xx届高考数学第一轮两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移专项复习教案

1 / 13 XX 届高考数学第一轮两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移专项复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 知识梳理 1.设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则 =（ x2 x1， y2 y1） . |=. 2.线段的定比分点是研究共线的三点 P1， P， P2坐标间的关系 .应注意：（ 1）点 P 是不同于 P1， P2的直线 P1P2上的点；（ 2）实数 是 P 分有向线段所成的比，即 P1P ， PP2的顺序，不能搞错；（ 3）定比分点 的坐标公式（ 1） . 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系， 特别提示 1.定比分点的定义：点 P 为所成的比为 ，用数学符号表达即为 =. 当 0 时， P 为内分点； 0 时， P 为外分点 . 2.定比分点的向量表达式： P 点分成的比为 ，则 =+（ o 为平面内任一点） . 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题 . 点击双基 2 / 13 1.（ XX 年东北三校联考题）若将函数 y=f（ x）的图象按向量 a 平移，使图象上点的坐标由（ 1， 0）变为（ 2， 2），则平移后的图象的解析式为 =f（ x+1） =f（ x 1） 2 =f（ x 1） +=f（ x+1） +2 解析：由平移公式得 a=（ 1， 2），则平移后的图象的解析式为 y=f（ x 1） +2. 答案： c 2.（ XX 年湖北八校第二次联考）将抛物线 y2=4x 沿向量 a平移得到抛物线 y2 4y=4x，则向量 a 为 A.（ 1， 2） B.（ 1， 2） c.（ 4， 2） D.（ 4， 2） 解析：设 a=（ h， k），由平移公式得 代入 y2=4x得 （ k） 2=4（ h）， 2 2k=4 4h k2， 即 y2 2ky=4x 4h k2， k=2 ， h= 1.a= （ 1， 2） . 答案： A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗 ? 提示：由 y2 4y=4x，配方得 （ y 2） 2=4（ x+1）， h= 1， k=2.（知道为什么吗 ?） 3 / 13 3.设 A、 B、 c 三点共线，且它们的纵坐标分别为 2、 5、 10，则 A 点分所得的比为 c. D. 解析：设 A 点分所得的比为 ，则由 2=，得 = . 答案： c 4.若点 P 分所成的比是 （ 0 ），则点 A 分所成的比是_. 解析： = ， = （ +） . （ 1+ ） =. =.= . 答案： 5.（理）若 ABc 的三边的中点坐标为（ 2， 1）、（ 3， 4）、（ 1， 1），则 ABc 的重心坐标为 _. 解析：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， c（ x3， y3）， 则 重心坐标为（，） . 答案：（，） （文）已知点 m1（ 6， 2）和 m2（ 1， 7），直线 y=mx 7 与线段 m1m2 的交点 m 分有向线段的比为 32 ，则 m 的值为_. 解析：设 m（ x， y），则 x=3， y=5，即 m（ 3， 5），代入y=mx 7 得 5=3m 7， m =4. 答案： 4 4 / 13 典例剖析 【例 1】已知点 A（ 1， 6）和 B（ 3， 0），在直线 AB 上求一点 P，使 |=|. 剖析： |=|，则 =或 =.设出 P（ x， y），向量转化为坐标运算即可 . 解：设 P 的坐标为（ x， y），若 =，则由（ x+1， y 6） =（ 4， 6），得 解得此时 P 点坐标为（， 4） . 若 =，则由（ x+1， y 6） =（ 4， 6）得 解得 P （， 8） . 综上所述， P（， 4）或（， 8） . 深化拓展 本题亦可转化为定比分点处理 .由 =，得 =，则 P 为的定比分点， = ，代入公式即可；若 =，则 =，则 P 为的定比分点， = . 由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法 . 【例 2】已知 ABc 的三个顶点坐标分别是 A（ 4， 1）， B（ 3，4）， c（ 1， 2）， BD是 ABc 的平分线，求点 D 的坐标及 BD的长 . 剖析： A 、 c 两点坐标为已知， 要求点 D 的坐标，只要5 / 13 能求出 D 分所成的比即可 . 解： |Bc|=2 ， |AB|=， D 分所成的比 =. 由定比分点坐标公式，得 D 点坐标为（ 9 5，） . |BD|=. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易 知，由角平分线的性质通过定比分点可解出 D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化 . 深化拓展 本题也可用如下解法：设 D（ x， y）， BD 是 ABc 的平分线， ， =， . ，即 =. 又 =（ 1， 3）， =（ x 3， y 4）， =（ 4， 2）， =. （ 4+） x+（ 2 3） y+9 20=0. 又 A、 D、 c 三点共线， ，共线 . 又 =（ x 4， y 1）， =（ x+1， y 2）， （ x 4）（ y 2） =（ x+1）（ y 1） . 由 可解得 D 点坐标为（ 9 5，）， |BD|=. 思考讨论 6 / 13 若 BD 是 Ac 边上的高，或 BD 把 ABc 分成面积相等的两部分，本题又如何求解 ?请读者思考 . 【例 3】已知在 ABcD 中，点 A（ 1， 1）， B（ 2， 3）， cD 的中点为 E（ 4， 1），将 ABcD 按向量 a 平移，使 c 点移到原点 o. （ 1）求向量 a； （ 2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标 . 解：（ 1）由 ABcD 可得 =，设 c（ x3， y3）， D（ x4， y4）， 则 又 cD的中点为 E（ 4， 1），则 由 得即 c（， 2）， D（， 0） . a= （， 2） . （ 2）由平移 公式得 A （， 1）， B （， 1）， c （ 0，0）， D （ 1， 2） . 闯关训练 夯实基础 1.（ XX年福州质量检查题）将函数 y=sinx按向量 a=（，3）平移后的函数解析式为 =sin（ x） +=sin（ x） 3 =sin（ x+） +=sin（ x+） 3 解析：由得 3=sin（ +） . =sin （ +） +3，即 y=sin（ x+） +3. 7 / 13 答案： c 2.（ XX年河南调研题）将函数 y=2sin2x 的图象按向量 a 平移，得到函数 y=2sin（ 2x+） +1的图象，则 a 等于 A.（， 1） B.（， 1） c.（， 1） D.（， 1） 解析：由 y=2sin（ 2x+） +1得 y=2sin2（ x+） +1， a= （，1） . 答案： B 3.（ XX 年东城区模拟题）已知点 P 是抛物线 y=2x2+1 上的动点，定点 A（ 0， 1），若点 m 分所成的比为 2，则点 m 的轨迹方程是 _，它的焦点坐标是 _. 解析：设 P（ x0， y0）， m（ x， y） . 代入 y0=2x02+1得 3y+2=18x2+1，即 18x2=3y+1， x2=y+=（ y+），p= ，焦点坐标为（ 0，） . 答案： x2=（ y+）（ 0，） 4.把函数 y=2x2 4x+5的图象按向量 a 平移后，得到 y=2x2的图象，且 ab ， c=（ 1， 1）， bc=4，则b=_. 解析： a=（ 0， 0）（ 1， 3） =（ 1， 3） .设 b=（ x， y），由题意得 则 b=（ 3， 1） . 答案：（ 3， 1） 8 / 13 5.已知向量 =（ 3， 1）， =（ 1， 2）， ， . 试求满足 +=的的坐标 . 解：设 =（ x， y），则 =（ x， y） +（ 3， 1） =（ x+3， y+1）， = =（ x+3， y+1）（ 1， 2） =（ x+4， y 1）， 则 所以 =（ 11， 6） . 6.已知 A（ 2， 3）， B（ 1， 5），且满足 =， =3， =，求 c、D、 E 的坐标 . 解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解 .c（ 1，）， D（ 7， 9）， E（，） . 培养能力 7.（ XX年福建， 17）设函数 f（ x） =ab，其中 a=（ 2cosx，1）， b=（ cosx， sin2x）， xR. （ 1）若 f（ x） =1，且 x ，求 x； （ 2）若 y=2sin2x 的图象按向量 c=（ m， n）（ |m|）平移后得到函数 y=f（ x）的图象，求实数 m、 n 的值 . 解：（ 1）依题设 f（ x） =2cos2x+sin2x=1+2sin（ 2x+）， 由 1+2sin（ 2x+） =1，得 sin（ 2x+） = . |x| ， 2x+.2x+= ，即 x= . （ 2）函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=（ m， n）平移后得到函数 y=2sin2（ x m） +n的图象，即 y=f（ x）的图象 .由（ 1）得 f（ x） =2sin2（ x+） +1.又 |m|， m= ， n=1. 9 / 13 8.有点难度哟！ （ XX年广州综合测试）已知曲线 x2+2y2+4x+4y+4=0 按向量a=（ 2， 1）平移后得到曲线 c. （ 1）求曲线 c 的方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）的直线与曲线 c 相交于不同的两点 m、N，且 m 在 D、 N 之间，设 = ，求实数 的取值范围 . 解：（ 1）原曲线即为（ x+2） 2+2（ y+1） 2=2，则平移后的曲线 c 为 x2+2y2=2， 即 +y2=1. （ 2）设 m（ x1， y1）， N（ x2， y2），则 由于点 m、 N 在椭圆 x2+2y2=2上，则 即消去 x22得， 22+8y2+8=22+4+2 ，即 y2=. 1y21 ， 11. 又 0，故解得 . 故 的取值范围为， + ） . 思考讨论 本题若设出直线 l 的方程 y=kx+2，然后与 x2+2y2=2 联立，利用韦达定理能求解吗 ?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下 . 探究创新 9.甲船由 A 岛出发向北偏东 45 的方向做匀速直线航行，速度为 15nmile/h，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛10 / 13 正南 40nmile 处的 B 岛出发，朝北偏东 （ =arctan ）的方向作匀速直线航行，速度为 10nmile/h.（如下图所示） （ 1）求出发后 3h两船相距多少海里 ? （ 2）求两船出发后多长时间 相距最近 ?最近距离为多少海里 ? 解：以 A 为原点， BA 所在直线为 y 轴建立如下图所示的坐标系 . 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），则 由 =arctan ，可得 cos= ， sin= ， x2=10tsin=10t ， y2=10tcos 40=20t 40. （ 1）令 t=3， P、 Q 两点的坐标分别为（ 45， 45），（ 30， 20） . |PQ|=5， 即两船出发后 3h时，两船相距 5nmile. （ 2）由（ 1）的解法过程易知 |PQ|= =20. 当且仅当 t=4 时， |PQ|的最小值为 20， 即两船出发 4h 时，相距 20nmile 为两船最近距离 . 思悟小结 1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： （ 1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比 ； 11 / 13 （ 2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比 .也可直接由定义 = 获解 . 2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定 的值是公式应用的关键 . 3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量 .注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式 . 4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法 . 教师下载中心教学点睛 1.线段的定比分点公式 = ，该式中已知 P1、 P2 及 可求分点 P 的坐标，并且还要注意公式的变式在 P1、 P2、 P、 中知三可求第四个量 . 2.定比分点坐标公式要用活不要死记 .可设出坐标利用向量相等列方程组 .该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性 . 3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背 . 拓展题例 【例 1】（ XX年豫南三市联考）已知 f（ A， B） =sin22A+cos22B sin2A cos2B+2. （ 1）设 ABc 的三内角为 A、 B、 c，求 f（ A， B）取得最小12 / 13 值时， c 的值； （ 2）当 A+B=且 A、 BR 时， y=f（ A， B）的图象按向量 p平移后得到函数 y=2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量 p. 解：（ 1） f（ A， B） =（ sin2A） 2+（ cos2B） 2+1， 由题意得 c= 或 c=. （ 2） A+B= ， 2B