xx届高考数学三角函数4

1 / 16 XX 届高考数学三角函数 4 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 三角函数 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边 相同的角，都可以表示成 k3600+ 的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合 |=k1800 ， kZ ，终边在 y 轴上的角集合 |=k1800+900 ， kZ ，终边在坐标轴上的角的集合 |=k900 ， kZ 。在已知三角函数值的大小求角的大小时 ，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； 角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 弧长公式：；扇形面积公式：。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式： （ 1）三角函数定义：角中边上任意一点为，设则： 2 / 16 （ 2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； （ 3）特殊角的三角函数值 02 sin010 -10 cos10 -101 tan01 不存在 0 不存在 0 （ 3）同角三角函数的基本关系： （ 4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） : sin() sin,cos() cos,tan() tan sin() sin,cos() cos,tan() tan sin() sin,cos() cos,tan() tan sin() sin,cos() cos,tan() tan sin() sin,cos() cos,tan() tan ， sin() cos,cos() sin sin() cos,cos( ) -sin 3、两角和与差的三角函数 （ 1）和（差）角公式 （ 2）二倍角公式 二倍角公式： ； 3 / 16 ； （ 3）经常使用的公式 升（降）幂公式：、； 辅助角公式：（由具体的值确定）； 正切公式的变形： . 4、三角函数的图象与性质 （一）列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘： 最值的情况； 了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况； 会从图象归纳对称轴和对称中心 ； 的对称轴是，对称中心是； 的对称轴是，对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化 . 写单调区间注意 . （二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用 “ 五点法 ” 画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式 “ 五点法 ” 作图的列表方式； 求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式 . 4 / 16 （三）正弦型函数的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 的图象 得的图象 得的图象 得的图象 得的图象 先伸缩后平移 的图象 得的图象 得的图象 得的图象 得的图象 5、解三角形 正、余弦定理 正弦定理（是外接圆直径） 注： ； ； 。 余弦定理：等三个；注：等三个。 。几个公式 : 三角形面积公式：； 内切圆半径 r=；外接圆直径 2R= 在使用正弦定理时判断一解或二解的方法： ABc 中， 已知时三角形解的个数的判定： 其中 h=bsinA, 5 / 16 A 为锐角时： ah 时，无解； a=h 时，一解（直角）； hab 时，一解（锐角）。 三、考点剖析 考点一：三角函数的概念 【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。 【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题 和填空题为主。 例 1、（ XX北京文）若角 的终边经过点 P(1,-2),则 tan2的值为 . 解： 点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公6 / 16 式求解都可以。 考点二：同角三角函数的关系 【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。 【命题规律】在高考中，同角的三 角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。 例、（浙江理）若则 =() （ A）（ B） 2（ c）（ D） 解：由可得：由， 又由，可得：（） 2 1 可得， 所以， 2。 点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：，与它联系成方程组，解方程组来求解。 例 3、（ XX全国卷 1 理 1）是第四象限角，则（） A B c D 解：由，所以，有，是第四象限角， 解得： 点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公7 / 16 式：，同样要能想到 隐含条件：。 考点三：诱导公式 【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” ， “ 变 ” 与 “ 不变 ” 是相对于对偶关系的函数而言的， sin 与 cos 对偶，“ 奇 ” 、 “ 偶 ” 是对诱导公式中 + 的整数 k 来讲的，象限指 + 中，将 看作锐角时， + 所在象限，如将 cos(+)写成 cos（ + ），因为 3 是奇数，则 “cos” 变为对偶函数符号 “sin” ，又 + 看作第四象限角， cos(+) 为 “+” ，所以有 cos(+)=sin 。 【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题 ，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。 例 4、 (XX陕西文 )等于（） A B c D 解： 点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。 答案： 例 5、（ XX浙江文）若 . 解：由可知，；而。 点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。 8 / 16 考点四：三角函数的图象和性质 【内容解读】理解正、余弦函数在 0， 2 ，正切函数在（ -，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与 x 轴的交点，会用五 点法画函数的图象，并理解它的性质： （）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期； （）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期； （）函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的个周期。 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。 【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。 例 6、 (XX天津文 )设， ，则（） A B c D 解：，因为，所以，选 D 点评：掌握正弦函数与余弦函数在 0，的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域： 0,1，也要掌握。 例 7、 (XX山东文、理 )函数的图象是（） 9 / 16 解：是偶函数，可排除 B、 D，由的值域可以确定 .因此本题应选 A. 点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。 例 8、 (XX天津文 )把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（） A B c D 解： y=，故选（ c）。 点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。 例 9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 ( ) （ A） 0（ B） 1（ c） 2（ D） 4 解：原函数可化为： =作出原函数图像， 截取部分，其与直线的交点个数是 2 个 . 点评：本小题主 要考查三角函数图像的性质问题，学会五点10 / 16 法画图，取特殊角的三角函数值画图。 考点五：三角恒等变换 【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。 【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解 答题，难度不大，属中档题。 例 10、（ XX惠州三模）已知函数 （ I）求函数的最小正周期；（ II）求函数的值域 . 解： （ I） （ II） 所以的值域为： 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。 例 11、（ XX广东六校联考）已知向量 (cosx， sinx)， ()，且 x0 ， 11 / 16 （ 1）求 （ 2）设函数 +，求函数的最值及相应的的值。 解：（ I）由已知条件：，得： （ 2） ，因为： ，所以： 所以，只有当：时，或时， 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。 例 12、（ XX北京文、理）已知函数的最小正周期为 . （ ）求 的值； （ ）求函数 f(x)在区间 0， 上的取值范围 . 解：（ ） = = 因为函数 f(x)的最小正周期为 , 且 0，所以 解得 =1. （ ）由（ ）得 因为 0x ， 所以 所以 1. 因此 0 ，即 f(x)的取值范围为 0， 12 / 16 点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。 考点六：解三角形 【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。 解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。 【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。 例 13、（ XX广东五校联考）在 ABc 中，角 A、 B、 c 所对的边分别为 a、 b、 c,且 （ 1）求 tanc的值 ;（ 2）若 ABc 最长的边为 1，求 b。 解：（ 1） B 锐角 , 且 , (2)由 (1)知 c 为钝角 ,c是最大角 ,最大边为 c=1, , 由正弦定理 :得。 点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定13 / 16 理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。 例 14、 (XX海南、宁夏文 )如图， AcD 是等边三角形， ABc是等腰直角三角形， AcB=90 ， BD交 Ac于 E， AB=2。（ 1）求 coscBE 的值；（ 2）求 AE。 解：（ ）因为， 所以 所以 （ ）在中， 由正弦定理 故 点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角 45 度， 30度， 60度，推导 15度， 75度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。 例 15、 (XX 湖南理 )在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7海里以内海域被设为警戒水域 .点 E正北 55海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东且与点 A 相距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 +(其中 sin=， )且与点 A 相距 10海里的位置 c. （ I）求该船的行驶速度（单位：海里 /小时） ; （ II）若该船不改变航行方向继续行驶 .判断它是否会进入14 / 16 警戒水域，并说明理由 . 解 :（ I）如图， AB=40， Ac=10， 由于 ,所以 cos= 由余弦定理得 Bc= 所以船的行驶速度为（海里 /小时） . （ II）如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系， 设点 B、 c 的坐标分别是 B（ x1， y2） ,c（ x1， y2） , Bc与 x 轴的交点为 D. 由题设有， x1=y1=AB=40, x2=Accos, y2=Acsin 所以过点 B、 c的直线 l的斜率 k=,直线 l的方程为 y=2x-40. 又点 E（ 0， -55）到直线 l 的距离 d= 所以船会进入警戒水域 . 点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。 四、方法总结与 XX年高考预测 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （ 1）注意隐含条件的应用： 1 cos2x sin2x。 （ 2）角的配凑。 （ ） ， 等。 15 / 16 （ 3）升幂与降幂。主要用 2 倍角的余弦。 （ 4）化弦（切）法 ，用正弦定理或余弦定理。 （ 5）引入辅助角。 asin bcos sin( )，这里辅助角所在象限由 a、 b 的符号确定，角的值由 tan确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （ 1）思路：利用三角公式进