xx届高考理科数学第二轮立体几何复习教案

1 / 24 XX 届高考理科数学第二轮立体几何复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX届高考数学二轮复习 专题六立体几何 【重点知识回顾】 稳定中有所创新 ,由知识立意转为能力立意 （ 1）考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定 ,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立 意和思路上注重对学生能力的考查 （ 2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系 （ 3）使用， “ 向量 ” 仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位2 / 24 置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是 XX 年高考命题的重点 （ 4）支持新课改，在重叠部分做文章 ,在知识 交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线面平行的判定： 线面平行的性质： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直： 三类角的定义及求法 3 / 24 （ 1）异面直线所成的角 ， 0 90 （ 2）直线与平面所成的角 ， 090 （三垂线定理法： A 作或证 AB 于 B，作 Bo 棱于 o，连 Ao，则 Ao 棱 l， AoB 为所求。） 三类角的求法： 找出或作出有关的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。 如：正方形 ABcD A1B1c1D1 中，棱长为 a，则： （ 1）点 c 到面 AB1c1 的距离为 _； （ 2）点 B 到面 AcB1 的距离为 _； （ 3）直线 A1D1到面 AB1c1的距离为 _； （ 4）面 AB1c 与面 A1Dc1的距离为 _； （ 5）点 B 到直线 A1c1的距离为 _。 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 4 / 24 正棱柱 底面为正多边形的直棱柱 正棱锥 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 它们各包含哪些元素？ 球有哪些性质？ （ 2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （ 3）如图， 为纬度角，它是线面成角； 为经度角，它是面面成角。 （ 5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R： r 3： 1。 【典型例题】 1，空间几何体及三视图 例 1用一些棱长为 1cm的小正方体码放成一个几何体，图5 / 24 1 为其俯视图，图 2 为其主视图则这个几何体的体积最大是7cm3 图 1（俯视图）图 2（主视图） 例 2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为 例 4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有 个 5 例 5如果一个几 何体的三视图如图所示 (单位长度 :cm),则此几何体的表面积是。 例 6.矩形 ABcD中， AB=4， Bc=3，沿 Ac将矩形 ABcD 折成一个直二面角 B Ac D，则四面体 ABcD的外接球的体积为 例 7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 2.平行与垂直 例 8.已知：正方体， E 为棱的中点 求证：； 求证：平面； 求三棱锥的体积 6 / 24 证明：连结，则 /， 是正方形， 面， 又， 面 面， ， 证明：作的中点 F，连结 是的中点， ， 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， /， ， 平面面 又平面， 面 例 9.多面体中，。 （ 1）求证：； （ 2）求证： 证明：（ 1） （ 2）令中点为，中点为，连结、 7 / 24 是的中位线 又 为正 又 ， 四边形为平行四边形 例 10如图四边形是菱形，平面，为的中点 .求证： 平面； 平面平面 . 解：证：设 ,连 为菱形， 为中点，又为中点。 又 , 为菱形， , 又 ， 8 / 24 又 又 3.距离与角 例 11已知所在的平面互相垂直，且，求： 直线 AD与平面 BcD所成角的大小； 直线 AD与直线 Bc所成角的大小； 二面角 A-BD-c 的余弦值 如图，在平面 ABc内，过 A 作 AHBc ，垂足为 H， 则 AH 平面 DBc， ADH 即为直线 AD 与平面 BcD 所成的角 由题设知 AHBAHD ，则 DHBH ， AH=DH， ADH=45 BcDH ，且 DH为 AD在平面 BcD 上的射影， BcAD ，故 AD与 Bc所成的角为 90 过 H 作 HRBD ，垂足为 R，连结 AR，则由三垂线定理知，ARBD ，故 ARH 为二面角 A BD c的平面角的补角设 Bc=a,则由题设知， AH=DH=,在 HDB 中， HR=a， tanARH=2 故二面角 A BD c 的余弦值的大小为 【点评】 :本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现： “ 作出来、证出来、指出来、算出来、答出来 ” 五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形 所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的9 / 24 射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图） 特别地时，；时，或。 用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角， 利用三垂线定理证， 利用对称性定义法作二面角 【变式与拓展】如图， BcD 是等腰直角三角形，斜边 cD 的长等于点 P 到 Bc 的距离， D 是 P 在平面 BcD 上的射影 . 求 PB与平面 BcD所成角； . 求 BP与平面 PcD所成的角 . 【解法】 .PD 平面 BcD， BD 是 PB在平面 BcD内的射影， PBD 为 PB与平面 BcD所成角 ,BDBc ， 由三垂线定理得 BcBD ， BP=cD ，设 Bc=a， 则 BD=a， BP=cD=a 在 RtBPD 中， cosDBP=DBP=45, 即 PB与平面 BcD所成角为 45 . 过 B 作 BEcD 于 E，连结 PE， PD 平面 BcD 得 PDBE ，BE 平面 PcD， BPE 为 BP 与平面 PcD 所成 的角 ,在 RtBEP 中，BE=a,BP=a,BPE=30 即 BP与平面 PcD所成角为 30 10 / 24 例 12.在四棱锥 P-ABcD中，已知 ABcD为矩形， PA 平面 ABcD，设 PA=AB=a， Bc=2a，求二面角 B-Pc-D 的大小 解析 1.定义法过 D 作 DEPc 于 E，过 E 作 EFPc 于 F，连接 FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角 B-Pc-D的平面角。求解二面角 B-Pc-D 的大小只需解 DEF 即可 【解法一】过 D 作 DEPc 于 E，过 E 作 EFPc 于 F，连接FD，由二面角的平 面角的定义可知是所求二面角 B-Pc-D 的平面角 在四棱锥 P-ABcD 中， PA 平面 ABcD 且 ABcD 为矩形，ADDcPDDc PA=a ， AD=Bc=2a， PD=,Pc=,DE=,cE= 同理在 RtPBc 中， 在 RtEFc 中 ,Fc=,在 RtDFc 中 ,DF=, 在 DEF 中由余弦定理 cos= 所求二面角 B-Pc-D 的余弦值为 解析 2.垂面法 易证面 PAB 面 PBc，过 A作 AmBP 于 m，显然 Am 面 PBc，从而有 AmPc ，同法可得 ANPc ，再由Am与 AN相交与 A 得 Pc 面 AmN。设面 AmN交 Pc 于 Q，则为二面角 B-Pc-D 的平面角；再利用三面角公式可解 【解法二】略 解析 3.利用三垂线求解 把四棱锥 P-ABcD补成如图的直11 / 24 三棱柱 PAB-EDc，显然二面角 E-Pc-D 与二面角 D-Pc-B 互补，转化为求二面角 E-Pc-D。 易证面 PEDAPDc ，过 E 作 EFPD 于 F，显然 PF 面 PDc，在面 PcE内，过 E作 EGPc 于 G，连接 GF，由三垂线得 GFPc即为二面角 E-Pc-D 的平面角，只需解 EFG 即可 解析 4.在面 PDc 内，分别过 D、 B 作 DEPc 于 E， BFPc 于 F，连接 EF即可。 利用平面知识求 BF、 EF、 DE的长度， 再利用空间余弦定理求出 q 即可 【点评】 .用几何法求二面角的方法比较多，常见的有： （ 1）定义法 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 （ 2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 （ 3）垂面法 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： 直接利用定义，图 (1). 利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。 作棱的垂面，图 (3). 4.空间几何中的向量方法 例 13.如下图，直棱柱 ABc A1B1c1 的底面 ABc 中，12 / 24 cA=cB=1， BcA=90 ，棱 AA1=2， m、 N 分别是 A1B1、 A1A的中点 . （ 1）求 BN的长； （ 2）求异面直线 BA与 1cB1的余弦值； （ 3）求证： A1Bc1m. 【解法】： AcBc,cc1 面 ABc， 可以建立如图所示的坐标系 （ 1）依题意得 B（ 0， 1， 0）， N（ 1， 0， 1）， =. （ 2） A1（ 1， 0， 2）， B（ 0， 1， 0）， c（ 0， 0， 0）， B1（ 0，1， 2）， =(1, -1,2)， =（ 0， 1， 2）， =3， =， =. cos ， =. 所以，异面直线 BA与 1cB1的余弦值为 （ 3）证明： c1（ 0， 0， 2）， m（， 2）， =(-1,1,-2)， =（， 0）， =0 ， A1Bc1m. 【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围 (0,而向量角的范围为 0, 【变式与拓展】在三棱锥 S ABc 中 ，13 / 24 SAB=SAc=AcB=90 ， Ac=2， Bc=， SB=. （ 1）求证： ScBc ； （ 2）求 Sc与 AB所成角的余弦值 . 【解法一】：如下图，取 A 为原点， AB、 AS 分别为 y、 z 轴建立空间直角坐标系，则有 Ac=2， Bc=， SB=，得 B（ 0， 0）、S（ 0， 0， 2）、 c（ 2， 0）， =（ 2， 2）， =（ 2， 0） . （ 1） =0 ， ScBc. （ 2）设 Sc与 AB所成的角为 ， = （ 0， 0）， =4，|=4， cos= ，即为所求 . 【解 法二】：（ 1） SA 面 ABc， AcBc ， Ac是斜线 Sc在平面 ABc内的射影， ScBc. （ 2）如下图，过点 c 作 cDAB ，过点 A 作 ADBc 交 cD于点 D，连结 SD、 Sc，则 ScD 为异面直线 Sc与 AB所成的角 .四边形 ABcD是平行四边形， cD=， SA=2， SD=5， 在 SDc中，由余弦定理得 cosScD= ，即为所求 . 例 14.如图，在四棱锥中，底面 ABcD 是正方形，侧棱底面 ABcD， ， E 是 Pc的中点，作交 PB于点 F. （ 1）证明平面； （ 2）证明平面 EFD； 14 / 24 （ 3）求 二面角的大小 【解法】：如图所示建立空间直角坐标系， D 为坐标原点 .设 证明：连结 Ac， Ac交 BD于 G.连结 EG. 依题意得 底面 ABcD是正方形，是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为且 .这表明 . 而平面 EDB且平面 EDB，平面 EDB。 证明：依题意得。又 故 ,由已知，且所以平面 EFD. (3)解：设点 F 的坐标为则 从而所以 由条件知，即解得 点 F 的坐标为且 ,即， 故是二面角的平面角 . 且 , 所以，二面角 c Pc D 的大小为 15 / 24 【点评】考 查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。 【变式与拓展】如图，已知矩形 ABcD 所在平面外一点 P，PA 平面 ABcD， E、 F 分别是 AB、 Pc的中点 （ 1）求证： EF 平面 PAD； （ 2）求证： EFcD ； （ 3）若 PDA 45，求 EF与平面 ABcD 所成的角 证明：如图，建立空间直角坐标系 A xyz， 设 AB 2a， Bc 2b， PA 2c，则： A(0,0,0)， B(2a,0,0)， c(2a,2b,0)， D(0,2b,0)， P(0,0,2c)E 为 AB的中点， F 为 Pc的中点 E(a,0,0) ， F(a,b,c) (1) (0,b,c)， (0,0,2c)， (0,2b,0) 12(AP AD) 与、共面 又 E 平面 PADEF 平面 PAD (2)cD (-2a,0,0) cDEF (-2a,0,0)(0,b,c) 0cDEF (3)若 PDA 45，则有 2b 2c， 即 b16 / 24 c， EF (0,b,b)， AP (0,0,2b)cosEF ， AP 2b22b2b 22 EF ， AP 45 AP 平面 Ac， AP 是平面 Ac的法向量 EF 与平面 Ac 所成的角为： 90 EF ，AP 45 例 15.如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且 （ ）求证：平面； （ ）求点到平面的距离 . 解： () 以为原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则 于是 且 平面 （ ）由 () 知，为平面的一个法向量， 向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是 故点到平面的距离为 例 16.如图，在四棱锥 P ABcD 中，底面 ABcD 为矩形，侧棱 PA 底面 ABcD， AB=3， Bc=1， PA=2， E 为 PD的中点 17 / 24 （ ）求直线 Ac与 PB所成角的余弦值； （ ）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE 面 PAc， 并求出 N 点到 AB和 AP的距离 解：方法一、（ 1）设 Ac BD=o，连 oE，则 oE/PB， EoA 即为 Ac 与 PB所成的角或其补角 . 在 AoE 中， Ao=1， oE= 即 Ac与 PB所成角的余弦值为 . （ 2）在面 ABcD内过 D 作 Ac的垂线交 AB于 F，则 . 连 PF，则在 RtADF 中 设 N 为 PF的中点，连 NE，则 NE/DF， DFAc ， DFPA ， DF 面 PAc，从而 NE 面 PAc. N 点到 AB的距离， N 点到 AP的距离 方法二、（ ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A、 B、 c、 D、 P、 E 的坐标为 A（ 0， 0， 0）、 B（， 0， 0）、 c（， 1， 0）、 D（ 0， 1， 0）、 P（ 0， 0， 2）、 E（ 0， 1）， 从而 设的夹角为 ，则 Ac 与 PB所成角的余弦值为 . 18 / 24 （ ）由于 N 点在侧面 PAB内，故可设 N 点坐标为（ x， o，z），则，由 NE 面 PAc可得， 即 N 点的坐标为，从而 N 点到 AB、 AP的距离分别为 1， . 【模拟演练】 一、选择 1已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长为（） A B c D 2一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形 ,根据图中尺寸 (单位 :),可知这个几 何体的体积是（） 4已知、是不重合的直线，、是两两不重合的平面，给出下列命题： 若则； 若，则 ; 若，； 若其中真命题的序号为（） ABcD 5. 在正三棱锥中，分别为、的中点，若与所成的角为，则与所成的角为（） A. 7已知直三棱柱 ABc A1B1c1 中， Ac=Bc， m、 N 分别19 / 24 是 A1B1， AB的中点， P 点在线段上，则与平面的位置关系是（） A垂直 B平行 c相交但不垂直 D要依 P 点的位置而定 11.如图所示，设地球半径为 ，点在赤道上，为地心，点在北纬 30 的纬线（为其圆心）上，且点，共面，点、共线若，则异面直线与所成角的正弦值为（） 二、填空 13.已知一个正四棱柱内接于球，该正四棱柱高为 3，体积为 24，则这个球的表面积是。 14若直线 l 与平面 所成角为，直线 a 在平面内，且与直线 l异面，则直线 l 与直线 a所成的角的取值范围是。 20 / 24 三解答题 17（本题满分 12分） 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点是的中点。 （ 1）求证：平面平面； （ 2）求证：。 18.（本小题满分 12分） 如图所示，矩形中， G 是对角线 Ac， BD 的交点， F 为 cE上的点，且，连接 FG. 求证：； 求证： /； 求三棱锥的体积 . 19如图 ,四棱锥的底面为直角梯形， ABcD,。 () 求证 : () 求二面角的大小 专题训练答案 1 B 解析：由正方体对角线得到直径可知，所以棱长为。 解析：由三视图可知该几何体的底面是底边为 6，高是 4 的等腰三角形，该几何体的高为 5，所以。 21 / 24 4 D 解析： 只有、相交