xx届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案

1 / 6 XX 届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 2.函数值域求法 一、知识梳理： 1、基本初等函数的值域： （ 1）一次函数的值域： R （ 2）反比例函数的值域： （ 3）二次函数的值域： 时，；时，； 二次函数在给定区间上的值域： 由图象考虑取： （ 4）指数函数的值域： （ 5）对数函数的值域： R （ 6）幂函数的值域：时，值域为或，时，值域为，时，值域为或 （ 7）三角函数的值域分别为： 2、求函数值域的方法： （ 1）直接法：初 等函数或初等函数的复合函数，从自变量x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围； （ 2）二次函数法：形如的函数利用换元法将函数转化为二2 / 6 次函数求值域； （ 3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。 （ 4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； （ 5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围； （ 6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域； （ 7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域； （ 8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； （ 9）求导法：当一 个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域； （ 10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。 二、典例讨论： 题型一。初等函数的复合函数： 例 1、求下列函数的值域： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4）呢？ （ 5）已知，求函数的值域。 3 / 6 解：的定义域为，由此可得值域为 0， 3； 题型二。其它函数 例 2、求下列函数的值域： （ 1）分子常数化法： 点评：适用一次分式函数型 （ 2）反表示法： 点评：类似地： （ 3）法：求函数 y=值域 先因式分解 ，能约先约。 解： ， 函数的定义域 R，原式可化为 ,整理得，若 y=1,即 2x=0,则 x=0；若 y1,R ，即有 0， , 解得且 y1. 综上：函数是值域是 y|. 点评：适用二次分式函数型，先因式分解，能约先约。 （ 4）特殊地：基本不等式法，求导法： （ 5）配方法： 解：， （ 6）换元法：换元法： 三角换元法： （ 7）函数单调性法：用的单调性： 点评：可用导数法求之 （ 8）分段函数图象法：求 y=|x+1|+|x-2|的值域 . 解：将函数化为分 段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是 y|y3. 4 / 6 （ 9）几何意义法、数形结合： 解：构造点 得： 点评：亦可用合一法解之。 题型三。给定函数值域 ,求参数的取值范围 例 3、已知函数的定义域为 R，值域为 0， 2，求 m,n的值。 解：，因为值域为 0， 2，设，其， 所以，验证：得 四、课后作业： 1求下列函数的最值与值域： （ 1） y=2x-; (2)y=x+;(4)y=. 解（ 1）方法一令 =t(t0), 则 x=.y=1 -t2-t=-（ t+2+. 二次函数对称轴为 t=-, 在 0， + ）上 y=-(t+2+是减函数， 故 ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值 1，无最小值，其值域为（ - ， 1 . 方法二 y=2x 与 y=-均为定义域上的增函数， y=2x -是定义域为 x|x 上的增函数， 故 ymax=2=1, 无最小值 .故函数的值域为 (-,1 . (2)方法一函数 y=x+是定义域为 x|x0 上的奇函数 ,故其5 / 6 图象关于原点对称 ,故只讨论 x 0时 ,即可知 x 0时的最值 . 当 x 0 时 ,y=x+2=4 ， 等号当且仅当 x=2时取得 . 当 x 0 时， y -4,等号当且仅当 x=-2 时取得 . 综上函数的值域为（ - ， -4 4， + ），无最值 . 方法二任取 x1,x2,且 x1 x2, 因为 f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)= 所以当 x -2 或 x2 时， f(x)递增 ,当 -2 x 0 或 0 x 2时， f(x)递减 . 故 x=-2 时， f(x)最大值 =f(-2)=-4,x=2 时， f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函数的值域为（ -， -4 4， +），无最大（小）值 . （ 3）将函数式变 y=, 可视为动点 m（ x,0）与定点 A（ 0， 1）、 B（ 2， -2）距离之和，连结 AB，则直线 AB 与 x 轴的交点（横坐