同步测控优化训练：1.1.1-集合的含义与表示.doc

第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.下列说法正确的是( )A.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合B.某个班年龄较小的学生组成一个集合C.集合1，2，3与3，1，2表示不同的集合D.1，0.5，组成的集合有四个元素思路解析：考查集合元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.A中各比赛项目是确定的且各不相同的，A正确.B中元素是不确定的，C中两集合是相等的，D中有3个元素，选A.答案：A2.用符号或填空.(1)3.14_Q，0_ N，2_ Z，(-1)0_ N，0_；(2)2_x|x,3_xx4，+_xx2+；(3)3_xx=n2+1，nN，5_xx=n2+1，nN；(4)(-1，1)_ yy=x2,(-1,1)_(x,y)y=x2.思路解析：分清元素与集合之间的关系.(1) (空集不含任何元素)(2)2，34，=，故填,.(3)令n2+1=3，n2，nN.令n2+15，n2，2N，故填,.(4)(因为yyx2中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填,.答案：(1) (2) (3) (4) 3.试用适当的方法表示下列集合.（1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，、象限的角平分线上的所有点；（4）所有非零偶数；（5）所有被3除余数是1的数.思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.答案：（1）1，2，3，4，6，8，12，24；（2）x|x|1；（3）（x，y）|y=x；（4）x|x=2k，kZ，k0或x|Z且x0；（5）x|x=3k+1，kZ .10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+2=0的实数根；(4)图中阴影部分的点(含边界上的点).思路解析：根据集合中元素的特点解答，只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：描述法：(x,y)y-x；图示法：如图中直线l上的点.(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：或者xRx4+x2+2=0.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在题图的阴影部分(包括边界上的点).题图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合：(x,y)-1x2，-y2，且xy0.2.下面有四个命题：集合N中的最小元素为1；方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0的解集含有3个元素；0；满足1xx的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3思路解析：集合N表示自然数集，最小的自然数是0，故不对；据集合中元素的互异性知方程（x1）3（x+2）（x5）=0有3个不同的解1、2、5，所以对；空集不含有任何元素，故错，容易误以为0.若认为0，表明了空集中有一个元素0.而事实上空集中不含有任何元素，当然也就不会有元素0了.1xx表示x可以为任意实数，因此对，故选C.答案：C3.（1）实数a、b满足关系_时，集合A=x|ax+b=0是有限集；（2）a、b满足关系_时，集合A=x|ax+b=0为无限集；（3）a、b满足关系_时，集合A=x|ax+b=0为空集.思路解析：（1）集合A=x|ax+b=0是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-存在.因此a0，bR.（2）集合A=x|ax+b=0是无限集，即方程ax+b=0有无数多个解.a=b=0.（3）集合A=x|ax+b=0为空集，即方程ax+b=0无解.a=0，b0.答案：(1)a0，bR (2)a=b=0 (3)a=0，b04.下面有五个命题：若-aN，则aN；若aN，bN，则a+b的最小值是0；x2+4=4x的解集可表示为2，2；高一（6）班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_.思路解析：N是自然数集，-aN，则aN不正确；x2+4=4x的解集为2，单元素集；个子较高的学生是不确定的.只有正确.答案：5.设A=4,a,B=2,ab,若A=B,则a+b=_.思路解析：两个集合相等，则两集合的元素完全相同，则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.a+b=4.答案：4人6.已知集合A=px2+2(p-1)x+1=0,xR，求一次函数y=2x-1，xA的取值范围.思路解析：关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解：由已知，4(p-1)2-40，得p2或p0.所以App2或p0.因为xA，所以x2或x0.所以2x-13或2x-1-1.所以y的取值范围是yy-1或y3.快乐时光道破天机 父亲心血来潮，测试儿子：“宝贝，你晓得什么话能一语道破天机吗？” “爸爸，”儿子很快回答：“天气预报!”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.下面六种表示法：x=-1，y=2;(x,y)x=-1,y=2;-1，2;(-1，2);(-1，2);(x,y)x=-1或y=2，能正确表示方程组的解集的是( )A. B.C. D.思路解析一（直接法）:由于此方程组的解是，因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).因为(x,y)(x,y)(-1，2)，故选C.思路解析二（排除法）：集合既非列举法，又非描述法.集合表示由-1和2两个数组成的集合.是一个点.中的元素是(-1，y)或(x,2)，x、yR是一个无限集.以上均不合题意.故选C.答案：C2.已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A.0M B.2M C.-4M D.4M思路解析：分4种情况讨论：x、y、z中三个都为正，代数式值为4；x、y、z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x、y、z中一个为正，两个为负，值为0；x、y、z都为负数时，代数式值为-4.选D.答案：D3.已知集合S=a，b，c中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形思路解析：由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同.选D.答案：D4.已知x1，2，x2，则x=_.思路解析：由集合的定义可建立方程求解.答案：0或25.已知A=xx=a+b2，a、bZ，判断下列元素x与集合A之间的关系：(1)x=0; (2)x=; (3)x=.思路解析：研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.x与A的关系只有xA和xA两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b2(a、bZ)的形式.解：(1)因为0=0+0，所以0A.(2)因为x=，无论a、b为何整数，a+b=不能成立，所以x=A.(3)因为x=1+2，所以A.6.已知f(x)=x2-ax+b(a、bR)，A=xf(x)-x=0,xR，B=xf(x)-ax=0,xR，若A=1，-3，试用列举法表示集合B.思路解析：集合B是方程f(x)-ax=0的解集；要求集合B，需设法求出a、b的值，于是可通过集合A=1，-3为突破口来寻找本题的解题途径.解：f(x)-x=0，即x2-(a+1)x+b=0.A=1,-3,由韦达定理得f(x)=x2+3x-3.f(x)-ax=0，亦即x2+6x-3=0，B=xx2+6x-3=0=-3-2,-3+2.7.在任意两个正整数m、n间定义某种运算(用表示运算符号)：当m、n都为正偶数或都为正奇数时，mn=m+n，如46=4+6=10，37=3+7=10，当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，mn=mn，如34=34=12，43=43=12.则在上述定义下，集合M=(a,b)ab=36，a、bN中的元素个数为_.思路解析：在充分理解题目中给出的新的定义的基础上，利用所学的知识求解.分两类：当m、n都为正偶数或都为正奇数时：mn=m+n=36，m=1，n=35；m=2，n=34;m=3，n=33；m=35，n=1,集合M共有35个元素.当m、n一个为正偶数，一个为正奇数时，mn=mn=36.又136=36，312=36,49=36，故M中有6个元素.综上M中共有6+35=41个元素.答案：418.若1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，求p、q的值.思路解析：首先注意集合的代表元素，然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.解：方法一：1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，1，2都是方程x2+px+q=0的解，即1，2都适合方程.分别代入方程，得-得3+p=0，p=-3.代入，得q=-（p+1）=2.故所求p、q的值分别为-3，2.方法二：1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，1和2都是方程x2+px+q=0的解.由根与系数的关系知p=-3，q=2.故所求p=-3，q=2.9.求：（1）方程x2-4x+4=0的所有根的和；（2）集合S=x|x2-4x+4=0的所有元素的和.思路解析：本题极易忽略的一个问题是，方程根的个数与方程解集中元素的个数不一定相同，由于方程x2-4x+4=0有两个重根x1=x2=2，但其解集中却只有一个元素2，即S=2，所以两个问题有区别，应用了集合中元素的互异性.解：（1）方程x2-4x+4=0的所有根的和为4.（2）由于集合S=x|x2-4x+4=0=2，S中所有元素之和为2.10.设S=x|x=m+n，m、nZ.（1）若aZ，则a是否是集合S中的元素？（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1x2是否属于S?思路解析：考查集合的元素满足的条件.解：（1）a是集合S的元素，因为a=a+0S.（2）不妨设x1=m+n，x2=p+q，m、n、p、qZ.则x1+x2=（m+n）+（p+q）=（m+n）+（p+q），m、n、p、qZ.x1+x2S，x1x2=（m+n）（p+q）=（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、qZ.x1x2S.综上，x1+x2、x1x2都属于S.11.向100名学生调查对A、B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成；另外，对A、B都不赞成的人数比对A、B都赞成的学生数的多1人，问对A、B都赞成的学生数和对A、B都不赞成的学生数各有多少人?思路解析：数量关系比较复杂，可采用Venn图来直观表示.解：赞成A的人数为100 =60，赞成B的人数为60+3=63.如图，记100名学生组成的集合为U，赞成A的学生的全体记为集合A，赞成B的学生的全体记为集合B，并设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的人数为+1，由题意，知（60-x）+（63-x）+x+1=100，解得x=36.所以对A、B都赞成的学生数为36人，对A、B都不赞成的学生数为13人.12.已知集合A=xax22x1=0