初等方法新解一道竞赛题.doc

初等方法新解一道竞赛题 江苏省江阴长泾中学（214411）陈小莹 江苏省姜堰中等专业学校（225500）陈宇 赛题已知a,b,c为直角三角形的三边长，其中c为斜边长，求使a3+b3+c3abck成立的k的最大值（第四届北方数学邀请赛试题）。 由文1知，文2“利用导数的知识给出了两种证明方法，指出不能用均值不等式和幂平均不等式求a3+b3+c3abc的最小值。”文1作者以均值不等式求出了a3+b3+c3abc的最小值。 经过探求，笔者发现，主要借助三角及函数的单调性和最值，可以给出该题又一新的初等解法。且求解过程同样简洁。 解:由题设可知，A+B=90。a=csinA,b=csinB，sin2A+sin2B=1。不妨设0 a3+b3+c3abc =sin3A+sin3B+1sinAsinB =(sinA+sinB)(sin2A+sin2BsinAsinB)+1sinAsinB= 2sinA+B2cosAB21+12cos(A+B)cos(AB)+112cos(A+B)cos(AB)=2cosAB22cos(AB)+2cos(AB) =2cosAB2(32cos2AB2)+22cos2AB21 =2cos2AB2+2cosAB2+22cosAB21k（1）。 以下给出两种解法 法一:设x=AB2，（0x45） 构造函数f(x)=2cos2AB2+2cosAB2+22cosAB21= 22cosx12cosx（0x45）, 设0x1 f(x1)f(x2)=22cosx112cosx1(22cosx212cosx2) =2(cosx2cosx1)+22(cosx2cosx1)(2cosx11)(2cosx21)0, 当0x45时，函数f(x)=22cosx12cosx单调增加。 f(x)min=f(0)=2212=2+2k。 当且仅当x=0即A=B=45,即直角三角形为等腰直角三角形时，k的最大值为k=2+2。此时等号成立。 法二:由（1）去分母得2cos2AB22(1k)cosAB22+k（2）（去分母依据条件见法一）, 配方得(2cosAB21k2)2k2+2k+94。（先固定变量k）（3）, 当0AB245时， 如法一可得1+k2(221+k2)2 （1+k2)2k2+2k+94 或（）(1+k2)2(221+k2)2, (22-1+k2)2k2+2k+92成立,分别解之得k2或2 综上可得k2+2。可知k的最大值为k=2+2。 又当k=2+2时，(221+k2)2k2+2k+94等号成立。 从而（3）左边取得最大值，且等号成立。 即有(2cosAB21k2)2=k2+2k+94，取k=2+2,可化为2cos2AB2+(2+2)cosAB2(4+2)=0,解之得cosAB2=1,即A=B=45或cosAB2=2+22122舍去。当且仅当A=B=45,即直角三角形为等腰直角三角形时等号成立。此时，k的最大值为k=2+2。 显然法一较之法二显得简便。但法二作为一种方法不无可取之处。 本文之解法所涉及知识及方法（完全区别于文1），全是普通高中基础知识（含选修），思路也无特别之处，一般高中生完全可以看懂。 参考文献 1马占山,王瑞琴。一道竞赛题的初等证法J。中学数学研究（江西）xx,12（P50）。 2王远征。一道数学竞赛题的错误解答及订正J。数学通讯xx（上半月）（11,12）。 ;font-family:宋体;line-