xx届高考数学知识导航函数复习教案

1 / 44 XX 届高考数学知识导航函数复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 第二章 函 数 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 . 2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 . 3.了解简单的分段函数，并能简单运用 . 4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 . 5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质 . 6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 . 7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点 . 8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 . 2 / 44 9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点 . 10.了解指数函数 y ax与对数函数 y logax(a 0且 a1)互为反函数 . 11.了解幂函数的概念，结合函数 y x， y x2， y x3, y， y的图 象，了解它们的变化情况 . 12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数 . 13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解 . 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 . 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用 .本章重点： 1.函数的概 念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义； 3.函数的最大 (小 )值； 4.指数 函数与对数函数的概念和性质； 5.函数的图象及其变换； 6.函数的零点与方程的根之间的关系； 7.函数模型的建立及其应用 . 本章难点： 3 / 44 1.函数概念的理解； 2.函数单调性的判断； 3.函数图象的变换及其应用； 4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用； 5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系； 6.函数模型的建立及求解 . 高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等 式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法 . 知识网络 函数的概念及表示法 典例精析 题型一 求函数的解析式 【例 1】 (1)已知 f(x 1) x2 x 1，求 f(x)的表达式； (2)已知 f(x) 2f( x) 3x2 5x 3，求 f(x)的表达式 . 【解析】 (1)设 x 1 t，则 x t 1，代入得 4 / 44 f(x) (t 1)2 (t 1) 1 t2 t 1，所以 f(x) x2 x 1. (2)由 f(x) 2f( x) 3x2 5x 3， x 换成 x，得 f( x) 2f(x) 3x2 5x 3，解得 f(x)x2 5x 1. 【点拨】已知 f(x)， g(x)，求复合函数 fg(x)的解析式，直接把 f(x)中的 x 换成 g(x)即可，已知 fg(x)，求 f(x)的解析式，常常是设 g(x) t，或者在 fg(x)中凑出 g(x)，再把 g(x)换成 x. 【变式训练 1】已知 f()，求 f(x)的解析式 . 【解析】设 t，则 x，所以 f(t)， 所以 f(x) (x 1). 题型二 求函数的定义域 【例 2】 (1)求函数 y的定义域； (2)已知 f(x)的定义域为 2,4，求 f(x2 3x)的定义域 . 【解析】 (1)要使函数有意义，则只需要 即 解得 3 x 0 或 2 x 3，故所求的定义域为 (3,0)(2,3). (2)依题意，只需 2x2 3x4 ， 解得 1x1 或 2x4 ，故 f(x2 3x)的定义域为 5 / 44 1,12,4. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组 求解 .对于抽象函数 fg(x)的定义域要把 g(x)当作 f(x)中的 x 来对待 . 【变式训练 2】已知函数 f(2x)的定义域为 1,1，求f(log2x)的定义域 . 【解析】因为 y f(2x)的定义域为 1,1，即 1x1时 2 12x21 ，所以 y f(x)的定义域为 12， 2.令12log2x2 ，所以 2x22 4，故所求 y f(log2x)的定义域为 2， 4. 题型三 由实际问题给出的函数 【例 3】用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架 (如图 )，若矩形底部长为 2x， 求此框围成的面积 y 与 x的函数关系式，并指出其定义域 . 【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长 AB 2x， 设宽为 a，则有 2x 2a x l，即 a x x，半圆的半径为 x， 所以 y ( 2x x)2x (2 2)x2 lx. 由实际意义知 2x x 0，因 x 0，解得 0 x . 即函数 y (2 2)x2 lx的定义域是 x|0 x . 【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析6 / 44 式有意义外，还要考虑使实际问题有 意义 .如本题使函数解析式有意义的 x 的取值范围是 xR ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量 x 表示的，这就是实际问题对变量的制约 . 【变式训练 3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个 “E” 形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为 x、 y，剪去部分的面积为 20，若 2x10 ，记 y f(x)，则 y f(x)的图象是 ( ) 【解析】由题意得 y 10x(2x10) ，选 A. 题型四 分段函数 【例 4】已知函数 f(x) (1)求 f(1) f( 1)的值； (2)若 f(a) 1，求 a 的值； (3)若 f(x) 2，求 x 的取值范围 . 【解析】 (1)由题意，得 f(1) 2， f( 1) 2，所以 f(1) f( 1) 4. (2)当 a 0 时， f(a) a 3 1，解得 a 2； 当 a0 时， f(a) a2 1 1，解得 a 0.所以 a 2 或 a 0. (3)当 x 0 时， f(x) x 3 2，解得 1 x 0； 当 x0 时， f(x) x2 1 2，解得 x 1. 7 / 44 所以 x 的取值范围是 1 x 0 或 x 1. 【点拨】分段函数中， x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同 .因此，分段函数往往需要分段处理 . 【变式训练 4】 (XX全国新课标 )已知函数 f(x)若 a， b， c互不相等，且 f(a) f(b) f(c)，则 abc的取值范围是 ( ) A.(1,10)B.(5,6) c.(10,12)D.(20,24) 【解析】不妨设 a b c，由 f(a) f(b) f(c)及 f(x)图象知 110 a 1 b 10 c 12，所以 lga lgb 12c 6，所以 ab 1，所以 abc的范围为 (10,12)，故选 c. 总结提高 1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心 ，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件 . 2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示 . 3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题 .求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等 . 函数的单调性 8 / 44 典例精析 题型一 函数单调性的判断和证明 【例 1】讨论函数 f(x) ax 1x 2(a12 )在 ( 2， )上的单调性 . 【解析】设 x1， x2 为区间 ( 2， ) 上的任意两个数且x1 x2， 则 f(x1) f(x2) ax1 1x1 2 ax2 1x2 2 (x1x2)(2a 1)(x1 2)(x2 2)， 因为 x1( 2， ) ， x2( 2， ) ，且 x1 x2， 所以 x1 x2 0， x1 2 0， x2 2 0. 所以当 a 12时， 1 2a 0， f(x1) f(x2)， 函数 f(x)在 ( 2， ) 上为减函数； 当 a 12时， 1 2a 0， f(x1) f(x2)， 函数 f(x)在 ( 2， ) 上是增函数 . 【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意 x1， x2 在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断 . 【变式训练 1】已知函数 f(x)满足 f( x) f( x)，且当 x(0 ， ) 时， f(x) x cosx，则 f(2)， f(3)， f(4)的大小关系是 ( ) (2) f(3) f(4)(2) f(4) f(3) (4) f(3) f(2)(3) f(4) f(2) 【解析】 B. 9 / 44 题型二 函数单调区间的求法 【例 2】试求出下列函数的单调区间 . (1)y |x 1|； (2)y x2 2|x 1|； (3)y . 【解析】 (1)y |x 1| 所以此函数的单调递增区间是 (1， ) ，单调递减区间是( ， 1). (2)y x2 2|x 1| 所以此函数的单调递增区间是 (1， ) ，单调递减区间是( ， 1). (3)由于 t x2 4x 3 的单调递增区间是 ( ， 2)，单调递减区间是 (2， ) ，又底数大于 1，所以此函数的单调递增区间是 ( ， 2)，单调递减区间是 (2， ). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能 求解出 . 【变式训练 2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算 “” 如下：当 ab 时， ab a；当 a b 时， ab b2.则函数 f(x) (1x)x (2x)， x 2,2的最大值是 ( ) A. 【解析】 B. 题型三 函数单调性的应用 10 / 44 【例 3】已知函数 f(x)的定义域为 1,1，且对于任意的x1， x2 1,1，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)x1 x2 0. (1)试判断函数 f(x)在区间 1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论； (2)解不等式 f(5x 1) f(6x2). 【解析】 (1)当 x1， x2 1,1，且 x1 x2 时，由 f(x1) f(x2)x1 x2 0，得 f(x1) f(x2)， 所以函数 f(x)在区间 1,1上是增函数 . (2)因为 f(x)在 1,1上是增函数 .所以由 f(5x 1)f(6x2)知， 所以 0x 13，所求不等式的解集为 x|0x 13. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域 . 【变式训练 3】已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数，对于 xR都有 f(x 6) f(x) f(3)成立，当 x1， x20,3 ，且 x1x2时，都有 f(x1) f(x2)x1 x2 0，给出下列命题： f(3) 0； 直线 x 6 是函数 y f(x)的图象的一条对称轴； 函数 y f(x)在 9， 6上为增函数； 函数 y f(x)在 9,9上有四个零点 . 其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号11 / 44 都填上 ). 【解析】 . 总结提高 1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域 . 2.函数 的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线 . 3.导数是解决函数单调性问题的有力工具 . 4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧 . 5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质 . 函数的奇偶性 典例精析 题型一 函数奇偶性的判断 【例 1】判断下列函数的奇偶性 . (1)f(x) lg(1 x2)|x2 2| 2； (2)f(x) 【解析】 (1)由得定义域为 ( 1,0)(0,1) ， 这时 f(x) lg(1 x2) (x2 2) 2 lg(1 x2)x2， 因为 f( x) lg1 ( x)2( x)2 lg(1 x2)x212 / 44 f(x)，所以 f(x)为偶函数 . (2)当 x 0 时， x 0，则 f( x) ( x)2 x (x2 x) f(x)， 当 x 0 时， x 0，则 f( x) ( x)2 x x2 xf(x)， 所以对任意 x( ， 0)(0 ， ) 都有 f( x) f(x)，故 f(x)为奇函数 . 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析 f( x)与 f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形 . 【变式训练 1】 (XX 广东 )若函数 f(x) 3x与 g(x) 3x的定义域均为 R，则 ( ) (x)与 g(x)均为偶函数 (x)为偶函数， g(x)为奇函数 (x)与 g(x)均为奇函数 (x)为奇函数， g(x)为偶函数 【解析】 B. 题型二 由奇偶性的条件求函数的解析式 【例 2】若函数 f(x) x mx2 nx 1 是定义在 ( 1,1)上的 奇函数，求 f(x)的解析式 . 【解析】因为函数 f(x) x mx2 nx 1 是定义在 ( 1,1)上的奇函数， 所以 f(0) 0，从而得 m 0.又 f(12) f( 12) 0，解得 n13 / 44 0. 所以 f(x) xx2 1( 1 x 1). 【变式训练 2】已知定义域为 R 的函数 f(x) 2x b2x 1 a 是奇函数，求 a， b 的值 . 【解析】因为 f(x)是奇函数，所以 f(0) 0，即 b 1a 2 0，解得 b 1，所以 f(x) . 又由 f(1) f( 1)，所以 1 2a 4 1 12a 1，解得a 2.故 a 2， b 1. 题型三 函数奇偶性的应用 【例 3】设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 x， y 都有 f(x y) f(x) f(y)，当 x 0 时， f(x) 0 且 f(2) 6. (1)求证：函数 f(x)为奇函数； (2)求证：函数 f(x)在 R 上是增函数； (3)在区间 4,4上，求 f(x)的最值 . 【解析】 (1)证明：令 x y 0，得 f(0) f(0) f(0)，所以 f(0) 0， 令 y x，有 f(0) f(x) f( x)，所以 f( x) f(x)，所以函数 f(x)为奇函数 . (2)证明：设 x1， x2R ，且 x1 x2，则 f(x2) f(x1) f(x2) f( x1) f(x2 x1)， 又 x 0 时， f(x) 0，所以 f(x2) f(x1) f(x2 x1) 0，即 f(x2) f(x1)， 14 / 44 所以函数 f(x)在 R 上是增函数 . (3)因为函数 f(x)在 R 上是增函数， 所以 f(x)在区间 4,4上也是增函数， 所以函数 f(x)的最大值为 f(4)，最小值为 f( 4)， 因为 f(2) 6，所以 f(4) f(2) f(2) 12， 又 f(x)为奇函数，所以 f( 4) f(4) 12， 故函数 f(x)在区间 4,4上的最大值为 12，最小值为 12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值 . 【变式训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) 则 f( 1) ， f(33) . 【解析】 4； 2. 总结提高 1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看 f( x)与 f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形 . 2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式： f(x)f(x) 0 或 f( x)f(x) 1(f(x)0) 进行处理 . 3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解 . 二次函数 15 / 44 典例精析 题型一 求二次函数的解析式 【例 1】已知二次函数 y f(x)的图象的对称轴方程为 x 2，在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 22，求 f(x)的解析式 . 【解析】设 f(x) ax2 bx c(a0) ，由已知有 解得 a 12， b 2， c 1，所以 f(x) 12x2 2x 1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三 种形式可以相互转化，若二次函数图象与 x 轴相交，则两点间的距离为 |x1 x2| b2 4ac|a|. 【变式训练 1】已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点A(c,0)，且关于直线 x 2 对称，则这个二次函数的解析式是 . 【解析】由已知 x c 为它的一个根，故另一根为 1. 所以 1 b c 0，又 b2 2b 4，所以 c 3. 所以 f(x) x2 4x 3. 题型二 二次函数的最值 【例 2】已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x) 2x的解集为 (1,3). (1)若方程 f(x) 6a 0有两个相等实根，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围 . 16 / 44 【解析】 (1)因为 f(x) 2x 0的解集为 (1,3). 所以 f(x) a(x 1)(x 3) 2x ax2 (2 4a)x 3a. 由 f(x) 6a 0ax2 (2 4a)x 9a 0， 由 知， (2 4a)2 4a9a 05a2 4a 1 0，所以 a 1 或 a 15. 因为 a 0，所以 a 15，代入 得 f(x) 15x2 65x35. (2)由于 f(x) ax2 2(1 2a)x 3a a(x 1 2aa)2 a2 4a 1a， 又 a 0，可得 f(x)max a2 4a 1a. 由 a 2 3 或 2 3 a 0. 【点拨】 (1)利用 0； (2)利用配方法 . 【变式训练 2】已知二次函数 y x2 2x 3 在区间 0， m上有最大值 3 和最小值 2，则 m 的取值范围是 . 【解析】 1,2. 题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用 【例 3】设函数 f(x) ax2 bx c(a0) ， x1 x2，f(x1)f(x2) ，对于方程 f(x) 12f(x1) f(x2)，求证： (1)方程在区间 (x1， x2)内必有一解； (2)设方程在区间 (x1， x2)内的根为 m，若 x1， m 12， x2成等差数列，则 b2a m2. 【证明】 (1)令 g(x) f(x) 12f(x1) f(x2)， 17 / 44 则 g(x1)g(x2) 12f(x1) f(x2)12f(x2) f(x1)14f(x1) f(x2)2 0， 所以方程 g(x) 0 在区间 (x1， x2)内必有一解 . (2)依题意 2m 1 x1 x2，即 2m x1 x2 1， 又 f(m) 12f(x1) f(x2)，即 2(am2 bm c) ax21bx1 c ax22 bx2 c. 整理得 a(2m2 x21 x22) b(2m x1 x2) 0， a(2m2 x21 x22) b 0， 所以 b2a m2 x21 x222 m2. 【点拨】二次方程 ax2 bx c 0 的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑： 判别式； 区间端点对应二次函数的函数值的正负； 相应二次函数的对称轴 x b2a与区间的位置关系 . 【变式训练 3】已知 f(x) (x a)(x b) 2(a b)， ， 是 f(x) 0 的两根 ( ) ，则实数 ， ， a， b 大小关系为 ( ) A. a b b b D. a b 【解析】 A. 总结提高 1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定 . 18 / 44 2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素： 开口方向； 对称轴； 与坐标轴的交点 . 3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相 互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题 . 指数与指数函数 典例精析 题型一 指数及其运算 【例 1】计算： (1)； (2)() ( 17) 2 (279) (2 1)0. 【解析】 (1)原式 125. (2)原式 (271000 ( 1) 2(17) 2 (259 1 103 49 53 1 45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数 . 【变式训练 1】已知 a， b 是方程 9x2 82x 9 0 的两根，求的值 . 【解析】 a b 829， ab 1. 原式 2 2(ab) 2. 题型二 指数函数性质的应用 【例 2】已知函数 f(x) 2x 12x 1，其中 xR. (1)试判断函数 f(x)的奇偶性； 19 / 44 (2)证明 f(x)是 R 上的增函数 . 【解析】 (1)因为函数 f(x)的定义域为 xR ， 且 f( x) 1 2x1 2x f(x)，所以 f(x)为 R 上的奇函数 . (2)证明：设 x1， x2R ，且 x1 x2， 则 f(x1) f(x2) = 0， 所以 f(x)是 R 上的增函数 . 【点 拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于 1 还是小于 1，如果不能确定底数的范围应分类讨论 . 【变式训练 2】函数 y ex e xex e x 的图象大致为( ) 【解析】 A. 题型三 指数函数的综合应用 【例 3】已知函数 f(x) 2x 12|x|. (1)若 f(x) 2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t) mf(t)0 对于 t1,2 恒成立，求实数 m的取值范围 . 【解析】 f(x) 2x 12|x| (1)因为 f(x) 2，所以 2x 12x 2. 因为 x0 ，所 以 2x 1 2，解得 x log2(1 2). 20 / 44 (2)因为 t1,2 ，所以 2tf(2t) mf(t)0 可化为 2t(22t 122t) m(2t 12t)0 ， 即 m(22t 1) (24t 1). 因为 22t 1 0，所以上式可化为 m (22t 1). 又因为 (22t 1)的最大值为 5，所以 m 5. 故使得 2tf(2t) mf(t)0 对于 t1,2 恒成立的实数 m的取值范围是 5， ). 【变式训练 3】已知函数 f(x) |2x 1|， a b c，且 f(a) f(c) f(b)，则下列结论中一定成立的是 ( ) 0， b 0， c 0， b0 ， c 0 a 2c 2 【解析】 D. 总结提高 1.增强分类讨论的意识，对于根式 na 的意义及其性质要分清 n 是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数 a 的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分 a 1 与 0 a 1 两种情况讨论 . 2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数 a 的取值限制 . 3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题 . 对数与对数函数 21 / 44 典例精析 题型一 对数的运算 【例 1】计算下列各题： (1)2(lg2)2 lg2lg5 (lg2)2 lg2 1； (2)lg2 lg5 lg8lg50 lg40. 【解析】 (1)原式 2(12lg2)2 12lg2lg5 (lg2 1)2 12lg2(lg2 lg5) 1 12lg2 1. (2)原式 lg258lg5040 lg54lg54 1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形 . 【变式训练 1】已知 log89 a， log25 b，用 a， b 表示 lg3为 . 【解析】由 lg3 3a2 2b. 题型二 对数函数性质的应用 【例 2】设函数 f(x) loga(x 2)(a 0，且 a1). (1)求函数 f(x)经过的定点坐标； (2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)解不等式 log3(x 2) 1. 【解析】 (1)当 x 3 时， loga1 0 恒成立，所以函数 f(x)所经过的定点坐标为 (3,0). (2)当 a 1 时，函数 f(x)在区间 (2， ) 上为单调递增函数；当 0 a 1 时，函数 f(x)在区间 (2， ) 上为单调递22 / 44 减函数 . (3)不等式 log3(x 2) 1 等价于不等式组 解得 2 x 5，所以原不等式的解集为 (2,5). 【变式训练 2】已知函数 f(x)若 f(x)在 ( ， ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 . 【解析】要保证函数 f(x)在 ( ， ) 上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增 .若 f(x) (a2)x 1 在区间 ( ， 1上单调递增，则 a 2 0，即 a 2.若 f(x) logax在区间 (1， ) 上单调递增，则 a 1.另外要保证函数 f(x)在 ( ， ) 上单调递增还必须满足 (a 2)1 1loga1 0，即 a3. 故实数 a 的取值范围为 2 a3. 题型三 对数函数综合应用 【例 3】已知函数 f(x) loga(3 ax). (1)当 x0,2 时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 . 【解析】 (1)由题设知 3 ax 0 对一切 x0,2 恒成立， a 0，且 a1. 因为 a 0，所以 g(x) 3 ax在 0,2上为减函数， 23 / 44 从 而 g(2) 3 2a 0，所以 a 32， 所以 a 的取值范围为 (0,1)(1 ， 32). (2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) 1， 即 loga(3 a) 1，所以 a 32， 此时 f(x) (3 32x). 当 x 2 时， f(x)没有意义，故这样的实数不存在 . 【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立 . 【变式训练 3】给出下列四个命题： 函数 f(x) lnx 2 x 在区间 (1， e)上存在零点； 若 f(x0) 0，则函数 y f(x)在 x x0处取得极值； 若 m 1，则函数 y (x2 2x m)的值域为 R； “a 1” 是 “ 函数 f(x) a ex1 aex 在定义域上是奇函数 ” 的充分不必要条件 . 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上 ). 【解析】因为 f(1) ln1 2 1 1 0， f(e) lne 2e e 1 0，故函数 f(x)在区间 (1， e)上存在零点，命题 正确；对于函数 f(x) x3来说， f(x) 3x2，显然有 f (0) 0，但 f(x)在定义域上为增函数，故 x 0 不是函数的极值点，命题 错误；令 t x2 2x m，若 m 1，则 (24 / 44 2)2 41( m) 4 4m0 ，所以 t x2 2x m 可以取遍所有的正数，所以函数 y (x2 2x m)的值域为 R，命题 正确；由 f( x)f(x)，可得 a e x1 ae x a ex1 aex，解得 a 1 ，即函数 f(x)为奇函数的充要条件为 a 1 ，故 “a 1” 是“ 函数 f(x) a ex1 aex为奇函数 ” 的充分不必要条件，所以命题 正确 .综上所述，正确的命题为 . 总结提高 1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来 . 2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件 . 3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量1,0,1来比较，但要注意分类讨论 . 4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形 结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用 . 幂函数与函数的图象 典例精析 25 / 44 题型一 幂函数的图象与性质 【例 1】点 (2， 2)在幂函数 f(x)的图象上，点 ( 2， 14)在幂函数 g(x)的图象上 . (1)求 f(x)、 g(x)的解析式； (2)问当 x 为何值时，有： g(x) f(x)； f(x) g(x)；f(x) g(x). 【解析】 (1)设 f(x) xa，因为点 (2， 2)在幂函数 f(x)的图象上，将 (2， 2)代入 f(x) xa中，得 2 (2)a，解得 a 2，即 f(x) x2. 设 g(x) xb，因为点 ( 2， 14)在幂函数 g(x)的图象上，将( 2， 14)代入 g(x) xb中，得 14 ( 2)b，解得 b 2，即 g(x) x 2. (2)在同一坐标系中作出 f(x)和 g(x)的图象，如图所示，由图象可知： 当 x 1 或 x 1 时， g(x) f(x)； 当 x 1 时， f(x) g(x)； 当 1 x 1 且 x0 时， f(x) g(x). 【点拨】 (1)求幂函数解析式的步骤： 设出幂函数的一般形式 y xa(a为常数 )； 根据已知条件求出 a 的值； 写出幂函数 的解析式 . 本题的第 (2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下26 / 44 画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解 .这一问也可用分类讨论的思想 .x2 1x2，即 x4 1， x 1 ，以x 1， 1 为分界点分 x 1， 1 x 1， x 1， x 1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果 . 【变式训练 1】函数 f(x) (m2 m 1)是幂函数，且当 x(0 ， ) 时是减函数，求实数 m. 【解析】因为 f(x)为幂函数， 所以 m2 m 1 1，解得 m 2 或 m 1. 当 m 2 时， f(x) x 3 在 (0， ) 上 是减函数； 当 m 1 时， f(x) x0在 (0， ) 上不是减函数 . 所以 m 2. 题型二 作函数图象 【例 2】作下列函数图象： (1)y 1 log2x； (2)y 2|x| 1； (3)y |x2 4|. 【解析】 (1)y 1 log2x的图象是： (2)y 2|x| 1的图象是： (3)y |x2 4|的图象是： 27 / 44 【变式训练 2】在下列图象中，二次函数 y ax2 bx 与指数函数 y (ba)x的图象只可能是 ( ) 【解析】 A. 题型三 用数形结合思想解题 【例 3】已知 f(x) |x2 4x 3|. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 m 的取值范围，使方程 f(x) mx有 4 个不同实根 . 【解析】 递增区间为 1,2， 3， ) ； 递减区间为 ( ， 1)， (2,3). (2)设 y mx与 y f(x)有四个公共点，过原点的直线 l 与 y f(x)有三个公共点，如图所示 .令它的斜率为 k，则 0 m k. 由 x2 (k 4)x 3 0. 令 (k 4)2 12 0k 423. 当 k 4 23 时，方程 的根 x1 x2 3(1,3)，舍去；当 k 4 23 时，方程 的根 x1 x2 3(1,3) ，符合题意 .故 0 m 4 23. 【点拨】 (1)作出 f(x)的图象； (2)利用 (1)的图象，研究函28 / 44 数 y mx与 y f(x)的交点情况 . 【变式训练 3】若不等式 x2 logax 0 对 x(0 ， 12)恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) a a 1 a116 【解析】原不等式为 x2 logax，设 f(x) x2， g(x) logax，因为 0 x 12 1，而 logax x2 0，所以 0 a 1，作出f(x)在 x(0 ， 12)内的图象，如图所示 . 因为 f(12) 14，所以 A(12， 14)，当 g(x)图象经过点 A 时，14 loga12a 116，因为当 x(0 ， 12)时， logax x2， g(x)图象按如图虚线位置变化，所以 116a 1，故答案为 B. 题型四 有关图象的对称问题 【例 4】设函数 f(x) x 1x， x( ， 0)(0 ， )的图象为 c1， c1关于点 A(2,1)对称的图象为 c2， c2对应的函数为 g(x). (1)求函数 y g(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线 y b 与 c2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点的坐标 . 【解析】 (1)设 P(u， v)是 y x 1x 上任意一点，所以 v u 1u. 设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x， y)， 29 / 44 所以 代入 得 2 y 4 x 14 xy x 2 1x 4. 所以 g(x) x 2 1x 4，其定义域为 ( ， 4)(4 ，). (2)联立方程得 x2 (b 6)x 4b 9 0， 所以 (b 6)2 4(4b 9) b2 4b 0b 0或 b 4.所以，当 b 0 时，交点为 (3,0)；当 b 4 时，交点为 (5,4). 【变式训练 4】函数 f(x)的定义域为 R，且满足： f(x)是偶函数， f(x 1)是奇函数 .若 f() 9，则 f()等于 ( ) A. 【解析】因为 f( x) f(x)， f( x 1) f(x 1)，所以 f( 2 x) f( x) f(x)，则 f(4 x) f(x 2) f(x)，即 4 是函数 f(x)的一个周期，所以 f() f() 9，故应选 B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键 . 总结提高 掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 .函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题 .函数的图象是沟通30 / 44 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的一个重要桥梁 .应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况 . 函数与方程 典例精析 题型一 确定函数零点所在的区间 【例 1】已知函数 f(x) x log2x，问方程 f(x) 0 在区间14， 4上有没有实根，为什么？ 【解析】因为 f(14) 14 log214 14 2 74 0， f(4) 4 log24 4 2 6 0， f(14)f(4) 0，又 f(x) x log2x在区间 14， 4是连续的， 所以函数 f(x)在区间 14， 4上有零点，即存在 c14 ， 4，使 f(c) 0， 所以方程 f(x) 0 在区间 14， 4上有实根 . 【点拨】判断函数 f(x)的零点是否在区间 (a， b)内，只需检验两条： 函数 f(x)在区间 (a， b)上是连续不断的；f(a)f(b) 0. 【变 式训练 1】若 x0是函数 f(x) x 2x 8 的一个零点，则 x0(表示不超过 x0的最大整数 ) . 【解析】因为函数 f(x) x 2x 8 在区间 ( ， ) 上是连续不间断的单调递增函数，且 f(2)f(3) 0，所以函数f(x)在区间 (2,3)上存在唯一的零点 x0，所以 x0 2. 31 / 44 题型二 判断函数零点的个数 【例 2】判断下列函数的零点个数 . (1)f(x) x2 mx (m 2)； (2)f(x) x 4 log2x. 【解析】 (1)由 m2 4(m 2) (m 2)2 4 0，得知 f(x) x2 mx (m 2) 0 有两个不同的零点 . (2)因为函数 f(x) x 4 log2x在区间 (0， ) 上是连续不间断的单调递增函数，且 f(2)f(3) 0，所以函数 f(x)在区间 (0， ) 上存在唯一的零点 . 【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法： (1)方程 f(x) 0 的根的个数即为函数 f(x)的零点个数； (2)函数 f(x)与 x轴的交点个数，即为函数 f(x)的零点个数； 特殊情况下，还可以将方程 f(x) 0 化为方程 g(x) h(x)，然后再看函数 y g(x)与 y h(x)的交 点个数 . 【变式训练 2】问 a 为何值时，函数 f(x) x3 3x a 有三个零点，二个零点，一个零点？ 【解析】 f(x) 3x2 3 0，得 x1 1， x2 1，此时 f(x)有极大值 f( 1) 2 a，极小值 f(1) 2 a.由图象 (图略 )得知： 当 2 a 2 时，函数 f(x)有三个零点； 当 a 2 或 a 2 时，函数 f(x)有两个零点； 当 a 2 或 a 2 时，函数 f(x)有一个零点 . 32 / 44 题型三 利用导数工具研究函数零点问题 【例 3】设函数 f(x) x3 2x2 4x 2a. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)关于 x的方程 f(x) a2在 3,2上有三个相异的零点，求 a 的取值范围 . 【解析】 (1)f(x) 3x2 4x 4. 由 f(x) 0，得 x 2 或 x 23；由 f(x) 0，得 2 x 23. 故 f(x)的递增区间为 ( ， 2)、 (23， ) ， f(x)的递减区间为 ( 2， 23). (2)由 f(x) a2x3 2x2 4x a2 2a 0， 令 g(x) x3 2x2 4x a2 2a. 所以 g(x) 3x2 4x 4. 由 (1)可