系式正确； B、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， a、 b 异号，则 b 0，所以 B 选项的关系式正确； c、抛物线与 x 轴有 2 个交点，则 =b2 4ac 0，所以 D 选项的关系式正确； D、当 x=1时， y 0，则 a+b+c 0，所以 D 选项的关系式错误 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（ a0 ），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 和大小，当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（ 0， c）抛物线与 x 轴交点个数由 决定： =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =b2 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 11 / 32 6如图所示在等分的圆形纸片上作随机扎针实脸， 针头扎在阴影区城内的概率为（ ） A B c D 【考点】几何概率 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的图形是整个圆而满足条件的事件对应的是阴影部分，根据几何概型概率公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， 试验包含的所有事件是对应的图形是整个圆， 而满足条件的事件是事件对应的是阴影部分， 由几何概型概率公式得到 P= 故选 c 【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到几何概型和古典概型是高中必 修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题 7若二次函数 y=ax2+c 的图象经过点 P（ 1， 3），则该图象必经过点（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3） c（ 3， 1） D（ 3， 1） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 12 / 32 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性即可得出结论 【解答】解： 二次函数 y=ax2+c 的对称轴为 y 轴，图象经过点 P（ 1， 3）， 则该图象必经过点（ 1， 3） 故选 B 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征， 熟知二次函数的对称性是解答此题的关键 8已知 a=b，那么 a： b=（ ） A 10： 3B 3： 10c 2： 15D 15： 2 【考点】比例的性质 【分析】设 a=5k，则 b=k，根据比例的性质即可求得 【解答】解：设 a=5k， a=b ， b=k ， = ， 故选 A 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键 9如图， AB 为 o 的直径， P 点在 AB 延长线上， Pm 切 o13 / 32 于 m 点，若 oA=a， Pm=a，那么 PmB 的周长为（ ） A 2aB 2ac aD（ 2+） a 【考点】切线的性质 【分析】首先连接 om，由 Pm切 o 于 m 点，若 oA=a， Pm=a，可求得 oP 的长，继而求得 BP 的长，即可得 oB=BP，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得 Bm 的长，则可求得 PmB 的周长 【解答】解：连接 om， Pm 切 o 于 m 点， omPm ， omP=90 ， om=oA=a ， Pm=a， oP=2a ， oB=oA=a ， BP=oP oB=2a a=a， oB=oP=om ， mB=oP=a ， PmB 的 周长为： Bm+BP+Pm=a+a+a=（ 2+） a 故选 D 14 / 32 【点评】此题考查了切线的性质以及直角三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 10在 RtABc 中， c=90 ， AB=5， Bc=4，那么 cosA 为（ ） A B c D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理求出 Ac，根据余弦的定义计算即可 【解答】解： c=90 ， AB=5， Bc=4， Ac=3 ， cosA= ， 故选： B 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐 角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做 A 的余弦是解题的关键 11如图， o 是 ABc 的外接圆， AD是 o 的直径， EA是o 的切线若 EAc=120 ，则 ABc 的度数是（ ） A 80B 70c 60D 50 【考点】切线的性质 【分析】根据 EA 是 o 的切线， AD 是 o 的直径，得到15 / 32 EAD=90 ，由 EAc=120 ，所以 DAc=EAc EAD=30 ，根据 AD是 o 的直径，所以 AcD=90 ，进而得到 ADc=180 AcD DAc=60 ，根据圆周角定理得A Bc=ADc=60 【解答】解： EA 是 o 的切线， AD是 o 的直径， EAD=90 ， EAc=120 ， DAc=EAc EAD=30 ， AD 是 o 的直径， AcD=90 ， ADc=180 AcD DAc=60 ， ABc=ADc=60 （圆周角定理）， 故选： c 【点评】本题考查切线的性质和圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理的内容 12若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴有唯一公共点，且过点 A（ m，n）， B（ m 8， n），则 n=（ ） A 12B 14c 16D 18 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】由题意 b2 4c=0，得 b2=4c，又抛物线过点 A（ m，n）， B（ m 8， n），可知 A、 B 关于直线 x=对称，所以 A（16 / 32 +4， n）， B（ 4， n），把点 A 坐标代入 y=x2+bx+c，化简整理即可解决问题 【解答】解：由题意 b2 4c=0， b2=4c ， 又 抛物线过点 A（ m， n）， B（ m 8， n）， A 、 B 关于直线 x=对称， A （ +4， n）， B（ 4， n）， 把点 A 坐标代入 y=x2+bx+c， n=（ +4） 2+b（ +4） +c= b2+16+c， b2=4c ， n=16 故选 c 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是记住 =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点， =b2 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点， =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点，属于中考常考题型 二、填空题 13已知 0 ，则的值为 【考点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，可用 a 表示 b、 c，根据分式的性质，可得答案 17 / 32 【解答】解：由比例的性质，得 c=a， b=a = 故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出 a 表示 b、 c 是解题关键，又利用了分式的性质 14二次函数 y=x2 2x+3的最小值是 2 【考点】二次函数的最值 【分析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答 【解答】解： 二次函数 y=x2 2x+3可化为 y=（ x 1） 2+2的形式， 二次函数 y=x2 2x+3的最小值是 2 【点评】本题由于函数的二次项系数较小，所以可把函数解析式化为顶点式即 y=a（ x+h） 2+k 的形式解答 15下列 4 个事件： 异号两数相加，和为负数； 异号两数相减，差为正数； 异号两数相乘，积为正数； 异号两数相除，商为负数必然事件是 ，不可能事件是 （将事件的序号填上即可） 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，不可能事件就是一18 / 32 定不会发生的事件，依据定义即可判断 【解答】解： 异号两数相加，和为负数，是随机事件； 异号两数相减，差为正数，是随机事件； 异号两数相乘，积为正数，是不可能事件； 异号两数相除，商为负数，是 必然事件 故必然事件是 ，不可能事件是 故答案是： ； 【点评】本题考查了必然事件和不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 16如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点 A、 B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D，半径为 ocAB 交外圆于点 c测得 cD=10cm， AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是 50cm 【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质 【分析】根据垂径定理求得 AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径 【解答】解：如图，连接 oA， 19 / 32 cD=10cm ， AB=60cm， cDAB ， ocAB ， AD=AB=30cm ， 设半径为 r，则 oD=r 10， 根据题意得： r2=（ r 10） 2+302， 解得： r=50 这个车轮的外圆半径长为 50cm 故答案为： 50cm 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的 应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键 17如图，网格中的四个格点组成菱形 ABcD，则 tanDBc的值为 3 【考点】菱形的性质；解直角三角形 【专题】网格型 【分析】连接 Ac与 BD相交于点 o，根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AcBD ， Bo=BD， co=Ac，再利用勾股定理列式求出 Ac、 BD，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解 20 / 32 【解答】解：如图，连接 Ac与 BD相交于点 o， 四边形 ABcD是菱形， AcBD ， Bo=BD， co=Ac， 由勾股定 理得， Ac=3， BD=， 所以， Bo= ， co=3= ， 所以， tanDBc=3 故答案为： 3 【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 18如图，已知点 D 在锐角三角形 ABc的 Bc边上， AB Ac，点 E、 F 分别是 ABD 、 AcD 的外心，且 EF=Bc，那么 ADc= 30 度 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】先构造直角三角形，求出 BEA=60 ，进而用圆内接四边形的 性质即可得出 【解答】解：如图， 21 / 32 作 EHBc ， FGBc ， HG=Bc ， HG=EF ， 作 FmEH ， Fm=HG=EF ， mEF=30 ， BEA=60 ， 作内接四边形 ADBN， ADc=N ， N=BEA=30 ， ADc=30 故答案为 30 【点评】此题是三角形内接圆与内心，主要考查了直角三角形性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是作出辅助线 三、解答题 19计算： 【考点】特殊角的三角函数值；二次根式的加减法 【分析】将 sin60= ， tan30= 代入运算，然后将二次根式化简、合并即可 【解答】解：原式 = 22 / 32 = = 【点评】本题考查了二次根式的加减及特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值是需要同学们熟练记忆的内容 20如图，在 ABc 中，已知 DEBc ， AD=4， DB=8， DE=3 （ 1）求的值； （ 2）求 Bc的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】计算题 【分析】（ 1）先证明 ADEABc ，然后利用相似比可求出的值； （ 2）先证明 ADEABc ， 然后利用相似比可求出 Bc的长 【解答】解：（ 1） DEBc ， ADEABc ， = ； （ 2） DEBc ， ADEABc ， = ，即 =， Bc=9 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个23 / 32 三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长 21有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为米，桥洞离水面 的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中 （ 1）求这条抛物线所对应的函数关系式 （ 2）如图，在对称轴右边 1m处，桥洞离桥面的高是多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题 【分析】（ 1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为 y=a（ x 5） 2+4，将已知坐标代入关系式求出 a 的值 （ 2）对称轴右边 1 米处即 x=6，代入解析式求出 y=值 【解答】解：（ 1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（ 5， 4）， 所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为 y=a（ x 5） 2+4， 由图象知该函数过原点，将 o（ 0， 0）代入上式，得： 0=a（ 0 5） 2+4， 解得 a=， 故该二次函数解析式为 y=（ x 5） 2+4， 24 / 32 （ 2）对称轴右边 1 米处即 x=6，此时 y=（ 6 5） 2+4=， 因此桥洞离桥面的高 =米 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力 22甲同学做抛正四面体骰子（如图：均匀的正四面体形状，各面分别标有数字 1、 2、 3、 4）实验，共抛了 60 次，向下面数字出现的次数如表： 向下面数字 1234 出现次数 11161815 （ 1）计算此次实验中出现向下面数字为 4 的频率； （ 2）如果甲、乙两同学各抛一枚这样的骰子，请用表格或树状图表示：两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果，并求出和为 3 的倍数的概率 【考点】模拟实验；列表法与树状图法 【分析】（ 1）根据频率 =，计算即可 （ 2）用表格写出所有可能，再根据概率的定义计算即可 【解答】解：（ 1）出现向下面数字为 4 的频率为 = （ 2）两枚骰子向下面数字之和的所有等可能性结果见表格， 共 16种可能，和为 3 的倍数的有 5 种可能， 25 / 32 P （数字之和为 3 的倍数） = 【点评】本题考查频率、频数、总数的关系，概率、树状图、列表法等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于中考常考题型 23如图， A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可从 B 处乘坐缆车先到达小观景平台 DE 观景，然后再由 E 处继续乘坐缆车到达 A 处，返程时从 A 处乘坐升降电梯直接到达 c 处，已知： AcBc 于 c， DEBc ， Bc=110 米， DE=9米， BD=60米，=32 ， =68 ，求 Ac的高度（参考数据： sin32 ；cos32 ； tan32 ； sin68 ； cos68 ； tan68 ） 【考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 【分析】根据已知和余弦的概念求出 DF的长，得到 cG的长，根据正切的概念求出 AG的长，求和得到答案 【解答】解： cosDBF= ， BF=60=51 ， FH=DE=9， EG=Hc=110 51 9=50， tanAEG= ， AG=50=124 ， sinDBF= ， 26 / 32 DF=60= ， cG= ， Ac=AG+cG=124+= 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用， 掌握锐角三角函数的概念和坡角的概念是解题的关键，解答时注意：正确作出辅助线构造直角三角形准确运用锐角三角函数的概念列出算式 24教材的课题学习要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠： 请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题： （ 1）如果设正三角形 ABc 的边长为 a，那么 co= a （用含 a 的式子表示）； （ 2）根据折叠性质可以知道 cDE 的形状为 等边 三角形； （ 3）请同学们利用（ 1）、（ 2）的结论，证明六边形 kHGFED是一个六边形 【考点】 正多边形和圆；翻折变换（折叠问题） 【分析】（ 1）根据折叠的性质即可得到结论； （ 2）根据折叠的性质即可得到结论； 27 / 32 （ 3）由（ 2）知 cDE 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到 cD=cE=DE=cocos30=a ， 求得 ADE=BED=120 ， 同 理 可 得 ， AH=Ak=kH=a ，BG=BF=GF=a， ckH=BHk=120 ，由于 AB=Bc=Ac=a，于是得到结论 【解答】解：（ 1） 正三角形 ABc 的边长为 a， 由折叠的性质可知，点 o 是三角形的重心， co=a ； 故答案为： a； （ 2） cDE 为等边三角形； 故答案为：等边； （ 3）由（ 2）知 cDE 为等边三角形， cD=cE=DE=cocos30=a ， ADE=BED=120 ， 同理可得， AH=Ak=kH=a， BG=BF=GF=a， ckH=BHk=120 ， AB=Bc=Ac=a ， DE=Dk=kH=HG=GF=FE=a ，ADE=BED=ckH=BHk=cFG=AGF=120 ， 六边形 kHGFED 是一个正六边形 【点评】本题考查了正多形与圆，折叠的性质，三角形的重心的 性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键 28 / 32 25如图，等边三角形 AcD 内接于 o ，直径 AB 与弦 cD 交于点 F，过点 B 作 o 的切线 Bm，交 AD的延长线于点 E （ 1）求证：弦 cDBm ； （ 2）已知 DE=2，连结 oE，求 oE的长 【考点】切线的性质；等边三角形的性质 【分析】（ 1）根据切线的性质得到 ABBE ，根据等边三角形的性质得到 AD=Ac，由垂径定理得到 cDAB ，于是得到结论； （ 2）连接 oE，过 o 作 oNAD 于 N，由（ 1）知， AcD 是等边三角形，得到 DAc=6 0 又直角三角形的性质得到BE=AE， oN=Ao，设 o 的半径为： r 则 oN=r， AN=DN=r，由于得到 EN=2+， BE=AE=，在 RtDEF 与 RtBEo 中，由勾股定理列方程即可得到结论 【解答】（ 1）证明 AB 是 o 的直径， Bm是 o 的切线， ABBE ， ABc 是等边三角形， AD=Ac ， = ， cDAB ， cDBm ； 29 / 32 （ 2）解：连接 oE，过 o 作 oNAD 于 N，由（ 1）知，AcD 是等边三角形， DAc=60 AD=Ac ， cDAB ， D AB=30 ， BE=AE ， oN=Ao， 设 o 的半径为： r， oN=r ， AN=DN=r， EN=2+ ， BE=AE=， 在 RtNEo 与 RtBEo 中， oE2=oN2+NE2=oB2+BE2， 即（） 2+（ 2+） 2=r2+， r=2 ， oE2= （） 2+25=28， oE=2 【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾