xx届高考数学第一轮备考圆锥曲线复习教案

1 / 39 XX 届高考数学第一轮备考圆锥曲线复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m XX 版高三数学一轮精品复习学案：第八章解析几何 圆锥曲线 【高考目标导航】 一、曲线与方程 1考纲点击 (1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 ; (2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 ; (3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 . 2热点提示 （ 1）求轨迹方程是高考的重点和热点； （ 2）常以解答题的第一问的形式出现 .一般用 直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。 二、椭圆 1考纲点击 （ 1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； （ 2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。 2 / 39 （ 3）理解数形结合的思想 2热点提示 （ 1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。 （ 2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。 三、双曲线 1考纲点击 （ 1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。 （ 2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。 （ 3）理解数形结合的思想。 2热点提示 （ 1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。 （ 2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。 四、抛物线 1考纲点击 （ 1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 （ 2）理解数形结合的思想。 3 / 39 （ 3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 。 2热点提示 （ 1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。 （ 2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。 【考纲知识梳理】 一、曲线与方程 1一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 c 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系： （ 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。 （ 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方 程的曲线。 注：如果中满足第（ 2）个条件，会出现什么情况？（若只满足 “ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 ” ），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。 2求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系 建立适当的坐标系 . (2)设点 设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式 列出动点 P 所满足的关系式 . (4)代换 依条件的特点 ,选用距离公式、斜率公式等将其4 / 39 转化为 x,y的方程式，并化简。 (5)证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 . 注 :求轨 迹和轨迹方程有什么不同 ?(求轨迹和轨迹方程的不同 :后者只指方程 (包括范围 ),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。 二、椭圆 1对椭圆定义的理解：平面内动点 P 到两个定点，的距离的和等于常数 2a,当 2a|时，动点 P 的轨迹是椭圆；当2a=|时，轨迹为线段；当 2a|时，轨迹不存在。 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图 形 性 质范围 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 5 / 39 轴长轴的长为 2a 短轴的长为 2b 焦距 |=2c 离心率 a,b,c的关系 注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近 1，椭圆越扁，离心率越接近 0，椭圆就越接近于圆）。 3点与椭圆的位置关系 三、双曲线 1双曲线的定义 （ 1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： 与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数 2a. 。 （ 2）上述双曲线的焦点是，焦距是 |。 注：当 2a=|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a |时，动点的轨迹不存 在；当 2a=0时，动点的轨迹是线段的中垂线。 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图 6 / 39 形 性 质范围 xa 或 x -ay -a 或 ya 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标： 顶点坐标： 渐近线 离心率 实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长 =2a；线段叫做双曲线的虚轴，它的长 =2b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长。 a,b,c的关系 注：离心率越大，双曲线的 “ 开口 ” 越 大。 3等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率，渐近线方程为 四、抛物线 7 / 39 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线（不经过点 F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 注：当定点 F 在定直线时，动点的轨迹是过点 F 与直线垂直的直线。 2抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 图 形 性 质对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 准线方程 8 / 39 焦半径 范围 顶点 离心率 【要点名师解析】 一、曲线与方程 （一）用直接法求轨迹方程 相关链接 1如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含、的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建9 / 39 系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。 2用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向 量的坐标化运算。有时需分类讨论。 例题解析 例如图所示，设动直线垂直于 x 轴，且与椭圆交于 A、B 两点， P 是上满足的点，求点 P 的轨迹方程。 思路解析：设 P 点坐标为 (x,y)求出 A、 B 两点坐标代入求 P点轨迹标明 x 的范围。 解答：设 P 点的坐标为 (x,y)，则由方程，得， ， A 、 B两点的坐标分别为，又， ，即又直线与椭圆交于两点， -2x2, 点 P 的轨迹方程为（ -2x|， 动圆圆心 m（ x,y）到点（ -3， 0）和（ 3， 0）的距离和是常数 12， 所以点 m 的轨迹是焦点为点（ -3， 0）、（ 3， 0），长轴长等于12的椭圆。 2c=6,2a=12,c=3,a=6 圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆。 方法二：由方法一可得方程移项再两边分别平方得： 11 / 39 两边再平方得：，整 理得 所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆。 注：（ 1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。 （ 2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。 （ 3）对于 “ 是否存在型 ” 探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。 （三）用相关点法（代入法）求轨迹方程 相关链接 1动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（ x,y）却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将表示 x、 y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然后整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 12 / 39 2用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关 点法）解题。 例题解析 例已知 A（ -1， 0）， B（ 1， 4），在平面上动点 Q 满足，点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点，求动点 P 的轨迹方程。 思路解析：由已知易得动点 Q 的轨迹方程，然后找出 P 点与Q 点的坐标关系，代入即可。 解答： 设 Q（ x,y），则 故由，即 所以点 Q 的轨迹是以 c（ 0， 2）为圆心，以 3 为半径的圆。 点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点。 动点 P 的轨迹是一个以为圆心，半径为 3 的圆，其中是点c（ 0， 2）关于直线 y=2(x-4)的对称点，即直线 y=2(x-4)过的中点，且与垂直，于是有 ， 解得： 故动点 P 的轨迹方程为。 （四）用参数法求轨迹方程 例设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点 A、 B， o 是坐13 / 39 标原点，点 P 满足点 N 的坐标为，当绕点 m 旋转时，求： （ 1）动点 P 的轨迹方程； （ 2）的最小值与最大值。 解析：（ 1）直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记由题设可得点 A、 B 的坐标是方程组的解，消去得于是 ， 设点 P 的坐标为，则 消去参数得 当不存在时， A、 B 中点为坐标原点（ 0， 0），也满足方程 ， 所以点 P 的轨迹方程为。 （ 2）由点 P 的轨迹方程知即 又故 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为。 二、椭圆 （一）椭圆的定义以及标准方程 相关链接 求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是： （ 1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。 14 / 39 （ 2）设方程：根据上述判断设方程。 （ 3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。 （ 4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。 注：当椭圆的焦点位置不 明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。 例已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5、 3，过 P 且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。 思路解析：设椭圆方程为 根据题意求 得方程。 解答：设所求的椭圆方程为， 由已知条件得 故所求方程为 （二）椭圆的几何性质 相关链接 1椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。 2求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。 15 / 39 3求椭圆离心率问题，应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式，从而求出 e 的值或范围。离心率 e 与的关系： 例题解析 例已知椭圆的长轴、短轴端点分别为 A、 B，从椭圆上一点 m（在 x 轴上方）向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。 求椭圆的离心率 ； 设 Q 是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求 的取值范围。 思路解析：由与是共线向量可知 ABom ，从而可得关于的等量关系，从而求得离心率；若求 的取值范围，即需求cos 的范围，用余弦定理即可。 解答：（ 1）设（ -c,0） ,则 （ 2）设 |=， |=， = ， +=2 ， |=2， 注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率时，除已知等式外，还需一个关于的等式，即可求得。 （三）直线与椭圆的位置关系 相关链接 16 / 39 1直线与椭圆位置关系的判定 把椭圆方程与直线方程 y=kx+b 联立消去 y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有： （ 1） 0, 直线与椭圆相交，有两个公共点； （ 2） =0 ，直线与椭圆相切，有一个公共点； （ 3） 0,总有成立？若存在，求出所有 k 的值； （ 2）若，求实数 k 的取值范围。 思路解析：第（ 1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由可知 m 点为 oN 中点，用坐标表示相关量可求。 第 （ 2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。 解答：椭圆 c：，直线 AB的方程为： y=k(x-m). 18 / 39 由 消去 y 得 设，则 则 若存在 k,使总成立， m 为线段 AB 的中点， m 为 oN的中点， 即 N 点的坐标为。 由 N 点在椭圆上，则 即 即 故存在 k=1, 使对任意 m0，总有成立。 （ 2） 由得 即 注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创 造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数19 / 39 学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。 （ 1）本题第（ 1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。 （ 2）第（ 2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。 三、双曲线 （一）双曲线的定义与标准方程 相关链接 1在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件 “ 差的绝对值 ” ，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。 2求双曲线标准方程的方法 （ 1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应即可求得方程； （ 2）待定系数法，其步骤是 20 / 39 定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； 设方程：根据焦点的位置设出相应的 双曲线方程； 定值：根据题目条件确定相关的系数。 注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：。 例题解析 例已知动圆 m 与圆外切，与圆内切，求动圆圆心 m 的轨迹方程。 思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出m 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。 解答：设动圆 m 的半径为 r 则由已知。 又（ -4， 0），（ 4， 0）， |=8 ， 0，焦点在 x轴上；若 0 等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。 四、抛物线 （一）抛物线的定义及应用 相关链接 1抛物线的离心率 =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。 2焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。 24 / 39 例题解析 例已知抛物线 c 的对称轴与 y 轴平行，顶点到原点的距离为 5。若将抛物线 c 向上平移 3 个单位，则在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 c 在 x 轴上截得的线段长的一半；若将抛物线 c 向左平移 1 个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线 c 的方程。 解答：设所求抛物线方程为 (x-h)2=a(y-k)(aR,a0) 由 的顶点到原点的距离为 5，得 =5 在 中，令 y=0，得 x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为 x1,x2，则 |x1-x2|=2。 将抛物线 向上平移 3 个单位，得抛物线的方程为 (x-h)2=a(y-k-3) 令 y=0，得 x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为 x3,x4，则 |x3-x4|=2。 依题意得 2=2， 即 4(ak+3a)=ak 将抛物线 向左平移 1 个单位，得 (x-h+1)2=a(y-k), 由抛物线过原点，得 (1-h)2=-ak 由 得 a=1， h=3,k=-4 或 a=4， h=-3,k=-4。 所求抛物线方程为 (x-3)2=y+4，或 (x+3)2=4(y+4)。 25 / 39 （二）抛物线的标准方程与几何性质 相关链接 1求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值； 2对于直线和抛物线有两个交点问题， “ 点差法 ” 是常用法。如若是抛物线上两点，则直线 AB 的斜率与可得如下等式。 注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。 例题解析 例已知如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，其横坐标为 4， 且位于 x 轴上方，到抛物线准线的距离等于 5。过作垂直于 y 轴，垂足为，的中点为。 （ 1）求抛物线方程； （ 2）过 m 作 mNFA ，垂足为 N，求点 N 的坐标。 思路解析：由抛物线定义求 p 求直线， mN的方程 解方程组得 N 点坐标。 解答：（ 1）抛物线的准线为于是 4+=5， =2 抛物线方程为 y2=4x （） 点的坐标是（，），由题意得 B(0,4),m(0,2),26 / 39 又 F(1,0),.mNFA,. 则 FA 的方程为 ,mN 的方程为y-2=x,解方程组 ,得 . (三 )直线与抛物线的位置关系 相关链接 1.直线与抛物线的位置关系 设抛线方程为 ,直线 Ax+By+c=0,将直线方程与抛物线方程联立 ,消去 x 得到关于 y 的方程 my2+ny+q=0, (1)若 m0, 当 0 时 ,直线与抛物线有两个公共点 ; 当 =0 时 ,直线与抛物线只有一个公共点 ; 当 0 时 ,直线与抛物线没有公共点 . (2)若 m=0,直线与抛物线只有一个公共点 ,此时直线与抛物线的对称轴平行 . 2.焦点弦问题 已知 AB 是过抛物线的焦点的弦 ,F 为抛物线的焦点 ,A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)y1y2=-p2,=; （ 2） （ 3）； （ 4）以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 例题解析 例已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点 F 且被抛物27 / 39 线截得的弦长为 3，求 p 的值。 解析：设与抛物线交于 由距离公式 |AB|= 由 从而由于 p0，解得 （四）抛物线的实际应用 例如图，是通过某市开发区中心 0 的两条南北和东西走向的道路，连接 m、 N 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线 L1对称 m 到 L1、 L2的距离分别是 2km、4km， N 到 L1、 L2 的距离 分别是 3km、 9kin （ 1）建立适当的坐标系，求抛物线弧 mN的方程； （ ）该市拟在点 0 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点 0 的距离大于 5km 而不超过 8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km求此厂离点 0 的最近距离（注：工厂视为一个点） 解析：（ 1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 m（ 2， 4）， N（ 3， 9） 设 mN所在抛物线的方程为，则有 ，解得 28 / 39 所求方程为（ 23 ） 5 分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本 问扣 2 分） （ 2）设抛物线弧上任意一点 P（，）（ 23 ） 厂址为点 A（ 0，）（ 5 t8 ，由题意得 07 分 令， 23 ， 49 对于任意的，不等式 0 恒成立（ *） 8 分 设， 8 . 要使（ *）恒成立，需 0 ，即 010 分 解得 ， 的最小值为 所以，该厂距离点 o 的最近距离为分 注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。 【感悟高考真题】 1（ XX新课标全国高考文 科 4）椭圆的离心率为（） 【思路点拨】通过方程确定的值，离心率 . 【精讲精析】选 D 由题意 29 / 39 2（ XX安徽高考理科 2）双曲线的实轴长是 （） （） （） （） 【思路点拨】先将双曲线方程化成标准形式，从而求得实半轴长 . 【精讲精析】选 c.将双曲线化成标准方程，则，所以实轴长 2a=4. 3（ XX广东高考文科 8）设圆 c 与圆x2+（ y-3） 2=1外切，与直线 y=0 相切，则 c 的圆心轨 迹为 A.抛物线 B.双曲线 c.椭圆 D.圆 【思路点拨】先求圆 x2+（ y-3） 2=1的圆心坐标为（ 0， 3），利用动圆圆心到点（ 0， 3）与直线 y=-1 的距离相等得结论 . 【精讲精析】选 A.由题意， c 的圆心到点（ 0， 3）与直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知 c的圆心轨迹为抛物线，故选 A. 4（ XX福建卷理科 17） (本小题满分 13分 )已知直线： y=x+m， mR. （ I）若以点 m（ 2,0）为圆心的圆与直线相切与点 P，且点P 在 y 轴上，求该圆的方程； （ II）若直线关于 x 轴对称的直线为，问直线与抛物线 c：x2=4y是否相切？说明理由 . 【思路点拨】（ 1）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，30 / 39 然后写出圆的标准方程； （ 2）由的方程求得的方程，将的方程与抛物线 c 的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式的正负，来判定两者能否相切 . 【精讲精析】解法 1：（ I）依题意，点的坐标为 . 因为所以 解得，即点坐标为 . 从而圆的半径 故所求圆的方程为 . () 因为直线的方程为，所以直线的方程为 . 由得 . 当，即时，直线与抛物线 c 相切； 当，即时，直线与抛物线 c 不相切 . 综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线 c 不相切 . 解法 2：（ I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为 . 依题意，所求圆与直线相切于点，则 解得 所以所求圆的方程为 . （ II）同解法 1. 5（ XX山东高考理科 8）已知双曲线31 / 39 （ a0,b0）的两条渐近线均和圆 c： x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆 c 的圆心，则该双曲线的方程为 （ A）（ B）（ c）（ D） 【思路点拨】先求出圆 c 的圆心坐标（ 3,0），半径 r=2，再求出渐近 线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b 的关系，再由双曲线的右焦点为圆 c 的圆心知 c=2，即可求出结果 . 【精讲精析】选 A.双曲线的渐近线方程为 bx+ay=0 和bx-ay=0，圆心为（ 3,0），半径 r=2.由圆心到直线的距离为所以 4a2=5b2 又因为双曲线的右焦点为圆 c 的圆心，所以c=3，即 9=a2+b2 所以， a2=5， b2=4. 6（ XX山东高考文科 15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 . 【思路点拨】先求椭圆 焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出 b，然后写出双曲线的方程 . 【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（ -， 0）、（， 0），即c=，又因为双曲线的离心率为，所以 a=2,故 b2=3，所以双曲线的方程为 7（ XX新课标全国高考理科 20）在平面直32 / 39 角坐标系 xoy 中，已知点 A(0,-1)， B 点在直线 y=-3 上， m点满足， m 点的轨迹为曲线 c. （ ）求 c 的方程； （ ） P 为 c 上的动点， l 为 c 在 P 点处得切线，求 o 点到l 距离的最小值 . 【思路点拨】第（ 1）问 ，求点的轨迹，可设点坐标为，然后利用条件得到点 B 的坐标，最后将条件转化为坐标关系，得到满足的关系式，化简整理即得的方程； 第（ 2）问，设出点的坐标，利用导数求出切线的斜率，表示出的方程，再利用点到直线的距离公式求得点到距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可 . 【精讲精析】 () 设 m(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 =（ -x,-1-y） ,=(0,-3-y),=(x,-2). 再 由 题 意 可 知 （ + ） =0, 即（ -x,-4-2y ）(x,-2)=0. 所以 曲线 c 的方程式为 y=x-2. () 设 P(x,y)为曲线 c： y=x-2 上一点，因为 y=x,所以的斜率为 x 因此直线的方程为，即 . 则 o 点到的距离 .又，所以 当 =0时取等号，所以 o 点到距离的最小值为 2. 33 / 39 8（ XX湖南理数） 19（本小题满分 13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km的 A， B 两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过 A，B 两点的直线为 x 轴，线段 AB的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 6）在直线的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超 过 km的区域；在直线的左侧，考察范围为到 A， B 两点的距离之和不超过 km的区域 （ ）求考察区域边界曲线的方程； （ ）如图 6 所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 【解析】（ ）设边界曲线上点 P 的坐标为 .当 2 时，由题意知 当 ，因而其方程为 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 （ ）设过点 P1， P2的直线为 l1，点 P2， P3的直线为 l2，则直线 l1， l2的方程分别为 34 / 39 【考点模拟演练】 一、选择题 1设曲线在点处的切线与直线平行，则 () A、 B、 c、 D、 答案： A 2设曲线在点（ 1,）处的切线与直线平行 ,则 () A 1B c D 答案： A 3双曲线（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、 F2，若 P 为其上一点，且 |PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 () A.（ 0， 3） B.（ 1， 3） c.（ 3， + ） D.3， + 答案： B 4若，则点必在（） A直线的左下方 B直线的右上方 c直线的左下方 D直线的右上方 答案： c 5若椭圆或双曲线上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2： 1，则称此椭圆或双曲线存在 “F 点 ” ，下列曲线中存在 “F 点 ” 的是（） A B 35 / 39 c D 答案： D 6北京奥运会主体育场 “ 鸟巢 ” 的钢结构俯视图如图所示， 内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线、，设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为 .若与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 () 答案： A 7