高中数学第三章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系学案北师大版必修.docx

1同角三角函数的基本关系内容要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2 x1，tan x (重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(难点)知识点同角三角函数的基本关系【预习评价】1已知是第二象限角，sin ，则cos ()AB C D. 答案A2已知是第四象限角，且tan ，则sin ()A B. C.D答案A题型一利用同角基本关系式求值【例1】已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，且cos 1，是第二或第三象限角，(1)当是第二象限角时，则sin ，tan .(2)当是第三象限角时，则sin ，tan .规律方法同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用【训练1】已知sin m(|m|1)，求tan 的值解当m0时，cos 1，tan 0；当m1时，的终边在y轴上，cos 0，tan 无意义；当在第一、四象限时，cos 0，cos tan ；当在第二、三象限时，cos 0，cos .tan .题型二已知正切求值【例2】已知tan 2.求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.解(1)原式2.(2)原式1.规律方法知切求弦常见的有两类：1求关于sin 、cos 的齐次式值的问题，如果cos 0，则可将被求式化为关于tan 的表达式，然后整体代入tan 的值，从而完成被求式的求值问题2若不是sin ，cos 的齐次式，可利用方程组的消元思想求解如果已知tan 的值，求形如asin2bsin cos ccos2的值，注意将分母的1化为sin2cos2，将其代入，再转化为关于tan 的表达式后求值【训练2】已知2cos23cos sin 3sin21.求：(1)tan ；(2).解（1）由条件得114tan23tan 10tan 或tan 1.(2)原式，当tan 时，原式；当tan 1时，原式.方向1三角函数式的化简【例31】化简tan ，其中是第二象限角解因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan 1.方向2三角恒等式的证明【例32】求证：.证明左边右边，所以等式成立方向3利用sin cos 与sin cos 的关系解题【例33】已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求sin Acos A的值解(1)sin Acos A，两边平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由(1)sin Acos A0，且0A，可知cos A0，角A为钝角，ABC是钝角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A.由(2)知sin Acos A0，sin Acos A.规律方法1.三角函数式化简的三种常用技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2证明三角恒等式的原则是由繁到简常用的方法有：(1)从一边开始，证得它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式.课堂达标1已知sin ，(0，)，则tan 等于()A. B.CD解析sin ，(0，)，cos ，tan .答案D2已知tan ，那么sin22sin cos 3cos2的值是()ABC3D3解析sin22sin cos 3cos2，将tan 代入上式得3.答案D3若tan 2，且，则sin_.解析tan 2，sin 2cos ，又sin2cos21，cos2.，cos .sincos .答案4已知sin cos ，则sin cos _.解析(sin cos )2sin22sin cos cos212sin cos .则sin cos .答案5已知sin cos m，求sin3cos3的值解sin cos m，sin cos .sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)m(1)(3m2)课堂小结1“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关如：sin23cos231等2已知角的一个三角函数值，求的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号3计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换为了解题的需要，有时可以将1用“sin2cos2”代替(2)切化弦利用商数关系把切函数化为弦函数(3)整体代换将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.基础过关1如果是第二象限的角，下列各式中成立的是()Atan Bcos Csin Dtan 解析由商数关系可知A、D均不正确，当为第二象限角时，cos 0，sin 0，故B正确答案B2已知2，则sin cos 的值是()A.B C.D解析由题意得sin cos 2(sin cos )，(sin cos )24(sin cos )2，解得sin cos .答案C3已知是第二象限的角，tan ，则cos 等于()ABCD解析是第二象限角，cos 0.又sin2cos21，tan ，cos .答案C4若为第三象限角，则_.解析为第三象限角，sin 0，cos 0，原式123.答案35已知sin cos 且，则cos sin _.解析(cos sin )212sin cos ，cos sin ，cos sin .答案6已知sin cos .求：(1)的值；(2)tan 的值解(1)因为sin cos ，所以12sin cos ，sin cos .所以.(2)由(1)得，所以，即3tan210tan 30，所以tan 3或tan .7若cos 且tan 0，求的值解sin (1sin )tan 0，cos 0，sin 0.又sin2cos21，sin ，原式sin (1sin ).能力提升8函数ysin2x3cos x的最小值是()AB2 C.D解析y(1cos2x)3cos xcos2x3cos x22当cos x1时，ymin22.答案A9使成立的角的范围是()A2k2k(kZ)B2k2k(kZ)C2k2k(kZ)D只能是第三或第四象限角解析，sin 0.2k2k，(kZ)答案A10已知sin x，cos x，且x，则tan x_.解析由sin2xcos2x1，即221.得m0或m8.又x，sin x0，cos x0，当m0时，sin x，cos x，此时tan x；当m8时，sin x，cos x(舍去)，综上知：tan x.答案11在ABC中，sin A ，则角A_.解析由题意知cos A0，即A为锐角将sin A 两边平方得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos A或cos A2(舍去)，A.答案12求证：.证明方法一左边右边原式成立方法二，.原式成立13(选做题)已知关于x的方程2x2(1)x2m0的两根为sin 和cos