2016青岛胶州高三数学(上)期末试卷(理含答案和解释)

1 / 24 2016青岛胶州高三数学 (上 )期末试卷 (理含答案和解释 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=（ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A iB 1+ic iD 1 i 2已知集合 m=x|x 2| 1， N=x|y=，则 mN （ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2c（ 2， 3） D 2， 3） 3已知函数 y=f（ x） x 是偶函数，且 f（ 2） =1，则 f（2） =（ ） A 3B 1c 1D 2 4若直线（ 1+a） x+y+1=0与圆 x2+y2 2x=0 相切，则 a 的值为（ ） A 1， 1B 2， 2c 1D 1 5四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） 2 / 24 A B 5c D 2 6将奇函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（ A0 ， 0， ）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ） A 2B 3c 4D 6 7已知函数 f（ x） =x2+cosx， f （ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f （ x）的图象大致是（ ） A B c D 8设 、 、 为平面， m、 n、 l 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） A ， =l ， mlB =m ， ， c ， ， mD n ， n ， m 9在 ABc 内随机取一点 P，使 =x+y，则 x 在的条件下 y的概率（ ） A B c D 10如图， F1、 F2 是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点 ，过 F1的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若ABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4B c D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分 . 3 / 24 11设随机变量 N（ ， 2 ），且 P（ 1） =P（ 1）， P（ 2） =，则 P（ 2 0） = 12执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 13 m=sintdt 则的展开式的常数项为 14已知函数的图象的对称中心为（ 0， 0），函数的图象的对称中心为， 函数的图象的对称中心为（ 1， 0）， ，由此推测，函数的图象的对称中心为 15一位数学老师希望找到一个函数 y=f（ x），其导函数 f（ x） =lnx，请您帮助他找一个这样的函数 （写出表达式即可，不需写定义域） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 . 16在 ABc 中，内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，满足 +tan= （ ）求角 c 的大小； （ ）已知 ABc 不是钝角三角形，且 c=2， sinc+sin（ B A） =2sin2A，求 ABc 的面积 17某商场举行的 “ 三色球 ” 购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个4 / 24 球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200元 二等奖 3 红 0 蓝 50元 三等奖 2 红 1 蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 （ 1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； （ 2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（ x） 18如图，四棱锥中 P ABcD 中，底面 ABcD 是直角梯形，ABcD ， DAB=60 ， AB=AD=2cD，侧面 PAD 底面 ABcD，且 PAD 为等腰直角三角形， APD=90 （ ）求证： ADPB ； （ ）求平面 PAD 与平面 PBc所成锐二面角的余弦值 19设数列 an的前项和为 Sn，且 是等差数列，已知 a1=1，+=6， （ ）求数列 an的通项公式； （ ）若 bn=+，数列 bn的前项和为 Tn，求证： Tn 2n+ 20已知 o 为坐标原点，焦点为 F 的抛物线 E： x2=2py（ p 0）上不同两点 A、 B 均在第一象限 B 点关于 y 轴的对称5 / 24 点为 c， oFA 的外接圆圆心为 Q，且 = （ 1）求抛物线 E 的标准方程； （ 2）两不同点 A、 B 均在第一象限内， B 点关于 y 轴的对称点为 c，设直线 oA、 oB的倾角分别为 、 ，且 += 证明：直线 Ac过定点； 若 A、 B、 c 三点的横坐标依次成等差数列，求 ABc 的外接圆方程 21已知函数 f（ x） =（ x2 3x+3） ex的定义域为 2， t，设 f（ 2） =m， f（ t） =n （ ）试确定 t 的取值范围，使得函数 f（ x）在 2， t上为单调函数； （ ）求证： m n； （ ）若不等式 +7x 2 k（ xlnx 1）（ k 为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明 lnx（解答过程可参考使用以下数据 ln7 ， ln8 ） XX-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在6 / 24 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z=（ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A iB 1+ic iD 1 i 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解： 复数 z= i， 则 z 的共轭复数 i 故选： A 2已知集合 m=x|x 2| 1， N=x|y=，则 mN （ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2c（ 2， 3） D 2， 3） 【考点】交集及其运算 【分析】求出 m 中绝对值不等式的解集确定出 m，求出 N 中x 的范围确定出 N，找出两集合的交集即可 【解答】解：由 m 中不等式变形得： 1 x 2 1， 解得： 1 x 3，即 m=（ 1， 3）， 由 N 中 y=，得到 4 2x0 ，即 2x4=22 ， 解得： x2 ，即 N=（ ， 2， 则 mN= （ 1， 2， 故选： B 3已知函数 y=f（ x） x 是偶函数，且 f（ 2） =1，则 f（7 / 24 2） =（ ） A 3B 1c 1D 2 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】根据函数为偶函数，则 f（ 2）（ 2） =f（ 2） 2，结合已知，即可解出 f（ 2）的值 【解答】解：令 g（ x） =f（ x） x 由题意知 g（ 2） =g（ 2）， 即 f（ 2） 2=f（ 2） +2，又 f（ 2） =1， 所以 f（ 2） = 3 故选： A 4若直线（ 1+a） x+y+1=0与圆 x2+y2 2x=0 相切，则 a 的值为（ ） A 1， 1B 2， 2c 1D 1 【考点】圆的切线方程 【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（ 1+a）x+y+1=0 的距离等于半径，求得 a 的值 【解答】解：圆 x2+y2 2x=0 即（ x 1） 2+y2=1，表示以（ 1，0）为圆心、半径等于 1 的圆， 再根据圆心到直线（ 1+a） x+y+1=0 的距离 d=1， 求得 a=1， 故选： D 8 / 24 5四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） A B 5c D 2 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可 【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为： 4， 2，高为 3 的梯形，棱锥的高为 2， 高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点， 所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线， 所以长度为： = 故选： A 6将奇函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（ A0 ， 0， ）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ） A 2B 3c 4D 6 【考点】函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换；正弦函数的对称性 9 / 24 【分析】函数是奇函数，求出 ，通过函数图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出 的值，即可得到选项 【解答】解：奇函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（ A0 ， 0， ）所以 =0 ；函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，所以 T=， T=， =6 ， 故选 D 7已知函数 f（ x） =x2+cosx， f （ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f （ x）的图象大致是（ ） A B c D 【考点】函数的图象 【分析】由于 f（ x） =x2+cosx，得 f （ x） =x sinx，由奇函数的定义得函数 f （ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 BD，取 x=代入 f （） = sin= 1 0，排除 c，只有 A 适合 【解答】解：由于 f（ x） =x2+cosx， f （ x） =x sinx， f （ x） = f （ x），故 f （ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 BD， 又当 x=时， f （） = sin= 1 0，排除 c，只有 A 适合， 故选： A 10 / 24 8设 、 、 为平面， m、 n、 l 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） A ， =l ， mlB =m ， ， c ， ， mD n ， n ， m 【考点】直线与平面垂直的判定 【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确，根据平面 与平面 的位置关系进行判定可知选项 B 和 c 是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂 直则垂直于另一个平面，可知选项 D 正确 【解答】解： ， =l ， ml ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m ，故不正确； =m ， ， ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确； ， ， m ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确； n ， n ， ，而 m ，则 m ，故正确 故选 D 9在 ABc 内随机取一点 P，使 =x+y，则 x 在的条件下 y的概率（ ） 11 / 24 A B c D 【考点】几何概型 【分析】根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率 【解答】解： ABc 内随机取一点 P，使 =x+y， 则 0x+y1 ； 又 x ， 则由所围成的区域面积为 S=12 = ； 由所围成的区域面积为 S1= ， 所以，所求的概率为 P= 故选： c 10如图， F1、 F2 是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若AB F2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4B c D 12 / 24 【考点】双曲线的简单性质 【分析】由双曲线的定义，可得 F1A F2A=F1A AB=F1B=2a，BF2 BF1=2a， BF2=4a， F1F2=2c，再在 F1BF2 中应用余弦定理得， a， c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】解：因为 ABF2 为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m， A 为双曲线上一点， F1A F2A=F1A AB=F1B=2a， B 为双曲线上一点，则 BF2 BF1=2a， BF2=4a， F1F2=2c， 由，则， 在 F1BF2 中 应 用 余 弦 定 理 得 ： 4c2=4a2+16a2 22a4acos120 ， 得 c2=7a2，则 故选： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分 . 11设随机变量 N（ ， 2 ），且 P（ 1） =P（ 1）， P（ 2） =，则 P（ 2 0） = 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】根据正态分布的性质求解 【解答】解：因为 P（ 1） =P（ 1），所以正态分布曲线关于 y 轴对称， 又因为 P（ 2） =，所以 P（ 2 0） = 13 / 24 故答案为： 12执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 【考点】程序框图 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 s=0， k=0 满足条件 k 6， k=2， s= 满足条件 k 6， k=4， s= 满足条件 k 6， k=6， s=+ 不满足条件 k 6，退出循环，输出 s=+= 故答案为： 13 m=sintdt 则的展开式的常数项为 【考点】定积分；二项式系数的性质 【分析】首先通过定积分求出 m，然后利用二项式定理求常数项 【解答】解：因为 m=sintdt=（ cost） |=2， 则 =的展开式的常数项为 =； 故答案为： 14 / 24 14已知函数的图象的对称中心为（ 0， 0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（ 1， 0）， ，由此推测，函数的图象的对称中心为 【考点】归纳推理 【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0， 1， ，即 0， ，此数列通项公式易求 【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0， 1， ， 即 0， ， 由此推测，函数的图象的对称中心为 故答案为： 15一位数学老师希望找到一个函数 y=f（ x），其导函数 f（ x） =lnx，请您帮助他找一个这样的函数 f（ x） =xlnxx+c， c 是常数 （写出表达式即可，不需写定义域） 【考点】导数的运算 【分析】根据导数的关系进行求解即可 【解答】解：当 f（ x） =xlnx x+c 时， f （ x） =lnx， 故答案为： f（ x） =xlnx x+c， c 是常数 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分 .解答应写出必要的15 / 24 文字说明，证明过程或演算步骤 . 16在 ABc 中，内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，满足 +tan= （ ）求角 c 的大小； （ ）已知 ABc 不是钝角三角形，且 c=2， sinc+sin（ B A） =2sin2A，求 ABc 的面积 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】（ I）利用同角三角函数基本关系式即可得出； （ II）利用和差公式可得： sinBcosA=2sinAcosA，对 A 分类讨论，利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出 【解答】解：（ ）由 +tan=， += ， = ， sinc= 又 c （ 0， ）， c= 或 c= （ ）由题意得 sinc+sin（ B A） =2sin2A， sin （ B+A） +sin（ B A） =2sin2A， 2sinBcosA=22sinAcosA ， 当 cosA=0时， A=， c=， B= 由正弦定理可得：， b=2 ， SABc=2 当 cosA0 时，得 sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a， 由题意， c=， c=2， c2=a2+b2 2abcosc=a2+b2 ab=3a2=12， 解得 a=2， b=4， 16 / 24 ， SABc=2 17某商场举行的 “ 三色球 ” 购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200元 二等奖 3 红 0 蓝 50元 三等奖 2 红 1 蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖 级 （ 1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； （ 2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（ x） 【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 【分析】（ 1）从 7 个小球中取 3 的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红 2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 （ 2）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 200， 50， 10， 017 / 24 根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（ 1）设 Ai 表示摸到 i 个红球 ， Bi 表示摸到 i个蓝球，则 Ai 与 Bi相互独立（ i=0， 1， 2， 3） P （ A1） = （ 2） X 的所有可能取值为 0， 10， 50， 200 P（ X=200） =P（ A3B1） =P（ A3） P（ B1） = P（ X=50） =P（ A3） P（ B0） = P（ X=10） =P（ A2） P（ B1） = P（ X=0） =1 = X 的分布列为 x01050200 P EX=4 元 18如图，四棱锥中 P ABcD 中，底面 ABcD 是直角梯形，ABcD ， DAB=60 ， AB=AD=2cD，侧 面 PAD 底面 ABcD，且 PAD 为等腰直角三角形， APD=90 （ ）求证： ADPB ； 18 / 24 （ ）求平面 PAD 与平面 PBc所成锐二面角的余弦值 【考点】二面角的平面角及求法 【分析】（ ）取 AD 的中点 G，连结 PG、 GB、 BD，推导出PGAD ， ABD 是正三角形， BGAD ，由此能证明 ADPB （ ）以 G 为原点，直线 GA、 GB、 GP 所在直线为 x 轴、 y轴和 z 轴建立空间直角坐标系 G xyz利用向量法能求出平面 PAD与平面 PBc 所成锐二面角的余弦值 【解答】（本小题满分 12分） 证明：（ ）取 AD的中点 G，连结 PG、 GB、 BD PA=PD ， PGAD ， AB=AD ，且 DAB=60 ， ABD 是正三角形， BGAD ， 又 PGBG=G ， AD 平面 PGB ADPB 解：（ ） 侧面 PAD 底面 ABcD，又 PGAD ， PG 底面 ABcD PGBG 直线 GA、 GB、 GP两两互相垂直， 故以 G 为原点，直线 GA、 GB、 GP所在直线为 x 轴、 y 轴和 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz 设 PG=a，则 P（ 0， 0， a）， A（ a， 0， 0） ， B（ 0， 0）， D（a， 0， 0）， c（， 0） = （， 0） = （ 0， a）， 19 / 24 设 =（ x0， y0， z0）是平面 PBc的法向量， 则，取 y0=，得 =（ 1， 3） 又 平面 PAD的法向量 =， 设平面 PAD与平面 PBc所成锐二面角为 ， 则 cos= ， 所以平面 PAD与平面 PBc所成锐二面角的余弦值为 19设数列 an的前项和为 Sn，且 是等差数列，已知 a1=1，+=6， （ ）求数列 an的通项公式； （ ）若 bn=+，数列 bn的前项 和为 Tn，求证： Tn 2n+ 【考点】数列的求和；等差关系的确定 【分析】（ I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出； （ II） bn=+=+1+=2+，利用 “ 裂项求和 ” 即可得出 【解答】（ ）解： 是等差数列，设公差为 d， a1=1，+=6， =6 ， =2 ， 2=1+2d ，解得 d= =1+= ， Sn= 20 / 24 当 n2 时， an=Sn Sn 1= =n 当 n=1时也成立， an=n （ ）证明： bn=+=+=+1+=2+， 数列 bn的前项和为 Tn=2n+ =2n+ 2n+， Tn 2n+ 20已知 o 为坐标原点，焦点为 F 的抛物线 E： x2=2py（ p 0）上不同两点 A、 B 均在第一象限 B 点关于 y 轴的对称点为 c， oFA 的外接圆圆心为 Q，且 = （ 1）求抛物线 E 的标准方程； （ 2）两不同点 A、 B 均在第一象限内， B 点关于 y 轴的对称点为 c，设直线 oA、 oB的倾角分别为 、 ，且 += 证明：直线 Ac过定点； 若 A、 B、 c 三点的横坐标依次成等差数列，求 ABc 的外接圆方程 【考点】抛物线的简单性质 【分析 】（ 1）利用向量的数量积公式，求出 p，即可求抛物线 E 的标准方程； （ 2） 设直线 oA 的方程为 y=kx（ k 0），则直线 oc 的方程为 y= x，与 x2=y 联立，求出 A， c 的坐标，可得直线 Ac21 / 24 的方程，即可证明：直线 Ac过定点； 若 A、 B、 c 三点的横坐标依次成等差数列，可得 A， B， c的坐标，即可求 ABc 的外接圆方程 【解答】（ 1）解： oFA 的外接圆圆心为 Q，且 =， |2= ， |= ， p= ， 抛物线 E 的标准方程 x2=y； （ 2） 证明：设直线 oA的方程为 y=kx（ k 0），则直线 oc的方程为 y= x， y=kx与 x2=y联立，可得 A（ k， k2）， y= x 与 x2=y联立，可得 c（，）， 直线 Ac的方程为 y k2=（ x k），即 y=（ k） x+1， 令 x=0，可得 y=1，直线 Ac过定点（ 0， 1）； 解：由 ， A 、 B、 c 三点的横坐标依次成等差数列， =k ， k 0， k= ， A （， 3）， B（，）， c（，）， 设 ABc 的外接圆方程的圆心坐标为（ 0， b），则（ 0） 2+（ b 3） 2=（ 0） 2+（ b） 2， b= ， r2=， 22 / 24 AB c 的外接圆方程的方程为 x2+（ y） 2= 21已知函数 f（ x） =（ x2 3x+3） ex的定义域为 2， t，设 f（ 2） =m， f（ t） =n （ ）试确定 t 的取值范围，使得函数 f（ x）在 2， t上为单调函数； （ ）求证： m n； （ ）若不等式 +7x 2 k（ xlnx 1）（ k 为正整数）对任意正