xx届高考数学二次函数第一轮专项复习教案

1 / 12 XX 届高考数学二次函数第一轮专项复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 二次函数 知识梳理 二次函数的基本性质 （ 1）二次函数的三种表示法： y=ax2+bx+c； y=a（ x x1）（ x x2）； y=a（ x x0） 2+n. （ 2）当 a 0， f（ x）在区间 p， q上的最大值为 m，最小值为 m，令 x0=（ p+q） . 若 p，则 f（ p） =m， f（ q） =m； 若 p x0，则 f（） =m， f（ q） =m； 若 x0 q，则 f（ p） =m， f（） =m； 若 q ， 则 f（ p） =m， f（ q） =m. 点击双基 1.设二次函数 f（ x） =ax2+bx+c（ a0 ），如果 f（ x1） =f（ x2）（其中 x1x2 ），则 f（）等于 A. B. 解析： f（） =f（） =. 答案： D 2 / 12 2.二次函数 y=x2 2（ a+b） x+c2+2ab 的图象的顶点在 x 轴上，且 a、 b、 c 为 ABc 的三边长，则 ABc 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 c.钝角三角形 D.等腰三角形 解析： y= x（ a+b） 2+c2+2ab（ a+b） 2= x（ a+b）2+c2 a2 b2. 顶点为（ a+b， c2 a2 b2） . 由题意知 c2 a2 b2=0. ABc 为直角三角形 . 答案： B 3.已知函数 f（ x） =4x2 mx 5 在区间 2， ）上是增函数，则 f（ 1）的范围是 （ 1） （ 1） =25 （ 1） （ 1） 25 解析：由 y=f（ x）的对称轴是 x=，可知 f（ x）在， + ）上递增，由题设只需 2m 16， f （ 1） =9 m25. 答案： A 4.函数 f（ x） =2x2 6x+1 在区间 1， 1上的最小值是_，最大值是 _. 解析： f（ x） =2（ x） 2 . 当 x=1时， f（ x） min= 3；当 x= 1 时， f（ x） max=9. 3 / 12 答案： 39 5.（ XX年春季上海）若函数 y=x2+（ a+2） x+3， x a， b的图象关于直线 x=1对称，则 b=_. 解法一：二次函数 y=x2+（ a+2） x+3 的图象关于直线 x=1对称，说明二次函数的对称轴为 1，即 =1.a= 4.而 f（ x）是定义在 a， b上的，即 a、 b 关于 x=1 也是对称的，=1.b=6. 解法二： 二次函数 y=x2+（ a+2） x+3的对 称轴为 x=1， f（ x）可表示为 f（ x） =（ x 1） 2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得 a+2= 2.a= 4， b 的计算同解法一 . 解法三： 二次函数的对称轴为 x=1， 有 f（ x） =f（ 2 x），比较对应项系数， a= 4， b 的计算同解法一 . 答案： 6 典例剖析 【例 1】设 x、 y 是关于 m 的方程 m2 2am+a+6=0 的两个实根，则（ x 1） 2+（ y 1） 2 的最小值是 A. 剖析：由 = （ 2a） 2 4（ a+6） 0 ，得 a 2 或 a3. 于是有（ x 1） 2+（ y 1） 2=x2+y2 2（ x+y） +2=（ x+y） 2 2xy 2（ x+y） +2=（ 2a） 2 2（ a+6） 4a+2=4a2 6a10=4（ a） 2 . 4 / 12 由此可知，当 a=3 时，（ x 1） 2+（ y 1） 2 取得最小值 8. 答案： c 深化拓展 0 是二次方程有实根的隐含条件 . 【例 2】（ XX年江苏， 13）二次函数 y=ax2+bx+c（ xR ）的部分对应值如下表： x 3 2 101234 y60 4 6 6 406 则不等式 ax2+bx+c 0 的解集是 _. 解析：由表知 y=a（ x+2）（ x 3），又 x=0， y= 6，代入知a=1.y= （ x+2）（ x 3） . 答案： x|x 3 或 x 2 【例 3】已知二次函数 f（ x） =ax2+bx+c 的图象与直线 y=25有公共点，且不等式 ax2+bx+c 0 的解是 x，求 a、 b、c 的取值范围 . 解：依题意 ax2+bx+c 25=0 有解，故 =b2 4a（ c 25）0. 又不等式 ax2+bx+c 0 的解是 x， a 0 且有 =， = . b=a ， c= a.b= c，代入 0 得 c2+24c（ c 25） 0. c24. 故得 a、 b、 c 的取值范围为 a 144， b 24，c24. 评述：二次方程 ax2+bx+c=0，二次不等式 ax2+bx+c 0（或5 / 12 0）与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题 . 闯关训练 夯实基础 1.下图所示为二次函数 y=ax2 bx c 的图象，则 oA oB等于 c.D. 无法确定 解析： |oA|oB|=|oAoB|=|x1x2|=|=（ a 0， c 0） . 答案： B 2.已知 f（ x） =x2 2x+3，在闭区间 0， m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 _. 解析：通过画二次函数图象知 m 1， 2 . 答案： 1， 2 3.已知函数 y=（ ex a） 2+（ e x a） 2（ aR ，且 a0 ），求 y 的最小值 . 解： y（ ex e x） 2 2a（ ex e x） 2a2 2.令 tex e x，则 f（ t） t2 2at 2a2 2. t ex e x2 ， f （ t）（ t a） 2 a2 2 的定义域为 2， ） . 抛物线的对 称轴方程是 t a， 6 / 12 当 a2 时， ymin f（ a） a2 2；当 a 2 且 a0 时，ymin f（ 2） 2（ a 1） 2. 4.要使 y=x2+4x（ xa ）有反函数，则 a 的最小值为_. 解析：要使 y=x2+4x（ xa ）有反函数，则 y=x2+4x 在 a，+ ）上是单调函数 .a 2. 答案： 2 5.已知函数 f（ x） =mx2+（ m 3） x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围 . 解：若 m=0，则 f（ x） = 3x+1，显然满足要求 . 若 m0 ，有两种情况： 原点的两侧各有一个，则 m 0； 都在原点右侧，则解得 0 m1. 综上可得 m （ ， 1 . 培养能力 6.设 f（ x） =x2 2ax+2.当 x 1， + ）时， f（ x） a恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1）当 a 1 时， f（ x） min=f（ 1） =3+2a， x 1， + ）， f（ x） a 恒成立 f（ x） mina ，即 3+2aaa 3.故此时 3a 1. （ 2）当 a 1 时， f（ x） min=f（ a） =a2 2a2+2=2 a2，x 1， + ）， f（ x） a 恒成立 f（ x） mina ，即 27 / 12 a2aa2+a 20 2a1. 故此时 1 a1. 由（ 1）（ 2）知，当 3a1 时， x 1， + ）， f（ x）a 恒成立 . 7.对于函数 f（ x），若存在 x0R ，使 f（ x0） =x0 成立，则称 x0为 f（ x）的不动点 .已知函数 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1（ a0 ） . （ 1）当 a=1， b= 2 时，求 f（ x）的不动点； （ 2）若对于任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围 . 解：（ 1）当 a=1， b= 2 时， f（ x） =x2 x 3=xx2 2x 3=0（ x 3）（ x+1） =0x=3 或 x= 1， f （ x）的不动点为 x=3或 x= 1. （ 2）对任意实数 b， f（ x）恒有两个相异不动点对任意实数 b， ax2+（ b+1） x+b 1=x恒有两个不等实根对任意实数 b，= （ b+1） 2 4a（ b 1） 0 恒成立对任意实数 b， b2+2（ 1 4a） b+1+4a 0 恒成立 =4 （ 1 4a） 2 4（ 1+4a） 0（ 1 4a） 2（ 1+4a） 04a2 3a 0a（ 4a 3） 00 a . 8.（ XX年全国，文）设函数 f（ x） =x2+|x 2| 1， xR. （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）求函数 f（ x）的最小值 . 解：（ 1） f（ x） =f （ 0） =10 ， f （ x）不是 R 上的奇函数 .f （ 1） =1， f（ 1） =3， f8 / 12 （ 1） f （ 1）， f （ x）不是偶函数 . 故 f（ x）是非奇非偶的函数 . （ 2）当 x2 时， f（ x） =x2+x 3，此时 f（ x） min=f（ 2）=3. 当 x 2 时， f（ x） =x2 x+1，此时 f（ x） min=f（） =. 总之， f（ x） min=. 探究创新 9.二次函数 f（ x） =px2+qx+r 中实数 p、 q、 r 满足 +=0，其中 m 0， 求证：（ 1） pf（） 0； （ 2）方程 f（ x） =0在（ 0， 1）内恒有解 . 证明：（ 1） pf（） =p p（） 2+q（） +r =pm + =pm =p2m =p2m . 由于 f（ x）是二次函数，故 p0. 又 m 0，所以 pf（）0. （ 2）由题意，得 f（ 0） =r， f（ 1） =p+q+r. 当 p 0 时，由（ 1）知 f（） 0. 若 r 0，则 f（ 0） 0，又 f（） 0， f （ x） =0在（ 0，）内有解； 9 / 12 若 r0 ，则 f（ 1） =p+q+r=p+（ m+1）（） +r= 0， 又 f（） 0，所以 f（ x） =0在（， 1）内有解 . 因此方程 f（ x） =0在（ 0， 1）内恒有解 . 当 p 0 时，同样可以证得结论 . 评述：（ 1）题目点明是 “ 二次函数 ” ，这就暗示着二次项系数 p0 ，若将题中的 “ 二次 ” 两个字去掉，所证结论相应更改 . （ 2）对字母 p、 r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的 .本题的证明中，先对 p 分类，然后对 r 分类显然是比较好的 . 思悟小结 1.二次函数 f（ x） =ax2+bx+c 的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据 . 2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键 . 教师下载中心 教学点睛 1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题 . 2.求二次函数的解析式就是确定函数式 f（ x） =ax2+bx+c（ a0 ）中 a、 b、 c 的值 .二次函数也可以表示为 y=a（ x10 / 12 x0） 2+h 或 y=a（ x x1）（ x x2）（ b2 4ac0 ）等形式，应 提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值 . 3.结合图象可以得到一系列与二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结： （ 1）方程 f（ x） =0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小af（ r） 0. （ 2）二次方程 f（ x） =0的两根都大于 r （ 3）二次方程 f（ x） =0在区间（ p， q）内有两根 （ 4）二次方程 f（ x） =0在区间（ p， q）内只有一根 f（ p）f（ q） 0，或 f（ p） =0，另一根在（ p， q）内或 f（ q） =0，另一根在（ p， q）内 . （ 5）方程 f（ x） =0的两根中一根大于 p，另一根小于 q（ p q） 4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题 .例如： （ 1）二次不等式 f（ x） =ax2+bx+c0 的解集是（ ， ， + ） a 0 且 f（ ） =f（ ） =0. （ 2）当 a 0 时， f（ ） f（ ） |+| |+| ； 当 a 0 时， f（ ） f（ ） |+| |+|. （ 3）当 a 0 时，二次不等式 f（ x） 0 在 p， q上恒成立 11 / 12 或或 （ 4） f（ x） 0 恒成立或 f（ x） 0 恒成立或 拓展题例 【例 1】已知当 mR 时，函数 f（ x） m（ x2 1） x a的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1） m=0 时， f（ x） =x a 是一次函数，它的图象恒与x 轴相交，此时 aR. （ 2） m0 时，由题意知，方程 mx2 x（ m a） 0 恒有实数解，其充要条件是 1 4m（ m a） 4m2 4am 10.又只需 （ 4a） 2 160 ，解得 1a1 ，即 a 1， 1 . m 0 时， aR ； m0 时， a 1， 1 . 评述 ： g（ a）是 a 的函数，可作出 g（ a）的草图来求最大值 . 【例 2】已知 f（ x） ax2 bx c 的图象过点（ 1， 0），是否存在